1 / 24

Euklidészi gyűrűk

Euklidészi gyűrűk. Definíció. Az R integritási tartományt euklidészi gyűrűnek ne-vezzük, ha  olyan  függvény, amelyre  : R *  N 0 , és. I.   ,  R ,  0 esetén létezik olyan  ,  R , hogy.  =  +  , ahol.  = 0 vagy.   0 és  (  ) <  (  ),.

milo
Download Presentation

Euklidészi gyűrűk

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Euklidészi gyűrűk Definíció. Az R integritási tartományt euklidészi gyűrűnek ne-vezzük, ha  olyan  függvény, amelyre : R* N0, és I.  , R, 0 esetén létezik olyan , R, hogy  =  + , ahol  = 0 vagy   0 és () < (), II. valamint ()  max((), ()) , ,  R* -ra.

  2. Példák. 1.Z az abszolút érték függvénnyel. 2. Gauss-egészek: G = { a+bi | a, b  Z } a+bi  G esetén (a+bi) = (a+bi)(a–bi) = |a+bi|2= a 2 + b 2 3. H a szokásos + és  műveletekkel, ahol

  3. Definíció. Legyen R integritási tartomány és a, b  R. aosztójab-nek, ha létezik c  R, mely-re b = ac. a | b Könnyen belátható, hogy az oszthatóság tranzitív, továbbá a|b, a|c esetén a|bx+cy is teljesül, ha a, b, c, x, y R. Definíció. R integritási tartományban a  Regység, ha a |rr  R-re.

  4. 37. Tétel. R integritási tartományban akkor és csak akkor léte-zik egységelem, ha létezik egység. Bizonyítás. •  :Tfh R-ben van e egységelem, vagyis er = r minden r R esetén. • e |r minden rR esetén, • az egységelem egység is egyúttal. 2.  : Tfh aR egység, és legyen rR tetszőleges. a |a  eR : ae = a. Ekkor e egységelem, mert a | r  sR : as = r, tehát  e egységelem

  5. 38. Tétel. Az R egységelemes integritási tartományban a  Rakkor és csak akkor egység, ha a |e. Bizonyítás. 1. Legyen a egység a |e. 2. Tfh a |e  a1R : e = aa1 és tetszőleges r R: er = r  aa1r = r a |r  a egység.

  6. 39. Tétel. Ha R euklidészi gyűrű, akkor egységelemes, és E = { r | r  R*, φ(r) minimális } az egységek halmaza R-ben. Bizonyítás. 1. Belátjuk, hogy E elemei egységek. Legyen aE, és bR tetszőleges. b-t oszthatjuk a-val maradékosan  c, dR : b = ac+d, ahol a. d=0, vagy b. d0 és (d) < (a). A b. eset nem fordulhat elő  (a) minimalitása miatt  d = 0 a |b.

  7. 2. Belátjuk, hogy minden egység E-ben van. Legyen aR egység, bE adott. a |b b = ac. bE, b0 a, cR*. Az euklidészi gyűrűk II. tulajdonsága   (b) (a). φ(b) minimális  φ(a) is minimális,  a E

  8. 1. Z-ben csak két egység van: +1 és –1. 2. G-ben az egységek Nullától különböző komplex szám abszolút értéke nem nulla, a nem nulla elemek esetén előforduló legkisebb érték 1. (a+bi)=1 (a+bi)=a2+b2=1 a=1 és b=0, vagy a=0 és b=1. G-ben az egységek. 1, i

  9. 3. egységek: a2–2b2=1 Ennek az úgynevezett Pell-egyenletnek végtelen sok megoldása van, • H-ban végtelen sok az egység. Néhány ezek közül:

  10. Definíció. Legyen R egységelemes integritási tartomány, és a, bR. Azt mondjuk, hogy a és basszociáltak, ha létezik olyan c egység, amelyikkel a = bc. Ezt a tényt ab-vel jelöljük. 40. Tétel. 1.R egységelemes integritási tartományban az egységek halmaza — jelöljük E-vel —, a szorzásra csoportot alkot. 2. Az asszociáltság R-ben ekvivalenciareláció.

  11. Bizonyítás. 1. Csoport: - egységek szorzata egység: e1c1 = e és e2c2 = e  e1c1e2c2 = e2= e  e1e2| e, - asszociatív mert R is az volt, - e az egységelem E-ben is, -  inverz: e1e2 = e  e1-1 = e2 .

  12. 2. Az asszociáltság ekvivalencia reláció: - reflexív: aa, hiszen a = ae minden aR esetén. - tranzitív: ab és bc  a = be1 és b = ce2,  a = ce1e2 , azaz ac . - szimmetrikus: ab  a = be1 / e1-1 a e1-1= be1 e1-1, a e1-1= b ba.

