Föreläsning 7

1. Föreläsning 7 • Forwards och futures • Spot- och futurepriser • Implicerad riskfri ränta och avkastning • Växelkursparitet och förväntningar • Optionsprissättning • Köp och säljoptioner • Kombinationer av instrument och paritet • Binomialmodellen och B&S

2. Terminskontrakt • Ett terminskontrakt är ett bindande avtal om köp eller försäljning av en given kvantietet av en vara vid en given tidpunkt och till ett givet pris. • Detta pris kallas ”forward-priset”. Det pris som gäller idag kallas ”spot-priset” eller avista priset. • Terminskontrakt kan vara utformade för en specifik situation, forward-kontrakt, eller vara standardiserade, future-kontrakt. • Inga betalningar sker förrän vid slutdatumet. Däremot krävs att det finns tillräcklig säkerhet/pant på parternas konton vid börsen för att täcka eventuella förluster. • ”Margin calls” - krav på omedelbar förstärkning av säkerheten på kontot om denna underskrider viss nivå. Annars likvideras positionen.

3. Råvaruterminer - spread och “cost of carry” • Relationen mellan terminspriset F, spotpriset S och ”cost of carry” C illustreras i B&M med prisrisken för en odlare med ett ton vete i lager. Nästa skörd är om en månad. Hur kan odlaren hedga prisrisken? 1: Han kan sälja nu till spotpriset. 2: Han kan sälja på termin till F med leverans om en månad. • Det förra är lönsamt om S  F - C och det senare om S  F - C. Kan strikt olikhet hålla i det senare fallet? Nej, det möjliggör arbitrage. Att köpa på spotmarknaden, sälja till priset F och lagra i mellantiden ger en riskfri vinst. Alltså, F - S  C. • Kan strikt olikhet hålla i det första fallet, dvs F - S < C? Inte om det finns vete i lager. • Ger F info om framtida spotpriser? Inte om det finns vete i lager. I ”stock out” fallet ger F viss info.

4. Lagen om ett pris innebär likhet i avkastning vilket implierar att Prisparitet för guldterminer • Om S är spotpriset för guld, S1 förväntat pris om ett år och s lagringskostnaden vad är då avkastningen på att lagra guld i ett år? • Om F är forwardpriset om ett år och r den riskfria ränta vad är då avkastningen på ”syntetiskt guld” (dvs investera S riskfritt och köp guld på termin för F för att sälja till S1)?

5. Finansiella terminskontrakt • När det gäller finansiella terminer är lagringskostnaden negligerbar, dvs • Antag att S > F/(1+r). Hur kan en arbitrageur utnyttja detta? Låna aktier, sälj till S och köp tillbaka till F och betala räntan r för aktielånet. • Exempel: Antag att S = 100 och F = 105 vad är r? 5%

6. Terminspriset och framtida spotpris • Exempel: Antag att spotpriset på en aktie är 100. Om den riskfria räntan är 3 procent och riskpremien 5 procent vad är då det förväntade aktiepriset om en period? • Vilket är aktiens terminspris? • Hur kan detta komma sig att man kan köpa till 103 när det förväntade priset är 108? Att köpa aktien innebär en risk som belönas med en riskpremie.

7. Växelkursparitet • Antag att F är forwardkursen för euro uttryckt i SEK/euro och att S är spotkursen. Då måste följande relation gälla • Antag att rSEK är lägre än så. Hur kan detta utnyttjas? • Sälj €1 kort till priset F. Värdet av kontraktet i t = 1 är F - S1. • Placera SEK S0/(1+r€) i €-obligationer värda €1= SEK S1 i t = 1. • Låna F/(1+ rSEK) som återbetalas med F i t = 1. Nettobetalningarna är 0 i t = 1 men F/(1+ rSEk )- S/(1+r€) > 0 i t = 0, dvs vi får pengar över och gör en arbitragevinst.

8. Övningar • 14:3 Aktie med S = 100 och D = 3. r = 0,07. • A) Vad är F om ett år? (F = S(1+r) - D = 104). • B) Om faktiskt F överstiger beräknat med en enhet vad skulle detta kunna säga om D? (Ev att marknaden förväntar D = 2). • 14:6 Guld. F = 435, r = 0,01 och s = 0,002. Vad är S? • S = 435/(1,012) = 429,84. • 14:7 Kryptonit. S = 180, F = 205,2 och s = 0,04. • A) Vad är r? 205,2 = 180(1+ r + 0,04) ger att r = 0,1 • B) Om r = 0,05. Hur kan man göra arbitrage och vad tjänar man? Köp nu till 180 och sälj till 205,2 nästa period. Finansiera köpet med lån på 180. Nästa period skall lån och ränta återbetalas. Till detta kommer lagringskostnaden s. Totalt blir det 180(1,09) = 196,2. Vinsten blir 9.

