I-AB-03 IL GRANDE GEOMETRA

1. I-AB-03 IL GRANDE GEOMETRA INTERVISTA VIRTUALE AD UN GRANDE PERSONAGGIO CHE HA DATO UN RILEVANTE CONTRIBUTO ALLA GEOMETRIA INTUITIVA O RELAZIONALE O ALLA ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO, DELLE FORME E DELLE LORO RAPPRESENTAZIONI. Federica Meneghin Matr. 4011977

2. Prima di iniziare questa originale prova, mi sono posta due semplici domande: Chi è un geometra? E Che cosa fa un geometra? Solo così, infatti, ho potuto identificare un grande geometra della storia italiana e delineare, con un’intervista virtuale, i suoi più importanti contributi al mondo della geometria.

3. CHI È UN GEOMETRA?

4. “Il geometra è il professionista che identifica, definisce, misura e valuta la proprietà fondiaria ed edilizia pubblica o privata, costruita o no, la superficie e il sottosuolo, ed il lavoro che svolge e organizza concerne il diritto reale. La sua competenza comprende materie tecniche, giuridiche, fiscali, economiche, beni agricoli e sociali. La parola geometra ha la stessa genesi di geometria che, dalla composizione di due parole greche “geo” e “metros”, rispettivamente, “terra” e “misura”, rivela la vocazione originale del geometra: quella cioè di agrimensore, ossia “misuratore della terra”. La nascita della figura del geometra viene fatta risalire all’organigramma della Legione romana, nel quale era prevista la figura del mensor, una sorta di geometra ante litteram incaricato, tra le altre incombenze, di tracciare le linee base dei castra aestiva; gli accampamenti temporanei che i legionari costruivano durante i loro spostamenti. In Italia, il geometra è una figura professionale che opera prevalentemente nel settore edilizio, topografico ed estimativo.

5. Tale professione, in Italia, abilita il geometra all’espletamento di molteplici competenze tecniche, tra le quali la progettazione edile civile e rurale e la direzione dei lavori delle opere edili, le molteplici operazioni topografiche tra le quali la misurazione dei terreni e la stima di beni mobili ed immobili. […] Il geometra trova oggi sbocchi professionali anche nel lavoro dipendente o di consulenza all'interno dell'ufficio tecnico del comune, trattandosi di professionista esperto delle specifiche normative e del proprio territorio; i geometri italiano operano quindi anche come impiegati tecnici nella pubblica amministrazione, titolari o professionisti di fiducia di agenzie immobiliari, o incaricati da istituti di credito, studi notarili e tribunali in genere per stime o perizie. Fra gli atti di più comune emissione, la Denuncia di Inizio Attività (DIA), il Permessi di Costruire (PdC) o altre determinazioni inerenti alla progettazione edile civile di ampiezza limitata.” Wikipedia, l'enciclopedia libera.

6. CHE COSA FA UN GEOMETRA? • Progetta costruzioni edilizie,stradali e idrauliche • Effettua rilievi topografici • Dirige lavori nei cantieri • Utilizza i supporti informatici per il disegno e la progettazione • Tiene la contabilità delle opere • Stima terreni, fabbricati e danni • Redige pratiche relative alle concessioni edilizie e pratiche catastali • Si occupa della sicurezza e prevenzione infortuni nel cantiere

7. Il geometra, insomma, costituisce un insostituibile punto di riferimento nell’attività costruttiva, nell’organizzazione e nella gestione del territorio sia in ambito locale che nazionale e comunitario.

8. Molti sono stati i geometri che hanno segnato la storia della geometria, apportandovi notevoli contributi. Per l’intervista virtuale, ho scelto di rivolgere l’attenzione direttamente al nostro ambito italiano, in particolare ad un grande geometra che la mia prof. di geometria delle medie era solita tirare in ballo durante le sue ore di lezione : …“Forza! Tirar fuori il compasso mascheroni!”… È a lui, Lorenzo Mascheroni, che scelgo di dedicare questa mia prova d’esame. Segue l’intervista virtuale.

