Medidas de Desempeño Teoría de Colas

1. Medidas de Desempeño Teoría de Colas Investigación de Operaciones 2

2. Medida del performance de los sistemas de colas • El performance puede ser medido concentrándose - Los clientes en la cola - Los clientes en el sistema • Los períodos transitorios y estáticos complican el análisis del tiempo de atención.

3. Un período transitorio ocurre al inicio de la operación. - Un comportamiento transitorio inicial no es indicado para un largo período de ejecución. • Un período estacionario sigue al período transitorio. - En un período estacionario , la probabilidad de tener n clientes en el sistema no cambia a medida que transcurre el tiempo. - De acuerdo a lo anterior, la tasa de llegada puede ser menor que suma de las tasas de atención efectiva. l< m l< m1 +m2+…+mk l< km Para un servidorPara k servidoresPara k servidores con tasa se serv. m cada uno

4. Estado del sistema de colas • En principio el sistema está en un estado inicial • Se supone que el sistema de colas llega a una condición de estado estable (nivel normal de operación) • Existen otras condiciones anormales (horas pico, etc.) • Lo que interesa es el estado estable

5. Desempeño del sistema de colas • Para evaluar el desempeño se busca conocer dos factores principales: • El número de clientes que esperan en la cola • El tiempo que los clientes esperan en la cola y en el sistema

6. Medición del Rendimiento de las Colas • Los modelos de colas ayudan a los administradores a tomar decisiones para balancear los costos de servicio deseables con los costos de espera en la línea. • Los principales factores que se evalúan en estos modelos son: • Tiempo promedio que cada cliente u objeto permanece en la cola • Longitud de cola promedio • Tiempo promedio que cada cliente permanece en el sistema (tiempo de espera + tiempo de servicio). • Número de clientes promedio en el sistema. • Probabilidad de que el servicio se quede vacío • Factor de utilización del sistema • Probabilidad de la presencia de un específico número de clientes en el sistema.

7. Medida del performance en periodos estacionarios • . P0 = Probabilidad de que no existan clientes en el sist. Pn = Probabilidad de que existan n clientes en el sistema. L = número de clientes promedio en el sistema. Lq = número de clientes promedio en la cola. W = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en el sistema. Wq = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en la cola. Pw = Probabilidad de que un cliente que llega deba esperar para ser atendido. r = Tasa de uso de cada servidor (porcentaje del tiempo que cada servidor es ocupado).

8. Medidas del desempeño del sistema de colas • Número esperado de clientes en la cola Lq • Número esperado de clientes en el sistema Ls • Tiempo esperado de espera en la cola Wq • Tiempo esperado de espera en el sistema Ws

9. Medidas del desempeño del sistema de colas: fórmulas generales

10. Formulas - Las fórmulas representan las relaciones entre L, Lq, W, y Wq. - Estas fórmulas se aplican a sistemas que cumplen con las siguientes condiciones: * Sistemas de colas simples * Los clientes llegan según una tasa finita de llegada * El sistema opera bajo las condiciones de períodos estacionarios. L = l W Lq= lWqL = Lq + l / m Para el caso de una población infinita.

11. Medidas del desempeño del sistema de colas: ejemplo • Suponga una estación de gasolina a la cual llegan en promedio 45 clientes por hora • Se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora • Se sabe que los clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola

12. Medidas del desempeño del sistema de colas: ejemplo • La tasa media de llegadas  es 45 clientes por hora o 45/60 = 0.75 clientes por minuto • La tasa media de servicio  es 60 clientes por hora o 60/60 = 1 cliente por minuto

13. Medidas del desempeño del sistema de colas: ejemplo

14. Medidas del desempeño del sistema de colas: ejercicio • Suponga un restaurant de comidas rápidas al cual llegan en promedio 100 clientes por hora • Se tiene capacidad para atender en promedio a 150 clientes por hora • Se sabe que los clientes esperan en promedio 2 minutos en la cola • Calcule las medidas de desempeño del sistema

15. Probabilidades como medidas del desempeño • Beneficios: • Permiten evaluar escenarios • Permite establecer metas • Notación: • Pn : probabilidad de tener n clientes en el sistema • P(Ws≤ t) : probabilidad de que un cliente no espere en el sistema más de t horas

16. Factor de utilización del sistema • Dada la tasa media de llegadas  y la tasa media de servicio , se define el factor de utilización del sistema . • Generalmente se requiere que  < 1 • Su fórmula, con un servidor y con s servidores, respectivamente, es:

17. Factor de utilización del sistema - ejemplo • Con base en los datos del ejemplo anterior,  = 0.75,  = 1 • El factor de utilización del sistema si se mantuviera un servidor es  = / = 0.75/1 = 0.75 = 75% • Con dos servidores (s = 2):  = /s = 0.75/(2*1) = 0.75/2 = 37,5%