La cuarta dimensión

1. La cuarta dimensión Guía del usuario

2. Sobre el conferencista • Alfredo Gómez Rodríguez • Instituto de Física • Facultad de Ingeniería • UNAM

3. Sobre el conferencista

4. Sobre el conferencista • Tiene en común con ALF tres cosas: • El nombre • El tamaño • Que los dos tienen una suegra extraterrestre (bueno, no exactamente, como veremos después)

5. ESPACIOS VECTORIALES Recuerde que un espacio vectorial sobre un campo F es un conjunto V, cuyos elementos se llaman vectores, y que tiene definidas dos operaciones:

6. ESPACIOS VECTORIALES • La primera operación es una “suma” que asocia con cualesquiera dos vectores a y b de V otro vector de V, llamado suma de a y b, y denotado como a+b.

7. ESPACIOS VECTORIALES • La otra operación es una “multiplicación” que asocia con qualquier número α de F y cualquier vector a de V otro vector de V llamado producto de α con a y denotado como αa.

8. ESPACIOS VECTORIALES • Además los espacios vectoriales deben de satisfacer las siguientes diez propiedades, o axiomas.

9. ESPACIOS VECTORIALES • 1) para cualesquiera vectores a y b de V, a+b está en V (cerradura). • 2) para cualesquiera vectores a y b de V se tiene que a+b=b+a (conmutatividad). • 3) para cualesquiera a,b y c en V se tiene que a+(b+c)=(a+b)+c (asociatividad).

10. ESPACIOS VECTORIALES • 4) existe un elemento 0 en V con la propiedad de que para cualquier a en V se cumple que a+0=0+a=a. • 5) dado cualquier a en V, existe otro elemento de V denotado por –a y que tiene la propiedad de que a+(-a)=(-a)+a=0. • Dicho mas brevemente, los espacios vectoriales forman un grupo abeliano con respecto a la suma.

11. ESPACIOS VECTORIALES • 6) si α está en F y a está en V, entonces αa está en V. • 7) Si α está en F y a y b están en V, entonces se cumple que α(a+b)= αa+ αb (propiedad distributiva) • 8) Si α y β están en F y a está en V, entonces se cumple que (α+ β)a= αa+ βa (propiedad distributiva)

12. ESPACIOS VECTORIALES • 9) Si α y β están en F y a está en V, entonces se cumple que (αβ)a= α(βa) • 10) 1 (la unidad de F) tiene la propiedad de que para cualquier a en V 1a=a.

13. COMBINACIONES LINEALES • Si a1,a2…an son vectores de V, una combinación lineal de éstos es una expresión de la forma c1a1+c2a2+…cnan donde c1, c2…cn son números de F.

14. GENERADORES • Se dice que los vectores a1,a2…an de V generan a V (o que son un conjunto generador) si todo vector a de V puede expresarse como combinación lineal de dichos vectores, es decir, si existen números c1, c2…cn tales que a= c1a1+c2a2+…cnan .

15. INDEPENDENCIA LINEAL • Se dice que los vectores a1,a2…an de V son linealmente independientes si la única manera de tener una combinación lineal igual a cero c1a1+c2a2+…cnan =0 es con los coeficientes c1 =c2=…cn=0.

16. DEPENDENCIA LINEAL • Se dice que los vectores a1,a2…an de V son linealmente dependientes si existen números c1, c2…cn no todos ellos cero y tales que c1a1+c2a2+…cnan =0

17. BASE-DIMENSIÓN FINITA • Se dice que los vectores a1,a2…an de V son una base de V si: • 1) generan a V • 2) son linealmente independientes. • Se dice que un espacio vectorial V es de dimensión finita si tiene una base con un número finito de vectores.

18. UN TEOREMA FUNDAMENTAL • TEOREMA: • Sea V un espacio vectorial de dimensión finita. • entonces dos bases cualesquiera tienen el mismo número de vectores.

19. DIMENSIÓN • Sea V un espacio vectorial de dimensión finita. • se dice que la dimensión de V es n (y escribimos dim(V)=n) si toda base de V tiene n vectores.

20. NUESTRO MUNDO TRIDIMENSIONAL • PROPOSICIÓN: Vivimos en un mundo tridimensional (dim(mundo)=3) • Largo • Alto • Ancho • Pero hay evidencias de que el mundo podría tener más dimensiones

21. CARTA A LOS EFESIOS • …seáis capaces de comprender con todos los santos cuál sea la anchura, la longitud, la profundidad y la altura,… • Pablo de Tarso, epístola a los Efesios, capítulo 3, versículo 18 • pero: Saulo acababa se ser derribado de su caballo cuando iba a Damasco, ¿se golpeó la cabeza?, ¿sabía contar?