9. LORENZO MASCHERONI (1750-1800) L’uomo che poneva in versi la Geometria e la Trigonometria.

10. Matematico, poeta, umanista, egli deviò genialmente dagli indirizzi geometrici antichi, insegnando una geometria la quale risente di quello spirito nuovo che ha informato le scoperte geometriche del secolo successivo. Mascheroni, fine matematico ed estroso letterato, geometra e poeta assieme: la sua attività dimostra come talvolta arte e scienza non sono due strade che corrono parallele, ma due diverse espressioni di un identico atteggiamento intellettuale. Egli è noto per i suoi contributi in Analisi e Geometria e per aver dimostrato che i problemi risolubili con riga e compasso possono essere in realtà risolti solo ed esclusivamente con il compasso.

11. Egregio Signor Mascheroni, iniziamo parlando un po’ di lei: si presenti ai nostri lettori! Sono nato a Castagneta, in provincia di Bergamo, il 13 Maggio 1750 da Giovanni Paolo Mascheroni dell’olmo e da Maria Ciribelli. Mio padre, discendente da una modesta famiglia originaria della ValBrembana, si era costruito una discreta fortuna nel commercio, cui dovette la nomina a quaderniere della Camera fiscale di Bergamo. Io sono il primo di quattro figli e, come loro, fui avviato sin da subito alla carriera ecclesiastica; a diciassette anni venni ordinato sacerdote.

12. Ma la sua carriera non si è fermata al solo sacerdozio! Cosa è riuscito a diventare negli anni? Nel 1773 intrapresi la carriera di insegnante, inizialmente di retorica, presso il seminario di Bergamo. Nel 1775 entrai a far parte dell’Accademia degli Eccitati di Bergamo: qui sviluppai la passione per l’analisi matematica e la fisica.

13. A partire dal 1778 cominciai a insegnare fisica e matematica, venendo anche coinvolto nel rinnovamento dei programmi scolastici. Nel 1786 venni nominato professore di algebra e geometria all’Università di Pavia, a seguito della pubblicazione, avvenuta l’anno precedente, di un importante trattato di scienza delle costruzioni dal titolo “Nuove ricerche sull'equilibrio delle volte”: un’opera profonda che, devo ammettere, godette di molta fortuna..

14. In questo campo diedi contributi originali alla storia della statica delle strutture. Infatti, le precedenti teorie sulla statica degli archi elaborate dagli ingegneri e trattatisti francesi De la Hire (1712) e da De Belidor (1729) prevedevano il meccanismo di rottura degli archi per slittamento dei conci dovuto a scarsa resistenza all’attrito. L’innovazione fondamentale da me portata fu quella di proporre e di sviluppare il meccanismo di rottura degli archi per formazione di cerniere plastiche, con rotazione degli elementi strutturali dell’arco e dei suoi appoggi. Le mie teorie furono poi sviluppate dai più illustri studiosi di scienza delle costruzioni, fra i quali il veronese Leonardo Salimbeni (1780) e i francesi Claude-LouisNavier (1826) ed E. Mery (1840).

15. La sperimentazione su modelli di arco ricostruiti in laboratorio, sviluppata nell’Ottocento ed in tempi recenti, ha dato ragione alla mia teoria della rottura degli archi, che storicamente rappresenta un contributo originale della scienza italiana alla Meccanica delle strutture. Anche di recente i principali studiosi della materia, fra i quali ricordiamo l'inglese J.Heiman (1982) il francese Massonet e gli italiani Edoardo Benvenuto (1981) e Salvatore di Pasquale hanno confermato la validità teorica e sperimentale della statica degli archi da me ideata: ciò ha permesso di mettere a punto gli attuali criteri di verifica strutturale degli archi e volte in muratura, che si fondano sullo studio dei loro criteri di rottura con formazione di cerniere plastiche.

16. Rimanendo in tema di opere, lei vanta di un’importante produzione sia scientifica che poetica. Può illustrarci in primo luogo quella scientifica? Quali sono le sue opere decisive per la storia della geometria? Essenzialmente due: l’ “Adnotationes ad calculum integrale Euleri”, del 1790, e la “Geometria del compasso”, del 1797.

