Procesamiento de imágenes

Procesamiento de imágenes • Relaciones entre pixels • Dominios de tratamiento de la imagen. • Preprocesamiento • Transformada de brillo • Suavizamiento • Detectores de contorno • Segmentación dirigida a los contornos • Segmentación dirigida a las regiones • Umbralización • Extracción de descriptores de contornos • Extracción de descriptores de regiones • Tratamiento de imágenes en estereo.

Visión artificial • Procesos de obtención, caracterización e interpretación de información de imágenes. Se pueden subdividir en seis áreas: • Captación. • Captura de la imagen • Preprocesamiento. • Operaciones de mejora de la imagen. • Segmentación. • División de la imagen en objetos de interés. • Descripción. • Obtención de características • Reconocimiento. • Identificación de objetos. • Interpretación. • Asociación de significado a un conjunto de objetos.

Visión artificial • Se pueden agrupar los procesos según el grado de complicación e “inteligencia” que llevan aparejados. No existen fronteras claras entre los niveles. • Visión de bajo nivel, procesos primarios • Visión de nivel intermedio, extraen, caracterizan y etiquetan información de la imagen tratada en la etapa anterior. • Visión de alto nivel, procesos que tratan de emular la cognición. Imagen Imagen Visión de bajo nivel Imagen Descriptores Visión de nivel intermedio

Representación de la información. • Una imagen contiene información, esta información puede ser representada matemáticamente. Dos son las formas predominantes • Mediante la representación espacial • Mediante la representación frecuencial. • Estas dos representaciones son completas y equivalentes. • Es posible pasar de una a la otra mediante la transformada de Fourier. • Podemos hablar de una imagen como una señal. • La cantidad de información que suministra una señal es mayor cuantas más variaciones hay en la misma.

Representación espacial de las señales. • Una imagen constituye una distribución espacial de la irradiancia en un plano. Esta puede ser descrita como una función continua de dos variables espaciales. • Las computadoras no pueden manejar valores continuos, pero si matrices de valores digitales. Un punto de una imagen en una matriz es llamado pixel y representa la irradiancia del correspondiente punto (más exactamente el valor promedio de una región). Frecuentemente los índices van de 0 a N-1 y de 0 a M-1. x y

Resolución • El número de pixels marca la resolución espacial. Este es un efecto derivado del muestreo. • Con pocos pixels también se aprecia una fuerte discontinuidad en los valores de gris. • Cuando el pixel se hace pequeño se percibe un efecto de continuidad en la imagen. Esto es así cuando el tamaño del pixel es menor que la capacidad de resolución espacial del ojo. • No hay respuesta genérica a la pregunta ¿Cuál es el número de pixels necesario?. • Para una tarea el pixel debería ser menor que el objeto más pequeño que se quiere estudiar. • El número de pixels suele venir limitado por la tecnología del sensor.

Imagen de 32*32 pixels Imagen de 64*64 pixels Imagen de 256*256 pixels Imagen de 64*64 pixels Efectos del muestreo en la resolución

Formación del brillo en las imágenes • El brillo de una imagen de un objeto tridimensional depende de: • Distribución e intensidad de las fuentes de luz. • Propiedades de reflectancia del objeto. • Posición y orientación del objeto con respecto a la cámara. • Brillo: cantidad de energía que el plano imagen recibe por unidad de área aparente • Área aparente: parcela de superficie realmente observada. A A área real A’ área aparente A’=Acos() 

Radiación e irradiación • Irradiación: Cantidad de luz que cae sobre una superficie. Se mide en potencia por unidad de área (W/m2) • Radiación: Cantidad de luz radiada desde una superficie. Se mide en potencia por unidad de área y unidad de ángulo sólido. (W/(m2.SR) vatios por metro cuadrado y esterorradian) • Angulo sólido de un cono de direcciones es el área cortada por el cono sobre la esfera unidad. • A la hora de determinar la relación entre la radiación de un punto de un objeto del espacio y la irradiación del correspondiente punto del objeto en el plano imagen deben establecerse las relaciones geométricas que los ligan.

Efectos de la cuantificación • La irradiancia, que es una señal continua en el espacio y en magnitud, debe ser discretizada para poder ser manejada por una computadora. • La discretización se realiza por el muestreo, el efecto sobre la magnitud se denomina cuantificación. • Típicamente se cuantifica en un rango de 256 valores (0 a 255, un byte). • Con esta resolución el ojo percibe la imagen como un cambio continuo, sin escalones. • La resolución del ojo, en cuanto a intensidades relativas, es del 2%. • El rango de valores idóneo como siempre dependerá de la aplicación.

