Université de Rennes 1 Licence Sciences Technologie Santé L2-PCGI Electromagnétisme

1. Université de Rennes 1 Licence Sciences Technologie Santé L2-PCGI Electromagnétisme Philippe Rabiller 2005 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

2. Plan du cours • ch.1 Introduction • ch.2 Vecteurs et champs • ch.3Champ et Potentiel électrostatiques • ch.4Champ Magnétique • ch.5 Induction électromagnétique • ch.6 Propagation des ondes électromagnétiques • ch.7 Rayonnement électromagnétique Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

3. Chapitre 4:Champ Magnétique 4.1 Champ magnétique, loi de Biot et Savart 4.2 Force magnétique exercéesur un conducteur 4.3 Le potentiel vecteur 4.4 Rotationnel du champ magnétique - théorème d’Ampère 4.5 Utilisation du théorème d’Ampère 4.6 Dipôle Magnétique 4.7 Matériaux Magnétiques 4.8 … 4.9 … 4.10 … Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

4. 4.1Champ magnétique, loi de Biot et Savart 1 2 V k i j Nous avons vu que la conclusion de notre exploration rapide du monde de la relativité restreinte concernant la transformation d’une force lorsqu’on l’observe depuis un repère immobile (1) ou depuis un repère animé d’un mouvement rectiligne uniforme (2) conduisait à: Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

5. 4.1Champ magnétique, loi de Biot et Savart Soit deux charges immobiles dans le repère (2): Q à l’origine et q à la position . Les vitesses v2x, v2y et v2z sont nulles et les forces s’écrivent: q 1 r 2 Q V k i j Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

6. 4.1Champ magnétique, loi de Biot et Savart q 1 r 2 Q Cette expression peut se mettre sous la forme vectorielle: V k i j Appliquons maintenant les transformations de Lorentz aux coordonnées. Pour simplifier on prend les deux charges dans le plan (x,y). Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

7. 4.1Champ magnétique, loi de Biot et Savart Nous pouvons donc résumer ainsi les conséquences de la relativité restreinte: La force exercée par une particule chargée sur une autre particule, perçue par un observateur dans un repère fixe - alors que les deux charges sont au repos dans un deuxième repère mobileanimé d’une vitessede translationV – ne peut plus s’exprimer simplement par une force radiale. Il est nécessaire d’ajouter une composante perpendiculaire à la première et proportionnelle à la vitesseV . Tout se passe donc comme si on ajoutait un champ supplémentaire: le champ magnétique. Q r2 1 E = F = q E 4peor23 2 q Dans le repère où les charges sont au repos gQr1 E = r F = q ( E +VB) 4peor13 V q Q k mogQVsin(q)k B = Force de Lorentz 4p r12 Dans le repère où les charges sont mobiles eomo=c2 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

8. Remplaçons la charge ponctuelle Q par un petit élément de longueur dl d’un circuit électrique dans le plan (x,y) parcouru par un courant I. Ce courant est un débit de charges, c’est à dire une quantité de charge par unité de temps (exprimé en ampères, 1A=1Cs-1). n I V S dl Supposons que la section S du conducteur électrique est constante sur toute la longueur et que n est la densité homogène de charges mobiles (de charge élémentaire e). Or dl/dt représente la vitesse V des charges en écoulement. Idl = Q V 4.1Champ magnétique, loi de Biot et Savart Voyons à présent comment calculer le champ magnétique créé, non pas par une charge ponctuelle en mouvement, mais par un courant de charges en mouvement. La quantité de charge comprise dans l’élément de circuit est Q = neSdl et le courant I donné par dQ/dt vaut donc: I =neS(dl/dt). Donc en tenant compte du fait qu’en tout point du conducteur dl et V sont parallèles on peut aussi écrire ceci sous la forme : Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

9. 4.1Champ magnétique, loi de Biot et Savart D’autre part l’angle q est l’angle compris entre la direction de r et la direction de V donc de dl. Ces deux vecteurs étant dans le plan (x,y) ils sont perpendiculaires au vecteur unitaire k. On a donc: Et l’élément de champ magnétique dB créé par l’élément de circuit dl est alors donné par: I dl r I dl r QVsin(q)k = I dlrsin(q)k / r= r mo dB= 4p r3 Le vecteur r donne la position de l’endroit où on calcule le champ, par rapport à l’élément de circuit qui est la source de ce champ. ! La vitesse des électrons dans les bons conducteurs électriques peut atteindre plusieurs milliers de kilomètres par seconde, mais reste néanmoins très petite devant la vitesse de la lumière. On peut donc remplacer g par 1 dans la suite du cours. Il s’agit de la loi de Biot et Savart. Dans le système international le champ magnétique s’exprime en Tesla (T), le courant électrique en ampères (A) et les longueurs en mètres (m). La constante mo vaut alors 4p 10-7. Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

