PROGRAMMATION SCIENTIFIQUE EN C

1. PROGRAMMATION SCIENTIFIQUE EN C PRO-1027

2. Interpolation de fonctions • Introduction • Méthode de Gregory-Newton • Méthode de Lagrange • Travail pratique 3 a) • Affichage de 2 courbes avec xgraph

3. Introduction • Dans plusieurs problèmes nous avons en main un ensemble de mesures discrètes • Nous voulons souvent connaître le comportement du phénomène mesuré entre chaque mesure discrète • Nous devons alors interpoler les intervalles de valeurs entre chaque mesure discrète à l’aide de fonctions de degré quelconque

4. Introduction • Si nous avons un polynôme d’interpolation f(x) de degré n: • Les coefficients du polynôme sont déduits à partir des points de contrôle (mesures)

5. Introduction • Interpolation linéaire • Deux points de contrôle (mesures) sont nécessaires pour déduire les coefficients inconnus

6. Introduction • Interpolation linéaire

7. Introduction • Interpolation linéaire • Par la loi des triangles semblables nous savons: • Si f(x) est mis en évidence: DÉVIATION PAR RAPPORT à xi PENTE

8. Introduction • Interpolation linéaire • Ce type d’interpolation peut causer des erreurs importantes lorsque le polynôme réel est d’ordre supérieur au polynôme d’interpolation (Voir l’intervalle [2,3]) • Pour améliorer la précision de l’interpolation nous devons utiliser des polynômes de degrés supérieurs

9. Introduction • Interpolation non linéaire • Prenons par exemple un polynôme de degré 2 • Nous devons alors utiliser 3 points de contrôle pour dé- • duire les valeurs des coefficients • Si nous généralisons cette approche, nous pouvons • alors utiliser un polynôme d’interpolation de degré n • avec n+1 coefficients et qui requière n+1 points de con- • trôle pour déduire les valeurs des coefficients

10. Méthode de Gregory-Newton • Cette méthode permet de déduire un polynôme d’interpolation de degré n sans avoir à résoudre un système d’équations linéaires • Le polynôme déduit par cette méthode est de la forme • Les n valeurs de xi et f(xi) sont connues, les n+1 valeurs des coefficients ai sont inconnues et doivent être déduites

11. Méthode de Gregory-Newton • Si les valeurs de x sont en ordre croissant nous pouvons alors déduire les coefficients ai par • Nous répétons ces calculs pour les n+1 coefficients ai.

12. Méthode de Gregory-Newton • Le polynôme de Gregory-Newton sous sa forme généralisée

13. Méthode de Gregory-Newton • Le polynôme de Gregory-Newton sous sa forme généralisée (calcul des coefficients ai)

14. Méthode de Gregory-Newton • Le polynôme de Gregory-Newton sous sa forme généralisée

15. Méthode de Gregory-Newton • Le polynôme de Gregory-Newton sous sa forme généralisée (forme récursive)

16. Méthode de Lagrange • Lorsque les intervalles en x sont inégaux il faut utiliser une autre forme de polynôme d’interpola-tion • Le polynôme de Lagrange de degré n-1 est utilisée dans ces circonstances. Sa forme générale est donnée par

17. Méthode de Lagrange • Les fonctions cardinales li(x) sont données par

18. Méthode de Lagrange • Les fonctions cardinales li(x) sont données par (n = 3)

19. Méthode de Lagrange • Les fonctions cardinales li(x1) sont données par (n = 3)

20. Méthode de Lagrange • Les fonctions cardinales li(x1) sont données par (n = 3)

21. Méthode de Lagrange • Algorithme Lire les xi Lire les yi Pour m valeurs de x dans l’intervalle [minx, maxx] FAIRE Calculer Écrire x et f(x) dans un fichier FIN POUR

22. Travail pratique 3 a) • Recherche du chemin interpolant un ensemble de points (exemple du taxi)