Efectos de la cuantificación en la resolución 256 niveles, 8 bits 64 niveles, 6 bits 16 niveles, 4 bits 4 niveles, 2 bits

Representación de imágenes con signo u otros formatos. • La representación de la irradiancia como un número natural puede causar problemas al hacer operaciones aritméticas. • Pueden manejarse las imágenes como enteros con signo: • En muchas ocasiones se trabaja con valores de coordenadas y de irradiancia como si fueran números reales, esto exige una transformación final a valores enteros para poder representar la imagen por un monitor o almacenarla en un array.

Geometría Homogénea • Sea un vector tridimensional, representado en una base de vectores unitarios por v=ai + bj + ck. Puede ser representado en coordenadas homogéneas por un vector columna. Siendo w un factor de escala • Una traslación puede representarse por:

Transformaciones geométricas 1 • Traslación (X0, Y0, Z0) • Cambio de escala (Sx, Sy,Sz)

Transformaciones geométricas 2 • Rotación (,,) Z • Concatenación  Y  X 

Imagen especular eje horizontal Imagen rotada 90º antihorarios Imagen especular eje horizontal Imagen rotada 90º antihorarios Concatenación de transformaciones Imagen original

Transformaciones inversas • Una matriz de transformación compuesta se puede representar descompuesta en submatrices como: • La matriz inversa puede calcularse como:

Plano de imagen Y,y w (X,Y,Z) X,x  Centro de la lente c (x,y) Transformaciones geométricas 3 • Transformación de perspectiva • Esta transformación es no lineal para X,Y,Z salvo en formulación homogénea Z,z

Transformaciones geométricas 4 • Transformación de perspectiva inversa

Transformaciones geométricas 5 • Transformación de perspectiva inversa con información de z • Si se despeja X e Y en función de z

w Z y z x c r Z0 Y X0 Y0 X Modelo de cámara 1 w: punto en mundo real c: punto en el CCD r: dist soporte al CCD w0: dist. ejes soporte : ang. ejes X y x : ang. ejes Z y z w0 PASOS: 1. Traslación C eje a soporte 2. Rotación en sentido de  3. Rotación en sentido de  4. Traslación G a centro CCD

Modelo de cámara 2 Se realiza la transformación  = 135°  = 135° r = (0.03, 0.02, 0.02) m  = 35 mm X0 = 0 m Y0 = 0 m Z0 = 1 m x = 0.0007 m y = 0.009 m

Calibración de la cámara 1 • El problema que se plantea habitualmente es el inverso al anterior, dadas las coordenadas de un punto en el plano de la imagen determinar cuales son sus coordenadas en el mundo real. • Será preciso establecer cuales son las rotaciones y traslaciones que relacionan ambos sistemas de coordenadas, en líneas generales esto es difícil de medir con precisión. • También se ha supuesta conocida la longitud focal de la cámara y pueden aparecer otros parámetros relacionados con la construcción de la cámara que aún no hemos estudiado. • Para medir todos estos parámetros se parte de un conjunto de puntos, cuyas coordenadas tridimensionales son conocidas, y mediante un algoritmo denominado de calibración se establecen las relaciones entra ambos sistemas de coordenadas.

Procedimiento general de calibración I • El algoritmo se basa en buscar restricciones que sean solo funciones de un subconjunto de parámetros, para transformar un problema con gran número de parámetros en otros más pequeños. • Imposición de restricciones como la conocida como Radial Alignment Constraint. Las ecuaciones derivadas de aplicar esta restricción son solo función de la posición relativa entre la cámara y el sistema de coordenadas global. • Establece un modelo de cámara que exige la calibración de: • Parámetros extrínsecos:Traslación (Tx,Ty,Tz) Rotación(,,) • Parámetros intrínsecos (longitud focal, distorsión radial, desplazamiento del centro de la cámara etc.)

Procedimiento general de calibración II • El procedimiento básico es el siguiente: • Determinar con precisión un conjunto de puntos tridimensionales • Determinar sus correspondientes proyecciones en la imagen • Obtener los parámetros que mejor resuelven las correspondencias entre unos y otros • Los dos primeros pasos requieren conocer con precisión una serie de puntos 3D. Estos puntos pueden o no ser coplanarios • Un buen método de calibración debe : • Ser autónomo, no requiriendo de datos por parte del operador • Preciso: muchas aplicaciones (metrología) requieren gran precisión • Eficiente: no debería tener un coste computacional elevado • Versátil: debería operar uniforme y autónomamente en un un amplio rango de funcionamiento

Calculo de la matriz de transformada inversa • Se determinó • En la imagen solo tienen sentido las coordenadas x e y: • La proyección inversa viene dada por la recta de intersección de los planos dados en la ecuación anterior. • Calibrar la cámara implica encontrar los coeficientes de la matriz A. • Se requieren al menos 6 puntos (12 ecuaciones). • Se trata de un sistema homogéneo, hay infinitas soluciones. • Típicamente se toman más de 6 puntos, sistema sobredeterminado que se resuelve por mínimos cuadrados.

