Gazdaságstatisztika

1. Gazdaságstatisztika Idősorok elemzése 21. előadás

2. Hol járunk?

3. Idősorok • Az X magyarázó változó és az Y eredményváltozó sztochasztikus kapcsolatának speciális esete • Idősorok esetén • Az X magyarázó változó lehetséges értékei időpontok, vagy időtartamok. • Az Y eredményváltozó sztochasztikusan függ X lehetséges értékeitől. • Gyakran alkalmazunk idősorokat gazdasági jelenségek leírására. Például: • a felsőfokú végzettséget szerző hallgatók száma évente • BUX index napi záró értékei • egy vállalkozás havi árbevételei • egy bizonyos termék havonta értékesített mennyiségei

4. Idősorok elemzése • Grafikus ábrázolás • Vonaldiagramot célszerű készíteni, ez jól sugallja az adatsorban rejlő szabályszerűségeket

5. Idősorok elemzése • Idősorok elemzése • Alapvetően leíró statisztikai módszerekkel • Átlagszámítás tekintetében azonban különbséget kell tennünk a tartamidősorok és állapotidősorok között • Tartamidősor • A magyarázó X változó értékei (általában azonos hosszúságú) időtartamok, az Y eredményváltozó értékei tartamadatok, amelyek összegezhetők, és egyszerű számtani átlaggal átlagolhatók. • Állapotidősor • A magyarázó X változó értékei időpontok, így az Y eredményváltozó értékei egy-egy időpontra vonatkozó adatok, melyek összegzésének tartalmi értelme nincs. Y értékeinek átlaga az átlagos állománynagyság, melyet a kronologikus átlaggal határozunk meg. Ha Y1, Y2, … Yn egy állapotidősor n db egymást követő értéke, akkor kronologikus átlaguk:

6. Példa tartam- és állapotidősorra • Egy utazási iroda valutakészletének és értékesítésének adatai az alábbiak • Határozzuk meg a 2. félévben a havi átlagos valutaértékesítést, s az átlagos valutakészletet! • A havi valutaértékseítés adatok tartamidősort alkotnak • A 2. félév adatainak átlaga: • A hónap utolsó napján tekintett valutakészlet adatok állapotidősort alkotnak • Az átlagos valutakészlet a kronologikus átlaggal számítható:

7. Idősorok összetevőinek vizsgálata • Idősorok elemzésének két fő megközelítési módja ismert • Sztochasztikus modell • Az idősor pillanatnyi értékeit saját korábbi állapotából és a véletlen hatásokból lehet magyarázni. • A véletlen változó a jelenség fő mozgatója. • Determinisztikus modell • Az idősor alakulását a következő összetevők határozzák meg: • Tartósan érvényesülő hosszútávú tendencia (trend) • Tartósan ható, szabályos, jól modellezhető periodikus ingadozás • A véletlen, amely eseti-egyedi eltérítő hatást eredményez • Két szemlélet, két modell • Mi a determinisztikus modellt tárgyaljuk.

8. Idősorok összetevőinek vizsgálata - trendhatás • Hosszútávú, tartósan érvényesülő irányzat a trend • Hogyan határozzuk meg a trendet? • Mozgóátlagolással (mi ezt alkalmazzuk…) • Analitikusan, valamilyen trendfüggvény típus segítségével • Lineáris, exponenciális, logaritmikus, hatvány, polinom

9. Idősorok összetevőinek vizsgálata - periodikus ingadozás • Két fajtáját különböztetjük meg • Ciklikus (konjunkturális) ingadozást • Az üzleti és gazdasági tevékenységek esetében az ingadozásokat akkor nevezzük ciklikusnak, ha azok több mint egy éves időintervallum után ismétlődnek. Például: konjunktúra, recesszió, stagnálás, megújulás • A hullámzás periódusa nem állandó • Ezt a tárgy kereteiben nem vizsgáljuk • Szezonális (idényszerű) ingadozás • Az idősort úgy tekintjük, mint azonos hosszúságú időszakok (vagy időpontok) adatainak egymás utáni sorozatát. • A trendtől nagyon hasonló, ismétlődő mintázatot mutató eltéréseket a szezonális ingadozás eredményének tudhatjuk be. Például: karácsony előtt a vásárlások • A hullámzás periódusa állandó

10. Idősorok összetevőinek vizsgálata - szezonális ingadozás • Hasonló, ismétlődő trendtől való eltérés mintázatok

11. Idősorok összetevőinek vizsgálata - szabálytalan, véletlen ingadozás • Valószínűségi változónak tekintjük • A véletlen ingadozás sok, önmagában nem jelentős tényező együttes hatása az idősorra • Lehet, hogy egy-egy tényező (sztrájk, árvíz, stb.) jelentősebb hatást gyakorol a megfigyelt mennyiségre, de feltesszük, hogy ezek csak rövid ideig okoznak változást, így hatásuk összességében véletlennek tekinthető

12. Idősorok összetevőinek vizsgálata - dekompozíciós eljárás • A determinisztikus modell az Y eredményváltozó összetevőkre (trend-, szezonális- és véletlen hatás) történő felbontásának matematikai leírása. • Ezért szokták a modellt dekompozíciós eljárásnak is nevezni. • Attól függően, hogy az idősor összetevői között milyen kapcsolatot tételezünk fel, a determinisztikus modell lehet additív vagy multiplikatív. • Additív modell • Y-t az összetevők összegének tekintjük • Multiplikatív modell • Y-t az összetevők szorzatának tekintjük

