Chapitre 6 : Méthodes de calcul de champs

1. Chapitre 6 : Méthodes de calcul de champs Un champ prend une valeur différente en chaque point  une infinité de degrés de liberté  calcul en tout point impossible de façon purement numérique. Solution : décrire le champ par une fonction analytique comportant un nombre fini de paramètres. Exemple : T = Aelxoù A et l sont des nombres.

2. Forme des solutions du modèle champ Sauf pour des problèmes très simples (voir cours de physique de bac), on ne peut trouver une solution exacte couvrant tout le domaine de calcul. Le plus souvent, on subdivise le domaine de calcul en sous-domaines et on donne sur chacun séparément une expression du champ. Sur chaque sous-domaine, une solution peut être exacte (vérifiant toutes les équations) ou approchée (ne satisfaisant une ou plusieurs équations que de façon approchée) De même, les conditions de raccordement aux frontières des sous-domaines peuvent être satisfaites de façon exacte ou de façon approchée. Attention : on parle ici de solutions « exactes » par rapport au modèle, pas par rapport à la « réalité ».

3. Solutions analytiques exactes • champs uniformes • champs à une dimension • autres champs à haute symétrie (cylindrique, sphérique …) • - superposition ( dipôle), juxtaposition, méthode des images • - calcul par séparation des coordonnées (ex. entrefer épais) • - calcul par transformation conforme (ex. coeff. de Carter) • - expression trouvée de façon heuristique (souvent variation • autour d ’une expression trouvée par une autre méthode) • Il existe des catalogues de solutions (moins connus que par le passé … par manque de temps ? • … par aversion pour « les maths » ? ) • Une utilisation que nous avons déjà rencontrée des solutions exactes est la détermination de paramètres de type « circuit ».

4. Champ uniforme Exemple le plus simple : calcul simplifié du champ dans un élément en forme de prisme (entrefer, colonne magnétique, dent…). On suppose le potentiel magnétique constant sur chaque base du prisme et les surfaces latérales imperméables au champ (pas d’effets de bord). donc La relation constitutive (du point de vue circuit magnétique) se déduit de celle du matériau soit, dans le cas linéaire

5. Exemple de calcul simple appliqué à un électroaimant de levage

6. Connaissant le champ, on peut calculer l’inductance On peut aussi calculer la force en intégrant dans les entrefers la seule composante pertinente du tenseur de Maxwell, soit

7. Améliorations • Prise en compte de la réluctance du noyau de fer ( tronçons rectilignes par formules rappelées en CM3) • Prise en compte des réluctances de coin et de T (voir CM3) • Prise en compte de la saturation (indispensable si l’optimisation conduit à des valeurs de champ pour lesquelles la valeur choisie pour m n’est plus réaliste, ce qui est probable car elle cherche à réduire la quantité de fer du noyau) • Prise en compte des effets de bord dans les entrefers • Prise en compte du champ de fuite à travers le bobinage, qui vient augmenter la saturation d’une partie du noyau et augmenter l’inductance du bobinage. • …….

8. Cas des surfaces encochées On remplace l’ensemble dents-encoche par un volume plein, mais en ajoutant une réluctance de surface R0 .

9. Calcul du champ associé aux aimants montés en surface On suppose la magnétisation orientée selon Ox Alors, B est dirigé dans la direction 0x Donc B est uniforme ! Pour ce qui est de l’équation en H, on a en l’absence de courant rot H = 0 qui est satisfaite pour tout champ limité à Hx(x) .

10. Nous allons calculer le champ en fonction de la force magnétomotrice Dans les aimants, Ha est uniforme puisque B l’est. Il en est de même dans l’entrefer proprement dit où He = B / m0 . On obtient donc

11. jointe à la relation constitutive des aimants R(Ba , Ha ) = 0 fournit la valeur de B , et donc de He et Ha . )

12. En particulier, pour les aimants terres-rares, on a une relation linéaire B = Br + ma Ha Donc Grâce à la linéarité, on peut distinguer un champ « dû » à l’aimant et un champ « dû » à la force magnétomotrice.