9. Optioner • En option är en rättighet, men ej skyldighet, att köpa (call) eller sälja (put) till ett visst pris vid en framtida tidpunkt. • Detta pris kallas lösenpriset (exercise/strike price) • Tidpunkten kallas slutdatum (expiration date) • En sk amerikansk option kan utnyttjas när som helst under löptiden medan en sk europeisk option bara utnyttjas vid slutdatumet. • Optionens “intrinsikala värde” är: tillgångens pris - lösenpriset • Optionens tidsvärde är: optionens värde - “intrinsikalt värde” • En köpoption är “in the money” om tillgångpriset > lösenpriset • Den är “out of the money” om tillgångpriset < lösenpriset

10. Optionspriser Exempel: Priser på köpoptioner i Ericsson 2003-05-22. Stockholmsbörsen.

11. Värde vid slutdatum I • Exempel: Värdet av en köpoption med lösenpriset 100 vid slutdatumet som funktion av tillgångspriset. Värde Aktiepris 100

12. Värde vid slutdatum II • Exempel: Värdet av en säljoption med lösenpriset 100 vid slutdatumet som funktion av tillgångspriset. Värde 100 Aktiepris

13. Put - Call paritet I • Olika kombinationer av instrument kan ge ekvivalenta tillgångar. En aktie plus en säljoption ger följande resultat. Värde Värde Säljoption Kombination Värde Aktie 100 Aktiepris Aktiepris 100 Aktiepris 100 100

14. Put - Call paritet II • En riskfri tillgång plus en köpoption ger motsvarande resultat. Värde Värde Köpoption Kombination Värde Riskfri tillgång 100 Aktiepris Aktiepris 100 Aktiepris 100 100

15. Put - Call paritet III • Lagen om ett pris innebär att dessa kombinationer måste vara värda lika mycket, dvs där S är aktiepriset, C (call) priset på köpoptionen, P (put) priset på säljoptionen, E lösenpris, r riskfri ränta och T återstående löptid. • Vi kan använda paritetsrelationen för att lösa ut priset på köpoptionen

16. Volatilitet och värdet av optioner • Exempel: Antag att en tillgång har två möjliga värden 120 och 80 som inträffar med lika sannolikhet. Vad är det förväntade värdet av tillgången respektive en köpoption med lösenpris 100? • 100 respektive 0,5x20 + 0,5x0 = 10 • Vad är tillgångens respektive optionens förväntade värde om utfallen i stället är 160 och 40? • 100 respektive 0,5x60 + 0,5x0 = 30

17. Värdering av optioner - binomialmodellen • Strategi: Konstruera en syntetisk option mha aktier och lån som ger samma utfall som den option vi vill värdera. Lagen om ett pris innebär att optionens värde måste vara lika med kostnaden för att skapa den syntetiska optionen. • Steg 1: Beskriv optionens utfall. För köpoption: (Bra utfall - lösenpris, 0). • Steg 2: Skapa syntetisk option. Köp 1 aktie och ta upp ett lån motsvarande det dåliga utfallet. Detta ger 0 i det dåliga utfallet liksom optionen. Skala aktie/lån-kombinationen så att det bra utfallet sammanfaller med optionens. • Steg 3: (Aktiepriset-nuvärdet av lånet)x skalfaktorn = kostnaden för att skapa den syntetiska optionen.

18. Exempel • Antag att en aktie med pris 100 kommer att vara värd 120 eller 80 i nästa period med lika sannolikhet. En köpoption med lösenpris 100 är värd 20 i det första utfallet och 0 i det andra utfallet. Antag att r = 0,05. • Vi köper en aktie och tar upp ett lån på 80/(1+r) som betalas med 80 i nästa period. I period 1 erhåller vi då 120 - 80 i det bra utfallet och 0 i det dåliga. Om vi i stället köper 0,5 aktier och tar upp halva lånet så får vi precis samma payoffutfall i period 1 som optionen ger. • Kostnaden initialt för detta är 0,5(100 - 76,9) = 11,09 vilket också är köpoptionens värde enligt lagen om ett pris.

19. Dynamisk replikering • Vi kan tänka oss motsvarande process över tiden. När aktiekursen förändras anpassas upplåning och aktieköp så att optionens payoff-struktur replikeras. • Anpassningen kan göras utan att mera pengar tillförs eller tas ut, dvs anpassningen är självfinansierande. Detta innebär att värdet av optionen motsvarar de initiala utläggen för skapandet av den syntetiska tillgången.

20. Black-Scholes modellen • B&S-modellen innebär en kontinuerlig anpassning av portföljen. • Värdet av en europeisk köpoption enligt B&S modellen är där T är återstående löptid i år och N(d) normalfördelningens fördelningsfunktion. • Notera att vid T = 0 är C = S - E.

21. Black-Scholes modellen forts. • Värdet på en köpoption ökar med aktiekursen och den riskfria räntan men minskar i lösenpriset och utdelningar. Det omvända gäller för en säljoption. Båda typerna av optioner ökar i värde med risken och löptiden. • Värdet av en säljoption kan fås genom att utnyttja paritetsförhållandet. • Om S = Ee-rT så kan formeln för optionsprissättning approximeras med

22. Andra tillämpningar • Värdering av eget kapital • Aktieägarna kan bara förlora sitt egna kapital • Lånegarantier • Riskabelt lån = Riskfritt lån + lånegaranti • Reala optioner • Investeringar - att vänta och se ger värdefull flexibilitet