Wer war Euklid und was hat er geschaffen?

1. Wer war Euklid und was hat er geschaffen? Lehrkräftefortbildung im „Jahr der Mathematik“ 8. November 2008 Prof. David E. Rowe

2. Wer war Euklid? • Lebte in Alexandrien ca. 300 v. Chr., also bald nach Gründung der Stadt • Autor von mehreren mathematischen Werke, von denen die meisten verloren gegangen sind • Zählt mit Archimedes und Apollonius zu den drei wichtigsten Verfasser griechischer Texte

3. Alexander Jones über Euklid und Archimedes Notices of the AMS, May 2005

4. „Ancient Greek mathematics is associated in most peoples’ minds with two names: Euclid and Archimedes. The lasting fame of these two men does not rest on the same basis. We remember Euclid as the author of a famous book, the Elements, which for more than two millennia served as the fundamental introduction to ruler-and-compass geometry and number theory.”

5. „About Euclid the man we know practically nothing, except that he lived before about 200 B.C. and may have worked in Alexandria. He wrote works on more advanced mathematics than the Elements, but none of these have survived, though we have several fairly basic books on mathematical sciences (optics, astronomy, harmony theory) under his name. All his writings dive straight into the mathematics with no introductions. There are hardly even any reliable anecdotes about Euclid.”

6. Fragment aus Euklids Elementen von ca.100 n. Chr.: Satz II.5

7. EE II.5: ein Hauptsatz der „geometrischen Algebra“ EE II.5: Teilt man eine Strecke sowohl in gleiche als auch in ungleiche Abschnitte, so ist das Rechteck aus den ungleichen Abschnitten zusammen mit dem Quadrat über der Strecke zwischen den Teilpunkten dem Quadrat über die Hälfte gleich.

8. Euklids Elemente: ein architektonisches Meisterwerk

9. Die Elemente Euklids im Überblick • 13 Bücher, die der Elementarmathematik gewidmet sind (ausgeschlossen sind die Kegelschnittslehre und höheren Kurven) • Bücher I-IV: die Kongruenzsätze und Flächenlehre für geradlinigen Figuren und Kreisen • Bücher V-VI: die Proportionenlehre und ihre Anwendung auf ähnliche Figuren

10. Bücher VII-IX: Zahlentheorie (geraden und ungeraden Zahlen; Beweis dafür, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, usw.) • Buch X: die Klassifizierung irrationaler Verhältnisse (das längste und schwierigste Buch, wofür die Araber sich sehr interessierten) • Bücher XI-XIII: räumliche Figuren einschließlich die Platonischen Körpern

11. Die Konstruktion regelmäßiger Figuren und Körpern

12. Geometrie mit Zirkel und Lineal • Die sämtliche Konstruktionen in Euklids Elementen kann man mit diesen Hilfsmittel allein ausführen • EE Buch IV: die regelmäßige Vielecken • EE Buch XIII: die 5 Platonischen Körper

13. Reguläre Vielecken In Buch IV zeigt Euklid, dass folgende reguläre Vielecken konstruiert werden können: N = 3,4,5,6,8,10,15

14. Geometrie mit Zirkel und Lineal • Die Konstruktionen für regulären Vielecken mit n = 3, 4 sind möglich, da man mit Zirkel und Lineal Winkeln von 60° bzw. 90° konstruieren kann • Man kann auch einen beliebig vorgegebenen Winkeln immer halbieren • Somit sieht man leicht, dass es unendlich viele konstruierbare n-Ecken gibt, z. B. alle von der Form:

15. Die 5 Platonische Körper • In EE Buch XIII wird gezeigt, wie man diese 5 reguläre Polyeder konstruiert • Zum Schluss wird in EE XIII.18 bewiesen, dass es nur fünf solcher Figuren gibt

16. Es gibt kein Platonische Körper, wo die Flächen Sechsecken sind

17. Die fünf Platonische Körper in Keplers Weltharmonik, 1619

18. Johannes Kepler, 1571-1630: Platonist und Astronom

19. Keplers Mysterium Cosmographicum, 1596 Fünf Körper für Sechs Planeten

21. Euklid als historische Figur: Jean Itards drei Hypothesen

22. Der fehlende Existenzbeweis • Archimedes und Apollonius schrieben informalen Vorreden zu ihren Werken • In den Werken Euklids findet man nur reine Mathematik: Definitionen, Postulate, Axiomen und zwei Arten von Sätzen (Lehrsätzen und Konstruktionsaufgaben) • Der Mathematikhistoriker Jean Itard warf deswegen die Frage auf: existierte einen Mathematiker Namens Euklid überhaupt?

23. Itards drei mögliche Hypothesen 1) Euklid sei eine historische Figur, der die nach ihm genannten Werke tatsächlich geschrieben hat; oder 2) Er lebte schon, aber als Leiter eines wissenschaftlichen Projekts in Alexandria, an dem er auch vermutlich beteiligt war (also in etwa vergleichbar mit dem Maler Rubens); oder 3) Euklid von Alexandria war der Deckname einer wissenschaftlichen Mannschaft, die die euklidische Werke produzierten (also eine Art antike Bourbaki)

24. Aus der Vorrede zur Konika des Apollonius „Apollonius grüßt Eudemus. Wenn es dir gesundheitlich gut und auch im übrigen nach Wunsch geht, so freue ich mich. Mir geht es zur Zufriedenheit. Als ich mit dir in Pergamon zusammen war, erfuhr ich von dir, dass du sehr gespannt seiest, meine Forschungen über die Kegelschnitte kennen zu lernen. Daher sende ich dir hiermit das erste Buch, das ich beendigt habe; die übrigen Bücher werde ich dir, sobald ich sie zu meiner Zufriedenheit beendet habe, zustellen. . . .“