13. Application à l’entrefer d’une machine rotative. Considérons les deux couronnes comme infiniment perméables. Dire que la perméabilité des corps ferromagnétiques est infinie revient à dire que dans ces corps H = 0 . On a donc, entre n’importe quel point du fer rotorique et n’importe quel point du fer statorique, la même intégrale Si les pôles sont symétriques, on doit avoir :

14. Si l’épaisseur totale de l’entrefer, soit g = e + ea , est petite par rapport à la largeur des aimants, on peut calculer le champ B de la même façon qu’aux transparents précédents. Il s’agit cette fois d’une solution approchée ! Il reste à décomposer le champ en série de Fourier et à garder seulement la fondamentale si on veut faire le calcul « au  premier harmonique ». On trouve facilement La méthode convient mal au calcul des harmoniques car leur « longueur d’onde » devient vite petite par rapport à g = e + ea . Bc d’ouvrages ignorent ce fait… !

15. Le champ d’entrefer calculé ci-dessus pour une machine rotative ne vérifie exactement aucun des deux volets d’équations de Maxwell ! On peut l’améliorer un peu de façon à avoir div B = 0 : il suffit de considérer que Br ne dépend pas de r , donc que mais on garde le problème que rot H≠ 0 Pour obtenir une solution exacte, il faut considérer le calcul du champ comme un problème 2D

16. Champ à une dimensionExemple : champ magnétique dans une encoche rectangulaire Supposons une densité de conducteurs uniforme. On a Le potentiel vecteur n’a qu’une composante, Az . Nous supposons que Az = A0 sur la ligne de séparation y=0 tracée entre l’entrefer et l’encoche. A0 est le potentiel vecteur associé au champ d’entrefer. Nous supposons encore que les dents et la couronne ont une perméabilité magnétique infinie (H = 0 ).

17. Essayons une solution où le champ est horizontal ( seule la composante Hx est différente de 0 ). L’équation se réduit alors à Sachant que, en y=b, Hx = 0 par la continuité de la composante tangentielle de H, on obtient

18. Pour calculer le flux du bobinage, cherchons le potentiel vecteur. Il obéit à l’équation soit Tenant compte de la condition Az = A0 en y = 0 , on obtient

19. Il est maintenant facile de calculer le flux du bobinage correspondant à la traversée de cette encoche. où L est la longueur de l’encoche. On obtient Le premier terme correspond au flux principal, et le second au flux de fuite à travers l’encoche. Ce dernier correspond à une inductance de fuite (à commenter) Cas des encoches de forme quelconque : pouvez-vous vous inspirer de la solution précédente pour trouver une solution approchée ?

20. Autres champs à haute symétrie Exemple : champ dans un secteur cylindrique (flux radial) Si le champ ne dépend pas de la coordonnée azimutale j , il est purement radial. L étant la hauteur du secteur, a son rayon intérieur, b son rayon extérieur et a son ouverture angulaire, on a Donc, pour un matériau doux linéaire Exemple d’utilisation : partie d’un électroaimant +/- cylindrique.

21. Cas particulier : champ homopolaire dans un entrefer cylindrique ou anneau complet. Ce champ ne dépend pas de la coordonnée azimutale j ; il est purement radial. L étant la longueur de l’entrefer, a son rayon intérieur, b son rayon extérieur, on a, en remplaçant a par 2p : Donc, pour un matériau doux linéaire (le vide ?) Le champ B ci-dessus ne dérive pas d’un potentiel vecteur unique (sauf si on introduit artificiellement une coupure dans le domaine). Par contre, le champ H dérive d’un potentiel scalaire magnétique (force magnétomotrice).