22. EL CIELO ES TETRADIMENSIONAL • También Dalí piensa que el verdadero mundo podría ser tetradimensional.

23. TESERACT • La cruz es el desarrollo de un hiper-cubo (un cubo en cuatro dimensiones). • para entenderlo consideremos el desarrollo de un cubo en tres dimensiones (lo que comprábamos en la papelería de chavos para armar un cubo)

24. DESARROLLO DEL CUBO

25. Desarrollo del hipercubo

26. Los seres de la cuarta dimensión • No hay tal cosa como cuarta dimensión, lo que hay es espacios de cuatro dimensiones • Los escritores han imaginado cómo serían los seres de la “cuarta dimensión”

27. MXYSZPTLK

28. ¿Dónde viven los seres de la cuarta dimensión? • Sea E un espacio con dim(E)=4 y W un subespacio con dimensión dim(W)=3. • Podemos pensar que nosotros vivimos en W. • MXYSZPTLKno vive (normalmente, aunque viene de visita) en W

29. Variedad lineal. • Sea V un espacio vectorial y W un subespacio de V. • una variedad lineal de V con subespacio W y punto de apoyo p (p está en V) se define como: • [p]={xЄV|x=a+p con a ЄW}=W+p

30. ¿Dónde viven los seres de la cuarta dimensión? • Podemos decir que mxyszptlk vive en una variedad lineal diferente de la nuestra. • como nosotros vivimos en W podemos decir que estamos en [0] • Mxyszptlk vive en [p] con p≠0

31. ¿CÓMO SON LOS SERES DE LA CUARTA DIMENSIÓN? • Lo más cercano a un ser de la cuarta dimensión que conozco es mi suegra. • la siguiente figura la muestra riéndose de mis chistes. ¡es realmente fotogénica!

32. MI SUEGRA DE LA CUARTA DIMENSIÓN

33. Cómo serían los habitantes de un mundo de menos dimensiones • Cualquier intromisión la verían como una “aparición” (¡el álgebra lineal explica los milagros!)

34. No todo es facil en “Flat Land” • A veces es problemático tener aparato digestivo en dos dimensiones.

35. OTROS ESPACIOS DE MÁS DIMENSIONES • Los físicos piensan que todo está hecho de “cuerdas” • las cuerdas viven en espacios de 10 o de 16 dimensiones • pero no vemos las demás dimensiones porque el universo es muy pequeño en la dirección de éstas (compactificación).

36. COMPACTIFICACIÓN • La superficie de una manguera es de dos dimensiones, tal y como apreciamos en la figura • pero si la vemos de muy lejos parece una línea (de una dimensión).

37. Cuasicristales • Hay una nueva clase de materiales que se llaman cuasicristales. • tienen que ver con la llamada “razón áurea” que es (1+√5)/2 y fue muy usada por leonardo Da Vinci

38. Cuasicristales • Para entender los cuasicristales considere unos conejos que (como todos los conejos) pasan la mayor parte del tiempo produciendo otros conejos. • pero las reglas de reproducción de estos conejos son las siguientes.

39. Cuasicristales. • Al final de cada mes todo conejo joven se vuelve viejo • Cada conejo viejo da lugar a un conejo joven • Los conejos de este mundo son inmortales • Esquemáticamente:

40. Cuasicristales

41. Cuasicristales. • Al principio había un conejo viejo • Luego éste da origen a uno joven, ahora hay dos conejos • Luego el viejo da origen a otro conejo joven en tanto que el joven envejece y hay tres. • Luego hay cinco etc. • Esto se llama secuencia de Fibonnacci

42. Cuasicristales. • Si ponemos átomos en una linea, separados por distancias “corta” y “larga” como en la serie de conejos, obtendremos un cuasicristal en una dimensión. • Lo interesante es que los cuasicristales pueden pensarse como proyecciones de cristales

43. Cuasicristales pero que viven en espacios de mas dimensiones. Esquemáticamente lo que ocurre es como en la siguiente figura

44. Cuasicristales

45. Cuasicristales • Para formar cuasicristales en dos dimensiones tengo que proyectar desde un espacio de cuatro dimensiones y la estructura resultante se parece a la que sigue (llamada mosaico de Penrose)

46. Cuasicristales • Un cuasicristal en tres dimensiones se obtiene proyectando desde seis dimensiones. • por ello, según los cristalógrafos, el mundo tiene seis dimensiones. • vivimos en un subespacio tridimensional pero podemos ver “sombras” del mundo real.

47. EL MITO DE LA CAVERNA(LA REPÚBLICA DE PLATÓN) • Imagina un antro subterráneo que tiene todo a lo largo una abertura que deja libre a la luz el paso, y, en ese antro, unos hombres encadenados desde su infancia, de suerte que no pueden cambiar de lugar ni volver la cabeza, por causa de las cadenas que les sujetan las piernas y el cuello, pudiendo t

48. EL MITO DE LA CAVERNA(LA REPÚBLICA DE PLATÓN) • solamente ver los objetos que tengan adelante. A su espalda, a cierta distancia, y a cierta altura, hay un fuego cuyo fulgor les alumbra, y entre ese fuego y los cautivos se halla un camino escarpado. A lo largo de ese camino imagina un muro semejante a esas vallas que los charlatanes ponen entre ellos y los espectadores, para ocultar a éstos el juego y los secretos trucos de las

49. EL MITO DE LA CAVERNA(LA REPÚBLICA DE PLATÓN) • maravillas que les muestran. • La situación es como en la figura que sigue:

50. EL MITO DE LA CAVERNA(LA REPÚBLICA DE PLATÓN)