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ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL. TEMA 11. MEDIDAS DE DISPERSIÓN. TEMA 11.6 * 1º BCS. MEDIDAS DE DISPERSIÓN. Nos dan una idea clara, aunque comprimida, de la desviación de los valores en una serie estadística respecto de la media.
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ESTADÍSTICAUNIDIMENSIONAL TEMA 11 Matemáticas Aplicadas CS I
MEDIDAS DE DISPERSIÓN TEMA 11.6 * 1º BCS Matemáticas Aplicadas CS I
MEDIDAS DE DISPERSIÓN • Nos dan una idea clara, aunque comprimida, de la desviación de los valores en una serie estadística respecto de la media. • RECORRIDO Es la diferencia entre los valores mayor y menor de la variable. • DESVIACIÓN Es la diferencia entre un valor y la media aritmética de la serie. Pueden ser valores negativos o positivos. • La suma aritmética de todas las desviaciones de una serie es cero. • DESVIACIÓN MEDIA Es la MEDIA aritmética de la suma de valores absolutos de todas las desviaciones de una serie. • ∑ | xi - x |.fi • Dm = -----------------, que da siempre un valor positivo. • ∑ fi • Se emplea para comparar dos series semejantes. Matemáticas Aplicadas CS I
VARIANZA • Es la MEDIA ARITMÉTICA de los cuadrados de las desviaciones respecto de la media. • ∑ [ (xi - x )2 . fi ] ∑ xi2. fi • V = ------------------------ = ----------- -- x2 • ∑ fi ∑ fi • DESVIACIÓN TÍPICA • Es la raíz cuadrada de la varianza. • s = √V • Junto con la media, es la medida que más se emplea en estadística • COEFICIENTE DE VARIACIÓN • Es el cociente de la desviación típica por la media aritmética. • CV = s / x , que suele darse en porcentajes. • Si el resultado es mayor del 30%, en lugar de la media emplearemos la mediana o la moda para tomar todo tipo de decisiones. Matemáticas Aplicadas CS I
Desviación Típica (σ) El 68% de todos los valores que puede tomar x se encuentran entre (x-σ) y (x+σ) Frecuencias relativas 68 % x-σ x x+σ Modalidades ( valor de x ) Matemáticas Aplicadas CS I
Frecuencias relativas 68 % x-3σx-2σx-σx x+σ x+2σ x+3σ 95 % 99 % Matemáticas Aplicadas CS I
Ejemplo_1 Calificaciones de 100 alumnos de una clase en Matemáticas • VARIANZA • ∑ fi .xi 2 • V = ------------- - x 2 = 25,80 – 4,82 = • ∑ fi = 2,76 • DESVIACIÓN TÍPICA • S = √V =√2,76 = 1,66 • DESVIACIÓN MEDIA • Dm = ∑ |xi-x| / ∑ fi = 174/100 = • = 1,74 • COEFICIENTE DE VARIACIÓN • CV = s / x = 1,66 / 4,8 = 0,346 Matemáticas Aplicadas CS I
Ejemplo_2 Calificaciones de 100 alumnos de una clase en Matemáticas • VARIANZA • ∑ fi .xi 2 • V = ------------- - x 2 = 28,30 – 4,72 • ∑ fi V = 6,21 • DESVIACIÓN TÍPICA • S = √V =√6,21 = 2,49 • DESVIACIÓN MEDIA • Dm = ∑ |xi-x| / ∑ fi = 216/100 = • = 2,16 • COEFICIENTE DE VARIACIÓN • CV = s / x = 2,49 / 4,7 = 0,53 Matemáticas Aplicadas CS I
Ejemplo_3 Tamaño (en mm) de tornillos fabricados en una máquina. Matemáticas Aplicadas CS I