22. Calcul par décomposition spectrale Nous avons dit plus haut que, pour une machine hétéropolaire, le calcul du champ d’entrefer fait en supposant le champ radial suppose que l’entrefer est petit (par rapport aux distances de variation du champ). Même si l’hypothèse est correcte pour la fondamentale, ce n’est plus le cas pour les harmoniques. On est donc souvent conduit à faire un calcul de champ à deux dimensions (radiale + azimuthale, dans le cas d’un entrefer cylindrique). La façon classique d’y parvenir est d’effectuer une décomposition spectrale selon la coordonnée par rapport à laquelle le champ est périodique.

23. Structure de base Le cas le plus fréquent en électrotechnique est celui d’un domaine en forme de manchon (domaine cylindrique compris entre un rayon intérieur a et un rayon extérieur b). C’est notamment le cas de l’entrefer des machines cylindriques. Par séparation des variables, on peut écrire le champ sous la forme exacte suivante (nous n’écrivons qu’un terme de la série) On a en effet alors Soit, en référentiel orthonormé

24. Donc ou qui a bien un rotationnel nul. Il faut déterminer les 4 coefficients A’, A" , B’, B par les conditions aux limites. La somme de termes de cette forme est la solution générale d’un domaine sans source de champ (c’est le cas de l’entrefer des machines). Pour le montrer, il suffit de décomposer le champ en série de Fourier selon j . Si p est le nombre de paires de pôles, l’expression ci-dessus représente la fondamentale du champ. On peut écrire les harmoniques en remplaçant p par pn .

25. Nous allons décomposer le problème en considérant séparément les deux termes des sommes ci-dessus (donc un champ d’axe direct et un champ d’axe en quadrature). Nous nous limitons au premier terme dans les calculs ci-dessous (champ d’axe direct ). Par un changement de paramètre, nous allons écrire les expressions sous la forme d’un circuit magnétique équivalent. Pour cela, nous considérons, pour chaque valeur du rayon r, l’amplitude fmmr de la force magnétomotrice soit Nous définissons aussi un flux par pôle, Lm étant la longueur magnétique du domaine

26. Ces grandeurs sont aisément reliées aux champs et Les équations précédentes permettent d’écrire une relation entre les flux et les fmm en r = a et r = b.

27. où sont la perméance principale et la perméance de fuite du domaine (par unité de longueur). Les équations peuvent se mettre sous la forme d’un circuit

28. Cas de l’entrefer Ce modèle s’applique à l’entrefer proprement dit (avec m = m0). On peut inclure à l’entrefer des domaines adjacents ayant le même m (frette). Couronnes et domaine extérieur On peut aussi l’appliquer, séparément, à d’autres parties à symétrie cylindrique mais avec un m différent de m0 , ce qui est le cas des couronnes si on suppose le matériau magnétique linéaire. Le domaine situé au-delà des couronnes peut aussi être modélisé de la même façon, en faisant tendre a vers l’infini ou b vers 0 selon le cas, ce qui permet de tenir compte du champ à l’extérieur de la machine.

29. Aimants montés en surface Un cas particulier important est celui des aimants montés en surface. Les aimants terre-rare ayant une perméabilité proche de celle du vide, on peut les incorporer à l’entrefer pour calculer les champs dont les aimants ne sont pas la source. On peut faire mieux si les aimants sont jointifs (au moins approximativement) en considérant qu’ils forment un domaine à perméabilité magnétique uniforme (en pratique proche de 1.05 m0 ). L’entrefer et les aimants sont alors représentés par un double circuit en P .

30. Calcul en présence de sources de champ dans le domaine de calcul Si l’entrefer (au sens large, c’est-à-dire tout le domaine de calcul dans lequel on effectue une décomposition spectrale) contient des conducteurs parcourus par un courant ou des aimants, on peut recommencer le calcul de champ en en tenant compte. Si on s’intéresse uniquement aux flux et aux fmm aux frontières des différentes parties, on peut garder le modèle précédent en le complétant par des sources de flux ou de fmm (ci-contre exemple de prise en compte de l’aimantation) Attention : le lien entre les grandeurs de ce circuit et les champs n’est plus le même dans la région qui contient les sources !