O’ X’ Y’ U Pu(uu,vu) V Pd(ud,vd) Z Z’ Y O P’(x’,y’,z’) X Modelo de cámara de Tsai

Pasos en la obtención de coordenadas Coordenadas en el sistema global (x,y,z) Paso1:(x,y,z) => (x’,y’,z’) Causa: orientación y traslación de la cámara. Calibrar RT Coordenadas en el sistema de la cámara (x’,y’,z’) Paso2: Obtención de la perspectiva Calibrar f Coordenadas ideales de la proyección (uu,vu) Paso3: Distorsión radial de la lente Calibrar k1,k2 Coordenadas distorsionadas de la proyección (ud,vd) Paso4: Factores de escala Calibrar sx Coordenadas en pixels ,(uf,vf) ,del punto

Obtención de parámetros 1 • Paso 1: paso de coordenadas globales a coordenadas en el sistema ligado a la cámara. Obtención de R (3*3) y T (3*1). • Paso 2: paso del sistema ligado a la cámara al del plano imagen • Considerando una proyección ideal • Debe calibrarse f (longitud focal). • Paso 3: paso a coordenadas distorsionadas • Debe adoptarse un modelo matemático para la distorsión • Se considera suficiente con calcular k1

Obtención de parámetros 2 • Paso 4 : paso a coordenadas de pixels • Se impone una nueva transformación: • Parámetros intrínsecos • Distancia focal efectiva f • Coeficiente de distorsión de la lente k1 • Factor de incertidumbre de la escala horizontalsx • Coordenadas del centro de la imagen (Cx,Cy)

Cámara Elemento de calibración Obtención de parámetros 3 • Cálculo de la orientación y de la posición (según X e Y) • Calculo de la proyección real. • Cálculo de rotaciones y traslaciones. • Cálculo de f, distorsión y componente Z de la traslación • Cálculo utilizando puntos no coplanarios

Relaciones básicas entre pixels. • Vecinos de un pixel. • Un pixel p de coordenadas (x,y) tiene cuatro vecinos horizontales y verticales cuyas coordenadas son: (x+1,y) (x-1,y) (x,y-1) (x,y+1) • Estos pixels se denominan 4-vecinos de p o N4(p). • Se encuentran a una distancia unitaria del pixel p. • Los cuatro vecinos diagonales de p,Nd(p) tienen por coordenadas: (x+1,y+1) (x-1,y-1) (x+1,y-1) (x-1,y+1). • Estos Nd(p) junto con N4(p) son los 8-vecinos de p o N8(p). • Algunos de los vecinos de un pixel pueden estar fuera de la imagen si el pixel p está en un borde de la misma.

Conectividad • Sea V el conjunto de los valores de intensidad para pixel que se quieren considerar adyacentes. Se pueden considerar tres tipos de conectividad. • Conectividad-4: 2 pixels p,q con valores en V están 4-conectados si q está en el conjunto N4(p). • Conectividad-8: 2 pixels p,q con valores en V están 8-conectados si q está en el conjunto N8(p). • Conectividad mixta: 2 pixels p,q con valores en V están m-conectados si: • q está en el conjunto N4(p), ó • q está en Nd(p) y N4(p)N4(q)=. • La conectividad mixta sirve para eliminar conexiones múltiples.

Problemas de conectividades • Solución a las conexiones múltiples. • Problema topológico. Con conectividad 4 el anillo no se cierra Con conectividad 8 el anillo se cierra, pero el fondo atraviesa el anillo (el fondo también está conectado) Se puede usar conectividad 4 para el fondo y 8 para el objeto. Conectividad 8 Conectividad mixta

Medidas de distancias. • Dados los pixels p, q y z de coordenadas (x,y), (s,t) y (u,v) respectivamente se llama D función de distancia o métrica si: • D(p,q)  0 [D(p,q)=0 si p=q] • D(p,q) = D(q,p) • D(p,z)  D(p,q) + D(q,z) • La distancia euclídea entre p y q es: Los puntos cuya distancia sea menor o igual a una cota R estarían dentro de un disco de radio R. • Las distancias D4 y D8 son respectivamente:

Geometría discreta • En aplicaciones prácticas solo la distancia Euclidea es relevante, las demás no preservan la isotropía de la imagen. • La traslación y rotación solo tienen sentido en múltiplos de la distancia de pixel. • Las rotaciones solo son posibles, sin errores, para algunos ángulos (múltiplos de 90). • Las líneas solo se definen correctamente en las direcciones horizontal, vertical y diagonales. En el resto aparecerán efectos de escalonado.