  13. 41. Tétel. Az R egységelemes integritási tartományban két elem asszociáltságához a kölcsönös oszthatóságuk szüksé-ges és elégséges feltétel. 1. ab  a |b és b|a 2. Tegyük fel, hogy ab és ba. Ha a és b egyike 0  a másik is az  asszociáltak is. Tfh a, bR*. b=ac és a=bd. b=bdc=b(dc), be=b(dc). b0, és nem nullosztó  e = dcd és c egységek ab.

  14. Definíció. Legyen R euklidészi gyűrű és a, bR. Azt mondjuk, hogy dR az a és blegnagyobb közös osztója, d=(a, b), ha 1. közös osztó, vagyis da és db, valamint 2. ca és cb esetén cd. Belátható az, hogy a legnagyobb közös osztó asszociáltság erejéig egyértelmű, valamint az, hogy (0, 0)=0.

  15. Ha a és b legalább egyike, mondjuk b0, akkor el-végezhető itt is az euklidészi algoritmus: a= bq0+r0 ha r00, akkor (r0)<(b) b= r0q1+r1 ha r10, akkor (r1)<(r0) r0= r1q2+r2 ha r20, akkor (r2)<(r1) ... rn–2= rn–1qn+rn ha rn0, akkor (rn)<(rn–1) rn–1= rnqn+1 Az euklidészi algoritmus most is véget ér véges sok lépésben. Belátható, hogy ezzel az algoritmussal megkapjuk (a, b)-t, valamint léteznek olyan x, yR elemek, hogy (a, b)=ax+by.

  16. Definíció. R legyen euklidészi gyűrű, E az egységek halmaza: 1.aR*–Efelbonthatatlan, ha a = bc, (b, cR) esetén bE vagy cE. 2.aR*–Eprím, ha abc, (b, cR) ab vagy ac. Belátható, hogy tetszőleges euklidészi gyűrűben egybeesik a prímek és a felbonthatatlanok halmaza.

  17. 42. Tétel. R legyen euklidészi gyűrű és a, bR*. Ha ab, akkor 1. (a)<(b), vagy 2. (a)=(b)  ha ab . Bizonyítás. 1. Euklidészi gyűrű II. tulajdonsága miatt (a)(b).

  18. 2. Tfh ab és (a)=(b). Az I. tulajdonság miatt létezik r, s R, amelyekre: a = br+s, ahol a. s = 0, vagy b. s 0 és (s)<(b)=(a). (*) ab tR : b = at továbbá a = ae De ekkor s0  (*) miatt ez nem fordulhat elő  s = 0 , ba azaz a  b.

  19. Definíció. Az R euklidészi gyűrű triviális, ha csak az egységeket és a nullelemet tartalmazza, vagyis R* = E. 43. Tétel. R euklidészi gyűrű akkor és csak akkor triviális, ha test. Bizonyítás. 1. Tfh R triviáliseuklidészi gyűrű  aR* egység  bR esetén a |b  az ax=b egyenlet megoldható, vagyis R test. 2. Tfh R test  az ax=b egyenlet megoldható tetszőleges rögzített a0 és minden b esetén  ab, s így a egység.

  20. 44. Tétel. R euklidészi gyűrűben minden nullától és az egysé-gektől különböző elemnek van felbonthatatlan osztója. Bizonyítás. Tfh aR*\E, és D = {r: rR*\E, ra és, ha sR*\E és sa(r)(s)}. D az a elem azon nem nulla, nem egység osztóit tartalmazza, amikre a  érték minimális. D     f D.

  21. Indirekte tfh f nem felbonthatatlan  f = bc és b, cE ba . bf és nem asszociáltak  42. Tétel (b)(f)  (b)<(f) , mert ekkor b lenne D-ben f helyett.  f felbonthatatlan

  22. 45. Tétel. Legyen R euklidészi gyűrű és aR*\E. Ekkor a elő-állítható véges sok R-beli felbonthatatlan szorzataként. Bizonyítás ( értéke szerinti teljes indukció). Tfh aR*\E . 1. Tfh (a) minimális az R*\E-beli elemekre nézve. 44. Tétel  a felbonthatatlan. a = a 2. Legyen aR*\E, (a) = n, és tegyük fel, hogy n-nél kisebb  értékkel rendelkező elemek esetén az állítás igaz. 44. Tétel   f felbonthatatlan : f |a a = fh .

  23. a = fh . Lehet-e (h) = (a) ? Ekkor h |a  a  h lenne, de f nem egység, tehát (h) < (a). 1. eset: Tfh h egység  a felbonthatatlan. 2. eset: Tfh h nem egység  indukciós feltétel  h-nak  megfelelő felbontása: h = f1f2…fr  a = ff1f2…fr .

  24. 46. Tétel. Legyen R euklidészi gyűrű és aR*\E. Ekkor a sorrend és asszociáltság erejéig egyértelműen bontható fel felbonthatatlanok szorzatára. Megjegyzés: Ha érvényben van egy R integritási tartományban az egyértelmű felbontás tétele, ebből nem következik, hogy euklidészi gyűrű. Gyűrűk Integritási tartományok Faktorizációs tartományok, Gauss-gyűrűk Euklidészi gyűrűk Testek

More Related