31. Calcul du champ dû aux aimants La magnétisation des aimants est une source de champ. Si on calcule la magnétisation par rapport au vide, on doit considérer que la zone des aimants a une perméabilité m0 , mais la magnétisation n’est pas rigoureusement constante. Si on considère comme précédemment une perméabilité m différente de celle du vide, il faut définir l’aimantation en conséquence ! L’avantage est qu’elle est alors constante dans le cas des aimants terre-rare. Un cas « simple » est celui des aimants à magnétisation parallèle à leur axe et dont la géométrie est décrite ci-contre. En effet, le modèle gaussien permet alors de remplacer la magnétisation par une charge magnétique de surface située uniquement au niveau des rayons intérieur et extérieur des aimants.

32. Considérons le rayon c = r4 et l’ouverture x = x4 (le calcul est similaire en c = r3 et x = x3 mais avec un signe opposé). La densité de charge magnétique équivalente n’est pas constante. Elle vaut Il s’agit d’une source de flux magnétique.

33. Décomposons cette densité en série de Fourier. En supposant qu’il y a p paires de pôles, on obtient En intégrant chaque terme sur sa demi-période, on obtient des flux équivalents

34. On obtient pour l’entrefer et les aimants le circuit équivalent ci-contre. Si les aimants sont fixés directement sur la couronne rotorique, et si on néglige la réluctance de celle-ci, fmma est nulle et on n’a besoin de la source de flux inférieure pour calculer le flux circulant dans cette couronne. Attention ! Le champ H calculé dans le modèle gaussien est partout exact, mais le champ B calculé à l’intérieur de l’aimant dans ce modèle ne l’est pas. Si nécessaire, on peut obtenir le B réel à partir de H et de la relation constitutive de l’aimant.

35. Cas d’une couronne encochée On peut aussi prendre en compte la réluctance de surface du type « Carter », ainsi qu’une perméance de fuite correspondant à l’encochage, sous la forme d’un circuit en P . Si nécessaire, détails sur le site du cours. Autres expressions spectrales du champ d’entrefer On trouvera dans le syllabus quelques références relatives à des géométries ou des méthodes non traitées ici.

36. Champ dû aux enroulements situés dans des encoches • Pour trouver le champ « dû » au bobinage placé dans des encoches, une simplification possible est de considérer que • Le bobinage est concentré à la surface de l’entrefer, au niveau de l’ouverture des encoches. • La zone des dents, des encoches et de la couronne est remplacée par une zone de perméabilité magnétique infinie • Alors, la condition aux limites du champ correspond à une densité de courant de surface sinusoïdale. C’est logique car, si on ne considère qu’une composante de la série de Fourier du champ, on ne doit considérer que la composante correspondante de la densité de conducteurs ! • Pour trouver les coefficients dans l’expression du champ, on va donc passer par une décomposition en série de Fourier de la densité de conducteurs !

37. Pour rappel, J = SNa ia Pour le calcul des champ, on peut décomposer directement J en série, mais il est plus utile de décomposer les Na en série car le résultat peut être réutilisé pour le calcul des flux !

38. Coefficients de filtrage On a souvent à faire la somme de m sinusoïdes de même amplitude A mais décalées chacune d’un angle a par rapport à la précédente. On peut représenter ce problème sous forme de phaseurs : En prenant le « centre du faisceau » comme origine, on a où z est la coordonnée t ou q ou….

39. La somme est une série géométrique. Pour l’effectuer, multiplions et divisons par la différence entre la racine carrée de la raison et son inverse

40. avec Interprétation : on somme les sinusoïdes sans tenir compte de leur déphasage, et on applique un facteur correctif au résultat. Vérification : si m = 1, on retrouve bien l’amplitude de la seule sinusoïde présente.