13. Idősorok összetevőinek vizsgálata - additív és multiplikatív dekompozíció • n: az idősor elemeinek száma • p: szezonok száma egy periódusban • n/p: a periódusok száma • yij : az idősor i-edik periódusának (i=1..n/p), j-edik (j=1..p) szezonjához tartozó adat Additív modell Multiplikatív modell Véletlen hatás Véletlen hatás Szezonális hatás Szezonális hatás Trendhatás Trendhatás

14. Trend becslése mozgóátlaggal • Cél: szezonális és véletlen ingadozás hatásának “kiszűrése”, azaz a trendhatás, amennyire csak lehet, legyen mentes a szezonális és véletlen hatásoktól • Eszközként a mozgóátlagot használjuk (sok más módszer is ismert) • Mozgóátlag • Az idősor elsőelőre rögzített számú eleméből számtani átlagot képezünk, majd az első elemet kihagyva, s a következőt bevonva folytatjuk a számítást az utolsó adatig. • Ha van szezonalitás, akkor a mozgóátlag taglétszámát úgy kell megválasztani, hogy az a perióduson belüli szakaszok (szezonok) számával azonos, vagy annak egész számú többszöröse legyen.

15. Trend becslése mozgóátlaggal • Ha a mozgóátlag elemeinek száma páratlan (2l+1), akkor a trend k-adik eleme (k=l+1, l+2,…): • Ha a mozgóátlag elemeinek száma páros (2l), akkor a trend k-adik eleme (k=l+1, l+2, …):ahol Ez a centírozás

16. Példa* • Háztartások számára értékesített gázmennyiség (milló m3) Nógrád megyében 1990 és 1994 között negyedéves bontásban az alábbiak szerint alakult. • Határozzuk meg a gázfogyasztás alakulását jellemző trendet mozgóátlagolás alkalmazásával! * Forrás: Korpás A.-né: Általános statisztika II., Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1997

17. Példa - trend meghatározása • Ábrázoljuk az adatokat! • Az adatok emelkedő trendhatásra utalnak • Periódus az év • Negyedéves szezonalitás feltételezhető, azaz a szezonok száma egy periódusban 4 • Mozgóátlag elemszámának célszerű a 4-et választani

18. Példa - trend meghatározása ? k=4, l=2 k=3, l=2

19. Példa - trend meghatározása

20. Szezonalitás vizsgálata • Azt vizsgáljuk, hogy a rendszeresen (azonos periódushosszal) ismétlődő hatások, milyen mértékben vagy arányban térítik el az idősor értékeit a trendtől • Cél: a trendhatás és a véletlen hatásának “kiszűrése”az adatokból • Additív modell esetén a szezonalitást a trendtől való eltérés nagyságával, azaz a trendtől vett eltéréssel, multiplikatív modellnél a relatív eltéréssel jellemezzük

21. Szezonalitás vizsgálata • A trendhatást úgy szűrjük ki, hogy az idősor értékeiből rendre kivonjuk (ill. az idősor értékeit rendre elosztjuk) a trendértékeket (értékekkel). Ezek az egyedi szezonális eltérések (hányadosok). Additív modell Multiplikatív modell

22. Szezonalitás vizsgálata • A véletlen hatást úgy szűrjük ki, hogy minden periódusból vesszük az adott szezonhoz tartozó egyedi szezonális eltérések (hányadosok) átlagát. Ezek adják a szezonok nyers szezonális eltéréseit (szezondindexeit). Additív modell Multiplikatív modell j-edik nyers szezonális eltérés j-edik nyers szezonindex

23. Szezonalitás vizsgálata • Ha a trendet nem lineáris függvénnyel határozzuk meg, akkor nem teljesül az a feltétel, hogy a szezonális eltérések összege (illetve átlaga) 0 (multiplikatív modellnél, hogy szorzatuk 1). • Ilyenkor a szezonális eltéréseket (ill. szezonindexeket) korrigáljuk. Additív modell Multiplikatív modell j-edik korrigált szezonális eltérés j-edik korrigált szezonindex Az idősor értéke az adott szezonban átlagosan hányszorosa a trend szerinti értéknek. Az idősor értéke az adott szezonban átlagosan mennyivel tér el a trend szerinti értéktől.

24. Példa - szezonalitás meghatározása • Itt additív szezonalítás feltétezhető.

25. Példa - szezonalitás meghatározása Trend + véletlen

26. Példa – grafikus összegzés

27. Autó- és keresztkorreláció idősorok elemzésénél • Egy vagy több idősor egymást követő adatai szoros korrelációban állhatnak egymással (erős közöttük a sztochasztikus kapcsolat). • Autókorreláció • Egy változó egymást követő adatai közötti korreláció, azaz egy változó egymást követő adatai közötti sztochasztikus kapcsolat erőssége az autókorreláció. • Keresztkorreláció • Két különböző idősor időben eltolt adatai közötti korreláció a keresztkorreláció.