25. „Denn ich möchte glauben, dass du dich noch wohl erinnerst, von mir gehört zu haben, dass ich auf die Bitte des Geometers Naukrates ans Werk gegangen war, der seinerzeit nach Alexandria gekommen war und sich bei mir aufhielt. Ich hatte dir erzählt, dass ich die „Kegelschnitte“, die ich in acht Büchern behandelt hatte, ihm, weil er sich eiligst einschiffen wollte, sogleich mitgegeben habe, ohne sie einer eingehenden Durchsicht zu unterziehen, indem ich mir alles aufschrieb, wie es mir gerade in den Sinn kam, und in der Absicht, später daran zu feilen. . . .“

26. „Was ich aber Durchmesser und Achsen nenne, wirst du aus diesem Buche ersehen. Das dritte Buch enthält viele merkwürdige Lehrsätze, die von Bedeutung sind für die Konstruktion räumlicher, geometrischer Örter und für deren Determinationen und die meist sehr schön und neu sind. Nachdem ich diese entdeckt hatte, sah ich, dass Euklid die Konstruktion der Örter zu drei und vier Geraden nicht gefunden hatte, sondern nur einen Teil derselben und zudem nicht glücklich; denn es war nicht möglich, ohne die von mir gefundenen Sätze die Konstruktion zu Ende zu führen. . . .“

27. Euklid gerät in Vergessenheit Die englische Ausgabe der Elemente von Henry Billingsley

28. Billingsleys Euklid: antike Popups

32. Euklid von Megara, ein Schüler des Sokrates • Diese Verwechslung des berühmten Euklid von Alexandria mit einem fast völlig vergessenen Philosoph aus Megara zeigt deutlich, dass man sich an Euklids Elementen erinnerte, während seine Person in Vergessenheit geriet

33. Euklids Wirkungsstätte:Alexandria, ca. 250 v. Chr.

34. Alexandria unter den Ptolemäer • Die Stadt wurde von Alexander der Große im Jahr 332 gegründet • Er gab den Befehl die Insel Pharos mit dem Festland zu verbinden • Nach seinem Tod 323 wurde sein Reich in drei Teilen zerlegt • Sein General Ptolemäus Soter gründete danach eine Dynastie in Ägypten • Als Ptolemäus I ließ er den berühmten Lichtturm auf Pharos bauen

35. Der Pharos-Lichtturm vor Alexandria • Zählt als eines der sieben Wunder der antiken Welt • Der Bau wurde 280 fertig gestellt • Über seinen Ausmaß und Aussehen ist nicht viel bekannt • Zerstört während eines Erdbebens im 14. Jahrhundert

36. Die Rolle von Alexandria in der Wissenschaftsgeschichte • Euklid, Archimedes und Apollonius erlebten Alexandria in der Zeit als die Stadt an der Spitze der damaligen wissenschaftlichen Welt stand • Das Museum und die zugehörige Bibliothek wurde ca. 300 von Ptolemäus I gegründet • Seine Nachfolger haben außerdem dieses Forschungszentrum stark gefördert • Unter römischen Herrschaft bekamen diese Institutionen jedoch nur wenig Förderung

37. Die Römer lassen sich blicken • Im Jahre 48 v. Chr. ließ Caesar die Flotte der Ägypter in Alexandria verbrennen • Einige Quellen berichten, dass die Bibliothek mit in Flammen aufging • Doch kann es sich dabei nur um Teile des Bibliotheksbestands gehandelt haben • Denn spätere Berichterstatter erzählen von den fortgesetzten Tätigkeiten dort

38. Antike Alexandria, ca. 400 n. Chr.

39. Das Museum und die Bibliothek • Das Museum in Alexandria war ein internationaler Treffpunkt für Gelehrten aller Fachrichtungen, also es war eine Art antike Forschungszentrum • Die hatten Zugang zur zugehörigen Bibliothek, in der etwa 500,000 Werke Platz fanden • Teile davon wurden in Kriegszeiten zerstört, aber ein Rest blieb bis zum 7. Jahrhundert n. Chr. z. T. erhalten

40. Die alexandrinsche Bibliothek

41. Aus einer amerikanischen Fernsehproduktion

42. Antike Bücherregale

43. Alexandria in der heutigen Zeit

44. Ältere archäologische Funde

45. Neuere archäologische Funde Vermutlich wurden im Jahre 2004 die Überreste des Museums und der Bibliothek bei Ausgrabungen durch ein polnisch-ägyptisches Archäologenteam wiederentdeckt

46. Alexandrias neue Bibliothek

47. Alexandrias neue Bibliothek: ein von der UNESCO gefördertes Projekt Eine norwegische Architekturfirma bekam den Auftrag dieses spektakuläre Gebäude zu konstruieren Die neue Bibliothek könnte bis 8 Millionen Bücher behalten

48. Sie wird natürlich keine universelle Bibliothek • Die heutige Bestände bestehen aus etwa 200.000 Bücher • Das wäre ungefähr die Hälfte der alten Bibliothek • Die größte Bibliothek ist die US Library of Congress mit etwa 18 Millionen Bücher

50. Beweisidee für I.47 • Euklid fällt den Lot vom Eckpunkt des rechten Winkels auf die Hypotenuse • Im großen Quadrat entstehen dadurch zwei Rechtecken • Es wird bewiesen, dass sie jeweils zu den oben stehenden Quadraten flächengleich sind