41. Dans le cas des machines électriques, on doit souvent faire la somme de grandeurs périodiques. Dans une machine à entrefer cylindrique, on a des grandeurs de période 2 p / p décalées d’un angle géométrique Dq . Si on les décompose ces grandeurs en série de Fourier, on peut appliquer un facteur de filtrage pour chaque harmonique. Soit n le rang de l’harmonique considéré, on a Le décalage angulaire est proportionnel à l’ordre de l’harmonique

42. On obtient En général, la fondamentale est moins atténuée que les harmoniques, d’où le nom de coefficient de filtrage. La formule ci-dessus convient aussi bien pour traiter le cas d’aimants décalés que de bobines décalées. Dans le cas particulier d’un bobinage triphasé, s’il y a m faisceaux identiques par phase et par pôle, on aura Identique au livre de référence sachant que seuls les n impairs sont à considérer dans ce cas soit

43. Considérons maintenant le cas où une grandeur est répartie uniformément sur un angle be . On peut trouver le coefficient de filtrage en passant à la limite m   avec (m-1) Dqe = be . On obtient Remarque 1 : dans le calcul du champ d’aimant fait précédemment, on ne pouvait appliquer cette formule puisque la densité de charge magnétique n’était pas constante. Remarque 2 : on est parfois amené à multiplier plusieurs coefficients de filtrage (pouvez-vous en donner un exemple ?).

44. Les coefficients de filtrage du bobinage sont aussi utilisable pour calculer le flux de celui-ci une fois le champ connu, car on a

45. Exemple de décomposition en série Si on a n spires par phase, donc n/p conducteurs actifs par phase et par pôle. Si ces n/p conducteurs sont concentrés sur une ligne sans dimension, on a en prenant comme origine l’axe de l’enroulement (cas de la surface extérieure de l’entrefer) : où les fonctions d( ) sont des deltas de Dirac. Par décomposition en série, on obtient avec où R est le rayon au bord de l’entrefer

46. On peut corriger la valeur des Ns n par deux coefficients de filtrage • Pour tenir compte de la répartition des conducteurs entre plusieurs encoches • éventuellement pour tenir compte de la largeur de l’ouverture d’encoche

47. Calcul de l’inductance d’un bobinage Rappel Attention ! Lors du calcul du flux dû à un bobinage, les coefficients de filtrage interviennent deux fois : une fois pour calculer le champ associé au bobinage, et une fois pour calculer le flux que ce champ produit dans le bobinage. On s’attend donc à trouver le carré des coefficients de filtrage dans l’expression des inductances.

48. Comparaison avec l’expression de l’inductance principale donnée dans « le livre » pour m = 1 (donc sans coefficient de filtrage) Le calcul approché du champ (champ radial) fournit Identique à l’expression du livre si p = 1 Donc Par ailleurs, compte tenu de ce qui précède, Donc

49. On retrouve l’expression du livre car le crochet vaut 1. C’est un détour par rapport au calcul du livre, mais la méthode permet de faire le calcul pour un enroulement distribué (m > 1) , ce qui serait très difficile à faire autrement. Mais, si on utilise le calcul analytique exact, la série ne converge pas. C’est normal car les conducteurs concentrés ont une inductance infinie !

50. Le calcul approché de l’inductance est donc suspect. En ce qui concerne le calcul exact, on peut bricoler arrêtant la série lorsque la longueur d’onde des harmoniques devient petite par rapport à la largeur des encoches. L’utilisation des coefficients de filtrage avec la méthode spectrale exacte permet de résoudre ce paradoxe de façon bien plus élégante : il suffit en effet d’introduire un coefficient de filtrage prenant en compte la largeur non nulle des encoches pour que la série redevienne convergente même dans le cas du calcul exact ! Attention : le calcul de l’inductance de fuite dans les encoches n’est pas inclus dans les expressions ci-dessus. Il est à faire séparément !