DESVIACIÓN MEDIA • ∑ |xi-x|. fi 85,1050 • Dm = -------------- = ------------ = 0,0851 • ∑ fi 1000 • RESOLUCIÓN EJEMPLO_3 • MEDIA • ∑ xi.fi 9998,10 • x = ---------- = ----------- = 9,9981 • ∑ fi 1000 • VARIANZA • ∑ xi2. fi 99973,54 • V = -------------- -- x2 = -------------- -- 9,99812 = 99,9735 – 99,9620 = 0,0115 • ∑ fi 1000 • DESVIACIÓN TÍPICA • S=√ 0,0115 = 0,1072 x – s = 9,8909 ,, x + s = 10,1053 • El 68% de los tornillos fabricados miden entre 9,89 y 10,10 mm • COEFICIENTE DE VARIACIÓN • CV = s / x = 0,1072 / 9,9981 = 0,01075 1,07 % Matemáticas Aplicadas CS I
Ejemplo_4 Cantidad, en ml, de soluto en un litro de agua. • DESVIACIÓN TIPICA • S = √V =√0,0576 = 0,24 • COEFICIENTE DE VARIACIÓN • CV = s / x = 0,24 / 0,50 = 0,48 • Media : 0,5 • VARIANZA • 7,69 • V = --------- – 0,5 2 = 0,0576 • 25 Matemáticas Aplicadas CS I
Ejemplo_5 Resultados de un test. • Media: 2 • VARIANZA • s = √V =√1,78 = 1,34 • VARIANZA • 463 • V = ------ – 22 = 1,7875 • 80 • COEFICIENTE DE VARIACIÓN • CV = s/x = 1,34 / 2 = 0,67 = 67 % Matemáticas Aplicadas CS I
Ejemplo_6 Calificaciones de 200 alumnos de una clase en Matemáticas • ¿Cuántos alumnos han obtenido una nota entre 6 y 8 puntos? 40 • ¿Cuántos alumnos han obtenido una nota de hasta 6 puntos? 140 • ¿Qué porcentaje de alumnos han obtenido entre 8 y 10 puntos? 10 % • ¿A cuantos alumnos corresponde una frec. acumulada del 70 %? 75 • ¿Cuál es la frec. relativa correspondiente a un peso de 150 puntos? • 0,25 Matemáticas Aplicadas CS I
Ejemplo_7 Nos dan, en una tabla, el peso en gramos de 80 insectos. • ¿Cuántos insectos han obtenido un peso entre 5 y 7 gramos? 15 • ¿Cuántos insectos han obtenido un peso de hasta 5 gramos? 45 • ¿Qué porcentaje de insectos han obtenido entre 3 y 5 gramos? 15 % • ¿A cuantos insectos corresponde una frecuencia acumulada del 75 %? 60 • ¿Cuál es la frecuencia relativa correspondiente a un peso de 90 gramos? 0,1875 Matemáticas Aplicadas CS I
Ejemplo_8 Valoración de un político en una encuesta. • ¿Cuántas personas lo han valorado desfavorablemente? 20+30 • ¿Cuántas personas lo han valorado de 7,5 a 10 puntos 80 • ¿Qué porcentaje de personas lo han valorado 2,5 y 5 puntos? 30 % • ¿A cuantos votantes corresponde una frecuencia del 40 %? 320 • ¿A qué frecuencia relativa corresponde un peso de 900 puntos? 30 % • ¿Cuántos votantes presentan la máxima desviación respecto a la media? • 160, que son aquellos cuya desviación es de 560 puntos. Matemáticas Aplicadas CS I
MODAMEDIANA • Mo = 6,25 Md = 5 • DESVIACIÓN MEDIA • ∑ |xi-x|. fi 1600 • Dm = -------------- = -------- = 2 • ∑ fi 800 • RESOLUCIÓN EJEMPLO_8 • MEDIA • ∑ xi.fi 3800 • x = ---------- = ------- = 4,75 • ∑ fi 800 • VARIANZA • ∑ xi2. fi 22250 • V = -------------- -- x2 = ----------- -- 4,752 = 27,8125 – 22,5625 = 5,25 • ∑ fi 800 • DESVIACIÓN TÍPICA • S=√ 5,25 = 2,29 x – s = 2,46 ,, x + s = 7,04 • El 68% de los encuestados lo han valorado entre 2,46 y 7,04 puntos • COEFICIENTE DE VARIACIÓN • CV = s / x = 2,29 / 4,75 = 0,48 48 % Matemáticas Aplicadas CS I
