Fachdidaktik Seminar – Kernideen der Mathematik

1. Fachdidaktik Seminar – Kernideen der Mathematik Sommersemester 2009 Universität Mainz Johanna Trinkhaus, Timo Schweißguth

2. 1 Inhalt der Präsentation 2 3 4 5 • Umkehrungen in Mathematikunterricht – Was geht, was geht nicht? • Winkel um Mathematikunterricht – Wo kommen sie vor? • Unterrichtsplanung zum Innenwinkelsummensatz von Dreiecken 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

3. 1 Umkehrungen – Satz des Pythagoras 2 3 4 5 • Satz des Pythagoras: • Ist ein Dreieck ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse c, dann gilt: • Umkehrung: • Sei ein Dreieck ABC mit den Seiten a,b,c gegeben und es gelte . Dann ist das Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck mit als Hypotenuse. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

4. 1 Umkehrungen – Satz des Pythagoras 2 3 4 5 • Beweisidee: • Wir wählen uns ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und b und zeigen, dass dieses kongruent zum Dreieck aus der Umkehrung ist. • Schüler sollen an diesem wichtigen und bekannten Satz lernen, worauf es bei Umkehrungen und Beweisen ankommt. Dies ist dann eine gute Übung, um das mathematische Argumentieren zu trainieren. (Kompetenz K1) 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

5. 1 Umkehrungen – Satz des Thales 2 3 4 5 • Satz des Thales: • Die freien Ecken C aller rechtwinkligen Dreiecke mit gemeinsamer Hypotenuse AB liegen auf einem Kreis mit AB als Durchmesser. • Umkehrung: • Jedes Dreieck, dessen Ecken so auf einem Kreis liegen, dass eine Seite Kreisdurchmesser ist, besitzt einen rechten Winkel. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

6. 1 Umkehrungen – Satz des Thales 2 3 4 5 • Beweis: • Ergänzung des rechtwinkligen Dreiecks zu einem Rechteck und Betrachtung der beiden Diagonalen • Vorkenntnisse: • Diagonalen eines Rechtecks sind gleich lang • Diagonalen eines Rechtecks halbieren sich gegenseitig 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

7. 1 Umkehrungen - Strahlensätze 2 3 4 5 • Strahlensätze • 1. Strahlensatz • Merkregel: • 2. Strahlensatz • Umkehrung: • Erster Strahlensatz ist umkehrbar, der zweite allerdings nicht. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

8. 1 Umkehrungen - Strahlensätze 2 3 4 5 • Beweise/Begründungen • Für den ersten Satz sollen die Schüler an Beispielen erkennen, dass die Umkehrung gilt • Für den zweiten Strahlensatz ergibt ein einfaches Beispiel, dass die Umkehrung nicht gilt. (Kreis um A mit ergibt weitere, nicht parallele, Strecke für die die Behauptung gilt. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

9. 1 Umkehrungen - Probleme 2 3 4 5 • Häufig fällt es den Schülern schwer Behauptung und Voraussetzung zu trennen. So wird beim Beweisen vielleicht ungültiges als Beweismittel eingesetzt. • Schüler müssen bei Gleichungsumformungen darauf achten ob die Umkehrung wirklich gelten kann. (Umkehrung könnte /0 sein) • Trennung von Satz und Umkehrung 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

10. 1 Winkel - Höhenbestimmung 2 3 4 5 • Problemstellung • Aufgabe • Schüler gehen auf den Schulhof und sollen die Höhe h des Schulgebäudes bestimmen und vorher eine Skizze anfertigen • Vorerst sollen die Schüler ohne Hilfe zurecht kommen • Hilfestellung: Trigonometrische Funktionen 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11. 1 Winkel - Höhenbestimmung 2 3 4 5 • Vorkenntnisse: • Umgang mit der Winkelmessung eines Theodoliten (Einführung im Unterricht) • Kenntnisse über trigonometrische Funktionen • Probleme • Schüler versuchen h zu schätzen, indem sie die Höhe des Gebäudes mit der eigenen Größe vergleichen • Zeichnungen allein helfen bei Messung nicht, da der Realitätsbezug verloren geht 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

12. 1 Winkel – Ähnliche Dreiecke 2 3 4 5 • Problem: • Quadrat mit Seitenlänge 8cm • Aufgabe: • Zeige, dass alle Dreiecke ähnlich sind. • Zeige an einem Dreieck, dass die Seitenverhältnisse 5:4:3 sind. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

13. 1 Winkel – Ähnliche Dreiecke 2 3 4 5 • Vorkenntnisse: • Innenwinkelsummensatz von Dreiecken • Definitionen von Stufen-, Wechsel- und Nebenwinkeln • Satz des Pythagoras • Probleme: • Sehr formal, da keine Zahlenbeispiele • Anwendungsaufgabe • Bsp. mit Winkelmessungen kann helfen 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

14. 1 Winkel – Grad- und Bogenmaß 2 3 4 5 • Problem: • Was ist b? Wie berechne ich b? • Idee: Einheitskreis  • Schüler sollen erkennen, dass b eine Teil von U ist • Aufgabestellung: • Schüler sollen Werte vom Bogenmaß ins Gradmaß umrechnen und umgekehrt • Schüler sollen möglichst alleine allg. Formeln aufstellen • Was ist bei ? 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

15. 1 Winkel – Grad- und Bogenmaß 2 3 4 5 • Vorkenntnisse: • Berechnung vom Kreisumfang • Umgang mit Winkeln im Bogenmaß • Probleme: • Formale Abstraktion 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

16. 1 Einstiegsmöglichkeiten Winkelsummensatz 2 3 4 5 • Dreieck auf Papier oder Pappe zeichnen und ausschneiden, Ecken abreißen und zusammenlegen • Im Helf oder mit DynaGeo sollen die Schüler versuchen ein Dreieck mit möglichst großer Innenwinkelsumme zu zeichnen • Abschreiten der Winkel • Formaler Ansatz für die besseren Schüler 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20