Naturvidenskab 1

2. Naturvidenskab 1 TalentWeek 2013

3. Program • Intro • Hvad er matematik? • Kort om tal og bogstaver • Brøkregning • Potensregning • Kvadratsætninger • Ligningsløsning • Ligningssystemer • Andengradsligninger • Mængder og funktioner • Polynomier • Grænseværdier • Differentialregning

4. Intro – om undervisningen • Form • Teori (forelæsning) • Eksempler (instruktion) • Opgaver (øvelse) • Forståelse • Tempo • I styrer tempoet! • Progressivt niveau • Målsætning • Jeg skal ikke kunne svare • I skal sættes af… • Udfordring

5. Så er der Test! Grundlæggende færdigheder

6. Hvad er matematik? Hvad mener du?

7. Matematik • Ikke bare regning • Det er ikke en praktisk metode eller udenadslære • Logik – et skridt af gangen • Aksiomer, sætninger og beviser (matematikkens træ) • Sandhed – modsætning til fysik

8. Matematik – helt kort Matematik er almene love baseret udelukkende på fornuft.

9. Et eksempel… Hvor gamle er Frederik og Kirsten? Kirsten er 17 år ældre end Frederik og om 4 år er Frederik halvt så gammel som Kirsten, men hvor gamle er de to børn i dag?

10. Kort om tal og bogstaver Når tal bare ikke er nok…

11. Tal og bogstaver • Vi bruger tal i det konkrete tilfælde • Vi bruger bogstaver, når vi vil sige noget generelt (abstrakt) • Eksempel: Bevis for Pythagoras’ sætning.

12. Brøkregning

13. Udtryksanalyse • Hvad er et led? • Hvad er en faktor? • Vi multiplicerer og dividerer før vi adderer og subtrahere pr. definition • Alternativt: Led skal løses individuelt • Brug af parenteser

14. Hvad er en brøk? • En brøk er blot et divisionsstykke • Brøker angiver andele af hele • Tæller og nævner • Implicitte parenteser • De fire regnearter • Addition, subtraktion, multiplikation, division

15. Opgaver • Start med opgave 1 og 2 • Hvis det er let, er det ikke nødvendigt at lave alle opgaver. • Løs alle opgaver i 3 og 4 • Opgave 5 er til ekstra udfordring

16. Potensregning

17. Hvad er en potens? • Består af en rod og en eksponent • Hvad betyder notationen • Gennemgang af potensregneregler • Opgaver

18. Opgaver • Start med opgave 1, der handler om det grundlæggende • Opgave 2 er en del sværere og kombinerer flere regler ad gangen • Hvis man kan løse opgave 3, har man styr på potensregning

19. Kvadratsætninger

20. Kvadratsætninger • Hvad er en kvadratsætning? • Hvorfor hedder det en ”kvadratsætning” eller ”kvadratet af en toleddet størrelse”? • De tre kvadratsætninger • Eksempler

21. Opgaver Begynd med opgave 1-2; du behøver ikke løse alle opgaver, hvis det er let Regn alle opgaver i 3-4. Opgave 5 er en ekstra udfordring De tre kvadratformler

22. Ligningsløsning Når et udsagn er sandt…

23. Ligningsløsning • En ligning er et udsagn (en påstand) • Mål: Finde den/de værdier af variablen(e), der gør udsagnet sandt • Grundmængden: hvilke værdier må variablen(e) antage? • Teknik: udfør logiske omskrivninger, indtil variablen er isoleret • De to sider af ligningen, skal påvirkes på præcis samme måde. • Notation: x, y, z, … er variable, a, b, c, … er konstanter.

24. Eksempler

25. Opgaver Begynd med opgave 1-2; du behøver ikke løse alle opgaver, hvis det er let Regn alle opgaver i 3-4. Opgave 5 er en ekstra udfordring

26. Systemer af ligninger Flere løsninger??

27. Ligningssystemer • Ligninger er restriktioner i problemer • Variable er de værdier, vi søger at finde • Substitutionsmetoden

28. Substitutionsmetoden

29. Problemløsning Hvor gamle er børnene? I en familie er der to børn, Christian og Marianne. Marianne er 10 år ældre end Christian og om 3 år er Christian halvt så gammel som Marianne, men hvor gamle er de to børn i dag?

30. Opgaver Begynd med opgave 1-2; du behøver ikke løse alle opgaver, hvis det er let Regn alle opgaver i 3-4. Opgave 5 er en ekstra udfordring

31. Andengradsligninger Ligninger med potenser!

32. Andengradsligninger • Ligninger med potenser af den ubekendte • Nulreglen - eksempler og opgaver • Diskriminanten og løsningsformlen – eksempler, bevis og opgaver • Substitution

33. Andengradsligninger Ligninger på følgende form kaldes 2. grads ligninger: Disse ligninger kan ikke løses umiddelbart med den sædvanlige metode.

34. Nulreglen Eksempler:

35. Diskriminanten og løsningsformlen • Eksempler: • Bevis for løsningsformlen til andengradsligninger på formen

36. Substitution • ”Skjulte andengradsligninger” • Eksempel:

37. Opgaver Begynd med opgave 1-2; du behøver ikke løse alle opgaver, hvis det er let Regn alle opgaver i 3-4. Opgave 5 er en ekstra udfordring

38. Mængder og funktioner Fra en kasse og over i en anden…

39. Mængder C A B

40. Elementer A a4 a1 a3 a6 a7 a2 a5 A={a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7}

41. Funktioner A C c1 a1 c3 c2 a2 c5 a3 c4

42. Tal som elementer A C 2 1 14 3 4 9 7 6 Hvad gør funktionen??

43. Definitions- og dispositionsmængde A C 1 2 4 14 7 3 9 6 Funktionen f vælger elementer i C ud fra elementerne i A. f har således elementer i A, og kun i A, til rådighed – vi siger, at f er defineret for elementerne i A og A kaldes definitionsmængden. f skal frembringe elementer i C, og kun i C, vi siger at f har C til disposition og C kaldes dispositionsmængden.

44. Funktionsudtryk/forskrifter Vi vil nu opstille et udtryk for f, således vi kan tildele/finde et element i dispositionsmængden til ethvert vilkårligt element i definitionsmængden. Et sådant udtryk kaldes en forskrift. Et vilkårligt element i definitionsmængden betegnes: x Det endnu ukendte element i dispositionsmængden, som f vælger ud fra x, betegnes: y Analogt til tidligere notation kan vi mere generelt skrive:

45. Funktionsudtryk/forskrifter Vi har nu brug for at specificere funktionen. Idet vi ved at vi kan finde elementer i dispositionsmængden ved at benytte funktionen på elementer i definitionsmængden, altså y = f(x), må vi nødvendigvis spørge hvad funktionen gør ved elementerne i definitionsmængden, altså: f(x)=? Lad os derfor betragte det tidligere eksempel (næste slide)

46. A C 1 3 21 3 15 7 7 9 Hvad er forskriften for funktionen f?

47. A B 1 2 3 6 5 4 D C 4 4 5 9 9 5

48. K L 2 7 6 4 D C 12 7 6 5 9 6

49. A B 6 7 6 5 1 2 3 3 9 4 0 C D 9 8 3 20 6 13 11 10 9 14

50. A B C D