17. Cosa illustra in queste due opere? Con la prima opera, “Adnotationes ad calculum integrale Euleri”, ho contribuito a divulgare e sviluppare il calcolo infinitesimale ideato da Leibniz, Newton ed Eulero agli inizi del ‘700. Calcolai la costante di Eulero fino alla trentaduesima cifra decimale. Nel 1792 composi il secondo volume delle Adnotationes ad calculum integrale Euleri. È celebre la costante di Eulero-Mascheroni C = 0,577215…, che interviene nella teoria delle funzioni euleriane e che si può definire come somma della serie..

18. Con la seconda opera, “Geometria del compasso”, ho dimostrato che tutte le costruzioni geometriche effettuabili con riga e compasso possono esser fatte usando solamente il compasso, se si ammette che una retta è costruita una volta che ne sono stati definiti due suoi punti. Il mio approccio fu di dimostrare innanzitutto come usare il solo compasso per bisecare un dato arco di cerchio, sommare e sottrarre due segmenti dati, trovare il quarto proporzionale dati tre segmenti, trovare il punto di intersezione di due rette date, e i punti di intersezione tra una retta e un cerchio dati.

19. Dimostrai, quindi, teoricamente come tutte le costruzioni che si possono fare con riga e compasso possono essere espresse come composizioni delle operazioni elementari definite sopra, e quindi ottenute usando solo il compasso. Preciso che il mio intento non era di carattere esclusivamente matematico, ma volto anche a fornire agli ingegneri e ai fisici una tecnica per costruire strumenti di misura di crescente precisione.

20. Ci può dimostrare come, coll'uso del solo compasso si possono risolvere alcuni problemi fondamentali che i lettori conoscono e sanno risolvere coll'uso della riga e del compasso? Scriviamo “circonferenza A (BC)” per circonferenza di centro A e raggio eguale a BC. 1. Costruire il simmetrico di un punto C rispetto ad una retta AB. - Si descrivano (fig. 1) le due circonferenze A (AC) e B (BC): esse si tagliano ulteriormente nel punto C', che è quello richiesto. Infatti, A è equidistame da C e C'; per la stessa ragione lo è B; onde la retta AB è l'asse di CC, e pertanto C, è il simmetrico di C rispetto ad AB. Fig. 1

21. 2. Costruire il multiplo di un dato segmento. - Sia AO il segmento dato (fig. 2). Si descriva la circonferenza O (OA) e si determinino su di essa i punti B, C, D in modo che sia AB = BC = CD = OA: il punto D, diametralmente opposto ad A, determina il segmento AD doppio di AO. Ripetendo la costruzione si riesce a triplicare, quadruplicare, ed in generale moltiplicare per n (n intero), il segmento dato AO. Fig. 2

22. 3. Costruire il multiplo di un dato angolo. Sia BÀC l'angolo dato. Si descriva (fig. 3) la circonferenza A (AB); la circonferenza C (CB)seca questa in un punto D e l'angolo BAD è doppio del dato. Descrivendo poi la circonferenza A (AC) e secandola in E colla D (DC), si ha l'angolo BAE triplo di BAC, ecc. Fig. 3

23. 4. Ed ora, come ultimo esempio, l'elegantissima risoluzione del problema: Costruire il segmento quarto proporzionale dopo tre segmenti dati. - Siano a, b, c i tre segmenti dati. Si descrivano (fig. 4) due circonferenze aventi uno stesso centro qualunque O e raggi eguali ad a e b. Col compasso, si fissino, sulla circonferenza di raggio a, i punti A e A' tali che la corda AA' sia eguale a c. Con centro, successivamente, in A ed in A', e con uno stesso raggio arbitrario, si tagli la circonferenza di raggio h nei due punti B, B': il segmento BB' è quello richiesto. Fig. 4

24. Infatti, i triangoli OAB e OA' B' hanno i lati rispettivamente eguali; onde essi sono eguali e, per conseguenza, avranno eguali anche gli angoli; in particolare sarà: AOB = A'OB' Se da questi angoli eguali si toglie (o si aggiunge, secondo i casi) l'angolo comune A'OB, si ottiene: AOA' = BOB' .

