Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları 2010-2011 Bahar Yarıyılı

1. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları 2010-2011 Bahar Yarıyılı Prof.Dr. Engin ORAKDÖĞEN Doç.Dr. Ercan YÜKSEL

2. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları • Dersteki Başarının Değerlendirilmesi: • Yarıyıl Sonu Sınavına Girme Koşulları: • Derslerin en az %80 ine devam etmek. • Verilecek ödevleri zamanında ve yeterli düzeyde hazırlayarak teslim etmek. • 1 Yıliçi Sınavı 31 Mart 2011 • 2 Yıliçi Sınavı 28 Nisan 2011 • Başarı Notuna Katkı: • Yarıyıl içi çalışmaların sonuca katkısı %50 • Yarıyıl içi sınavları %30 • Ödevler %20 • Yarıyıl sonu sınavının sonuca katkısı %50

3. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları İçerik Matris Yerdeğiştirme Yönteminin Esasları Çubuk Sonlu Elemanlarda Uç Kuvvetleri ile Uç Yerdeğiştirmeleri Arasındaki Bağıntılar Matris Yerdeğiştirme Yöntemi İki Boyutlu Elemanlar Üç Boyutlu Elemanlar Geometri ve/veya Malzeme Bakımından Doğrusal Olmayan Sistemler Dinamik Etkiler İçin Hesap, Deprem Hesabı Matris Kuvvet Yöntemi

4. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları • Kaynaklar • Çakıroğlu, A., Özden E., Özmen G., “Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları ve Elektronik Hesap Makinası Programları”, Cilt I ve Cilt II, İTÜ Kütüphanesi Sayı 1005. • Przemieniecki, J.S., “Theory of Matrix Structural Analysis”, McGraw-Hill Book Company. • McGuire W., Gallagher R.H., Ziemian R.D., “Matrix Structural Analysis”, Second Edition, John Wiley&Sons, Inc., 2000. • Ghali, A., Neville, A.M., Cheung, Y.K., “Structural Analysis- A Unified Classical and Matrix Approach”, Chapman and Hall. • Press, Teukolsky, Vettering, Flamery, “ Numerical Recipes in Fortran The Art of Scientific Computing” Second Edition. • A., Neville, A.M., Cheung, Y.K., “Structural Analysis- A Unified Classical and Matrix Approach”, Chapman and Hall.

5. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Yapı sistemlerinin hesabının amacı Dış etkilerden meydana gelen iç kuvvet, şekildeğiştirme ve yerdeğiştirmelerin hesaplanmasıdır.

6. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları • Temel Tanımlar • Eleman • Düğüm Noktaları • Uç Kuvvetleri • Uç Yerdeğiştirmeleri

7. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Eleman : Sistemler sonlu uzaklıkta tanımlanan noktalarda birleşen elemanlardan oluşur. Elemanlar; tek çubuk, çubuklar sistemi (çerçeve ve ızgara) veya iki ve üç boyutlu sürekli ortam (levha, plak, kabuk) elemanları olabilir.

8. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Düğüm Noktaları : Elemanların birleştiği noktalar Uç Kuvvetleri : Elemanların düğüm noktalarındaki iç kuvvet bileşenleri Uç Yerdeğiştirmeleri: Elemanların düğüm noktalarındaki yerdeğiştirme bileşenleri

9. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Matris Yöntemlerin Amacı Yapı sistemlerinde dış etkilerden meydana gelen uç kuvvetlerinin ve uç yerdeğiştirmelerinin hesaplanmasıdır. İç kuvvetler, şekildeğiştirmeler ve eleman üzerindeki diğer yerdeğiştirmeler onlara bağlı olarak hesaplanır.

10. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları • Dış Etkiler • Yapı sisteminde iç kuvvet, şekildeğiştirme ve yerdeğiştirme oluşturan tüm etkiler dış etki olarak tanımlanır. • Statik dış etkiler • Dinamik dış etkiler • Şekildeğiştirme hızı [1/saniye] • 10-6 – 10-5 Statik Yükleme • 10-3 – 10-1 Dinamik Yükleme • 10 – 100 Darbe etkisi • 100 – 10000 Patlama etkisi

11. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları • Uç Kuvvetleri ve Uç Yerdeğiştirmelerinin Sağlaması Gereken Koşullar • Denge Koşulları • Düğüm noktalarının dengesi • Elemanların dengesi • Geometrik süreklilik koşulları • Rijit düğüm noktalarında birleşen elemanların uç yerdeğiştirmelerinin eşitliği • Mesnetlerdeki süreklilik koşulları • İç kuvvet-şekildeğiştirme ilişkileri

12. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Yapı Sistemlerinin Hesap Yöntemleri Yerdeğiştirme yöntemleri Kuvvet Yöntemi Başlangıç değerleri yöntemleri

13. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları • Yerdeğiştirme Yöntemlerinin Esası • d1, d2, …….., dn: Sadece geometrik süreklilik koşullarını sağlayan lineer olarak bağımsız uç yerdeğiştirme durumları (n: Sistemin şekildeğiştirme durumunu tanımlayan uç yerdeğiştirmelerinin sayısı ) • Genel Çözüm (d): d=∑diXi • Xi bilinmeyenleri o şekilde seçilmelidir ki; diğer iki koşul da (denge denklemleri ve iç kuvvet-şekildeğiştirme bağıntıları) sağlansın.

14. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları • Kuvvet Yönteminin Esası • Homojen Çözüm (Pi): Dış etkisiz sistemde sadece denge koşullarını sağlayan lineer bağımsız (n) adet uç kuvvet durumu (n: Sistemin hiperstatiklik derecesi) • Özel Çözüm (Po): Dış etkili çözümde sadece denge koşullarını sağlayan bir iç kuvvet durumu • Genel Çözüm (P): P=∑PiXi+Po • Xi bilinmeyenleri o şekilde seçilmelidir ki; diğer iki koşul (geomerik süreklilik koşulları ve iç kuvvet-şekildeğiştirme bağıntıları) sağlansın.

15. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Matris İşlemler: Lineer denklem takımı Ax=b

16. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları A : nxn boyutlu kare matris x : n boyutlu kolon vektör b : n boyutlu kolon vektör

17. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları • Tanımlar • Satır veya sütun (kolon) matris • Matrislerin toplanması ve çıkarılması

18. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları • Matrisin sabit ile çarpımı • Matrislerin çarpımı

19. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları • Matrisin devriği (transpozu) • Simetrik Matris

20. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları • Birim Matris • Matrisin Determinantı

21. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları • Tekil (Singular) Matris • nxn boyutlu bir A matrisinin determinantı detA=0ise tekil olduğu söylenir. • Matrisin Tersi (İnversi)

22. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları • Pozitif Belirli (PositiveDefinite) Matris • nxn boyutlu bir A matrisi, sıfırdan farklı n boyutlu tüm x vektörleri ile aşağıdaki gibi çarpıldığında sonuç sıfırdan büyüktür. Pozitif belirli matrisler tekil matris olmazlar.

23. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları • Lineer Denklem Takımının Çözümü Ax=b • Gauss Eleme Yöntemleri • Matris tersini kullanarak çözüm • Ardışık yaklaşıma dayalı çözümler • Alt ve üst üçgen matrislere dönüştürerek çözüm LU=A

24. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Gauss Eleme Yöntemiyle Çözüm Ax=b

25. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Gauss Eleme Yöntemiyle Çözüm

26. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları EXCEL ile Matris İşlemler Shift+Ctrl+ Enter

27. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları EXCEL ile Matris İşlemler Bazı Fonksiyonlar: MMULT TRANSPOSE MDETERM MINVERSE Çalışma Sorusu : Excel ile lineer denklem takımı çözümü...

28. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları • Denklem Takımı Çözümünde Özel Durumlar Ax=b Denklem takımının katsayılarındaki küçük değişiklikler yada çözüm tekniğinin değiştirilmesi sonuçlar üzerinde çok küçük değişikliklere neden oluyor ise İYİ KAREKTERLİ denklem takımı aksi durumda ise HASTA KARAKTERLİ denklem takımı tanımı yapılır.

29. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Örnek: Hasta Karakterli Denklem Takımı

30. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Örnek: Hasta Karakterli Denklem Takımı

31. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları 1D- Bir Boyutlu (Çubuk) Elemanlar Kafes çubuk elemanları, düzlem ve uzay çerçeve çubuk elemanları

32. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları 2D- İki Boyutlu Elemanlar Mambran, plak, kalın plak, kabuk elemanlar

33. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları 3D- Üç Boyutlu Elemanlar Üç boyutlu ortamlar

34. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Yay Eleman Düğüm Noktaları : i ve j Uç Yerdeğiştirmeleri : ui ve uj Uç Kuvvetleri : fi, fj Yay Sabiti : k Yay Kuvveti : F=kD D=ui-uj