Métodos en el dominio espacial • Son procedimientos que operan directamente sobre los pixels. f(x,y) : imagen de entrada g(x,y) : imagen de salida T : operador que actúa sobre f, definido en algún entorno de x,y • El entorno de (x,y) suele ser una subimagen cuadrada o rectangular centrada en (x,y). • El operador se va desplazando a lo largo de todos los pixels de la imagen.

f(x)*g(x) h() h(x-)   Convolución • La convolución de dos funciones continuas se define como: f(x) : señal de entrada h(x) : respuesta impulsional g(x) : señal de salida • Interpretación gráfica. h(x) f(x) g(x) f() h(-) f() h(x-)   

Convolución discreta 1 • Opera con secuencias de números, se emplean en sistemas muestreados tal como puede ser una imagen. • Se define también en dos dimensiones:  (n-k) 1 1 k

Convolución discreta 2 • La respuesta de un sistema ante la secuencia impulso (respuesta impulsional) caracteriza el comportamiento del sistema. • En visión artificial a la respuesta impulsional se la denomina PSF (Point Spread Function). • La salida de un sistema ante una entrada cualquiera se puede calcular a partir de la convolución de la respuesta impulsional y la señal de entrada. • La convolución es simétrica y lineal. • En visión artificial son aplicables todas las propiedades de la convolución que se emplean con señales unidimensionales .

Espacio de vectores 1 • Se ha concebido la imagen como una matriz de elementos individuales. Una imagen se puede componer a partir de una combinación de imágenes base (con un pixel puesto a 1 y el resto a 0 para cada imagen de la base). • Se puede deducir un producto interno entre imágenes • Los vectores (imágenes) de estas bases son ortonormales. Es posible establecer símiles con los espacios R2 o R3

Espacio de vectores 2 • Una imagen representa un punto en el espacio de vectores M*N. • Si se modifica el espacio de coordenadas la imagen sigue siendo la misma aunque con diferentes coordenadas, se observa la misma información desde otro punto de vista. • Todas la representaciones son equivalentes unas a otras. • Cada una da una representación completa de la imagen • Representaciones adecuadas nos permiten hacer y deshacer las transformaciones. • Además de la representación espacial, ya vista, es de interés una en que las bases son periódicas. • la transformación de coordenadas de la representación espacial a la nueva base se realiza con la transformada de Fourier.

Transformada Discreta de Fourier unidimensional (DFT) 1 • Sea un vector g con n elementos de números complejos. En una base tendrá una representación g= [g0, g1,...,gN-1] • Mediante la DFT se convierte en un vector g’, de N componentes. • La transformación inversa viene dada por: • Estas dos expresiones constituyen el kernel de la transformación. • Se puede considerar la DFT como el producto interno del vector g con un conjunto de M vectores ortonormales.

Transformada Discreta de Fourier unidimensional (DFT) 2 • En la representación frecuencial (o espacio de Fourier), cada punto representa una frecuencia particular contenida en el dominio espacial de la imagen. • Como la DFT es una representación muestreada en ella no se contienen todas las frecuencias que forman la imagen, pero si un conjunto de muestras que describen totalmente el dominio real. • Si la base es menor que N*M se tiene una proyección reducida. • Los coeficientes obtenidos son complejos, se pueden expresar entonces de la forma módulo y argumento.

Base en la DFT 1 • Cada uno de los M elementos de la base tiene N componentes: • Cada elemento g’v se obtiene por producto interno: g’v=(g,bv). De otro modo, cada coeficiente g’v en el espacio de Fourier es obtenido proyectando el vector g sobre la base formada por bv. • Los elementos bv forman una base ortonormal. La DFT calcula la proyección de g sobre los elementos de la base. • La parte real e imaginaria de los vectores de la base son senos y cosenos muestreados a frecuencias incrementales.

Vectores de la base • Componentes de las bases cuando N=16 Parte real Parte imaginaria • El vector b0 es constante. La proyección sobre él de un vector g da la media de los elementos de dicho vector. 0 1 2 ... 6 7 8

Base en la DFT 2 • En el caso de imágenes se trabaja con la transformada de Fourier bidimensional, sea una imagen de tamaño N*M entonces: • Las matrices de la base pueden expresarse como un producto externo de vectores fila y columna que forman la DFT unidimensional. Esto se denomina un kernel separable

Transformada de Fourier 2 • La transformada en el caso de una imagen será bidimensional. • Estas transformadas se deben aplicar de manera discreta tomando N*M (típicamente N=M) muestras equiseparadas.

Propiedades de la transformada discreta de Fourier 1 • Convierte las convoluciones en productos. • La DFT bidimensional se puede calcular separadamente. • Traslación. • Periodicidad y simetría conjugada (si f(x,y) es real).

Ejemplos de transformadas Escalón unitario según x, 256 muestras Senoide según x w=4, 256 muestras

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