25. Allora, i triangoli isosceli AOA', BOB' sono simili e fra i loro lati sussiste la proporzione: OA: OB = AA':BB' cioè: a: b = c: BB' onde BB' è il quarto proporzionale richiesto. Quando fosse C > 2a sarebbe impossibile segnare sulla prima circonferenza la corda AA' = c. In tal caso si può applicare la costruzione indicata purchè si sostituiscano ai segmenti a e b i loro doppi, e, se non basta, i loro tripli, e così via; perchè, qualunque sia il numero K, si ha sempre: Ka: Kb = a: b. Se è b = c, la stessa costruzione fornisce il terzo proporzionale dopo due segmenti dati.

26. Questi importanti, nonché complessi, studi a cosa hanno portato? Personalmente, proprio grazie al mio testo “Geometria del compasso”, fui nominato Accademico di Padova, membro della Società Italiana delle Scienze e membro dell’Accademia Reale di Mantova e nel 1798 fui inviato dalla Repubblica Cisalpina a Parigi affinché partecipassi ai lavori della commissione incaricata di stabilire l’unità di misura del metro, con l’incarico di riferirne gli esiti al suo ritorno a Milano. Il 10 dicembre 1799 la commissione concluse i lavori. Non riuscii però mai a tornare in Italia, per via dell’occupazione austriaca.

27. Quindi al suo coinvolgimento in ambito scientifico si aggiunge anche quello in ambito politico? Esatto. Mi interessai molto anche di politica: nel 1927 fui eletto deputato della Repubblica Cisalpina e inviato a Parigi nel 1798 per partecipare, come già detto, alla commissione incaricata di stabilire definitivamente la lunghezza del metro. Qui ottenni importanti incarichi ed onori, ma la vittoria degli austro-russi del 1799 mi impedì di tornare in patria.. Così morii l’anno successivo, a Parigi in seguito ad una breve malattia.

28. Abbiamo ricostruito il suo contributo scientifico alla storia della Geometria, nonché il suo impegno in ambito politico. Non possiamo però non parlare della sua produzione letteraria; si dice che Lei poneva in versi la Geometria e la Trigonometria: concorda? Sì, certamente. Oltre che matematico sono stato anche un umanista, un poeta! La poesia è stata la mia più grande passione: ho scritto opere poetiche in lingua latina e italiana.

29. Ce ne può menzionare qualcuna? Ho scritto una dedica in versi della Geometria del Compasso al Bonaparte, ma la più celebre delle mie poesie è l’Invito di Dafni Orobiano a Lesbia Cidonia (1793), una epistola in 529 endecasillabi sciolti pubblicata nel 1793, con cui ho invitato la contessa Paolina Secco SuardoGrismondi (Lesbia Cidonia) a visitare le collezioni di storia naturale e i gabinetti scientifici dell'ateneo pavese. L’opera nasce dalla volontà tipica dell’illuminismo di diffondere la cultura scientifica anche fra la gente comune interessata alla cultura. La mia opera, giudicata dai contemporanei come i “più bei versi sciolti di questo secolo”, ebbe più di 500 ristampe, fra il 1793 e il 1900. Ma passato il gusto illuministico venne invece stroncata come un semplice catalogo in versi delle collezioni pavesi.

30. Lorenzo Mascheroni, un GRANDE UOMO… non solo un grande geometra! GRAZIE.

31. Bibliografia A. Fiamazzo, Nuovo contributo alla biografia di Lorenzo Mascheroni, Bergamo, 1901 S. Maracchia, "Cenni sulla geometria del compasso di Mascheroni", Archimede, 27, (1), (1975), pp. 52-55 S. Nicotra, "Lorenzo Mascheroni (1750-1800)", Sci. Giovani, 5, (1955-56), pp. 97-102 L. Pepe, "Mascheroni, mathematician, poet and citizen" (Italian), Boll. Unione Mat. Ital. Sez. A Mat. Soc. Cult., (8), 2, (2), (1999), pp. 145-158 Sitografia http://it.wikipedia.org/wiki/Lorenzo_Mascheroni http://web.unife.it/progetti/matematicainsieme/dopoeu/mascher.htm http://matematica.unibocconi.it/autore/lorenzo-mascheroni http://www.lafrusta.net/pro_mascheroni.html