10. 4.1Champ magnétique, loi de Biot et Savart Le courant I passant à travers une section dS, peut être écrit sous la forme du produit de cette section par une densité de courant j: I = j·dS. Ainsi pour un élément de circuit de longueur dl et de section dS, le produit Idl prend la forme (j·dS)dl = jd3r’où d3r’représente un élément de volume du circuit générateur de champ magnétique. Et la loi de Biot et Savart se généralise de la manière suivante pour un circuit où le courant électrique I est réparti dans l’espace avec une densité de courant j(r’).  j(r’)r(r’) mo B(r)= d3r’ r(r’) V ’ + 4p r3 V ’ Boucles de courants microscopiques dans certains matériaux « MAGNETIQUES »  AIMANTS r’ Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

11. 4.1Champ magnétique, loi de Biot et Savart • Symétrie axiale + fil infiniB ne dépend que de la distance au fil r. I • Elémentdl // Oz dl r // plan Oxy. dB a r dlsin(q) mo I mo I mo I mo I • |dl r| = dlr sin(q)  dB = q r2 4p 2pr 4pr 4pr • On exprimedl, sin(q) et r en fonction de r et a. r dl z y a2= /2 • dB = cos(a)da B = [sin(a)] = x a1=-/2 Quelques cas modèles de calcul du champ magnétique à partir de la loi de Biot et Savart • Fil rectiligne infini • l / r= tg(a)  dl = r da / cos2(a) • sin(q)= cos(a) • r= r / cos(a) Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

12. 4.1Champ magnétique, loi de Biot et Savart Rappelons l’expression de la loi de Biot et Savart: I dl r I mo dB= 4p r3 « Règle du tire-bouchon » Si on regarde dans le sens du courant, les lignes de champ sont: • dans un plan perpendiculaire à l’élément de courant et au point où on calcule le champ • dirigées dans le sens de rotation des aiguilles d’une montre. On peut donc retrouver la direction des lignes de champ en utilisant la règle du tire-bouchon: « le courant avance comme le tire-bouchon tourne dans les sens des lignes de champ». Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

13. 4.1Champ magnétique, loi de Biot et Savart moIdl dBz =  cos(w) 4p r2 y • Projection sur direction z moI2pa I Bz = cos(w) w 4pr2 x a dB r a w moIa2 = Bosin3(a) Bz = dBz 2(a2+ z2)3/2 z • Au centre de la spire: moI Bo = 2a • Spire circulaire: calcul sur l’axe de symétrie • Par symétrie, Bx = By = 0 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

14. 4.2Force magnétique exercée sur un conducteur Plaçons un élément de circuit électrique, de longueur dl et parcouru par un courant électrique I, dans un champ magnétique B. Nous supposons que le champ électrique ambiant est nul et ne nous intéressons donc qu’à la composante de la force magnétique. B Ici le champ magnétique et l’élément de circuit qui est soumis au champ sont au même endroit. dl ! I F = N q V B= QV B F = I dl B La force totale exercée par le champ magnétique sur l’élément de longueur dl est la somme de toutes les forces de Lorentz exercées individuellement sur toutes les charges élémentaires, en nombre N=nSdl. Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

15. 4.2Force magnétique exercée sur un conducteur mo I  dl r B= r3 4p  F = I’dl’ B mo I’I   dl’(dl r ) F = dl r3 4p - - + + dlr r I Il peut également s’exercer un couple !  Moteurs rotatifs dF dl’ I’ Le champ crée par un circuit est l’intégrale (la somme) du champ crée par un élément infinitésimal en sommant sur la totalité du circuit. De même, la force exercée par un champ magnétique sur un circuitrigide est l’intégrale de la force exercée sur tout élément infinitésimal et en sommant sur la totalité du circuit. Ainsi la force s’exerçant mutuellement entre deux circuits rigides parcourus par des courants I et I’ est donnée par: Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

16.  (fA) = (f ) A + f ( A)  •(A B) = B•( A) - A•( B)  •(  A) = 0 4. 3Le potentiel vecteur De même que le champélectriquedérive d’un potentiel électrostatique scalaire, le champ magnétiquedérive d’un potentiel vectoriel: le potentiel vecteur. Si l’intérêt de manipuler un champ scalaire plutôt qu’un champ vectoriel est évident dans le cas de l’électrostatique, l’intérêt de manipuler un potentiel vecteur l’est moins à priori, mais permet d’une part de faire un parallèle entre électrostatique et magnétisme et recouvre tout son sens lorsqu’on traite par exemple l’interaction rayonnement matière dans le cadre de la mécanique quantique. Rappelons quatre identités vectorielles. Soit deux vecteurs A et B et une fonction scalaire f.  •(fA) = (f)•A+ f •A Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

17.  j(r’)r(r’)  • d3r’  •(AB) = B•( A) - A•( B)  •B = r3 r r r r3 r3 r3 mo 4p  • j =•  j - j•  0 Le premier terme de droite de l’équation est nul car  agit sur des fonctions de r et j ne dépend que de r’. 4. 3Le potentiel vecteur Divergence du champ magnétique : Calculons la divergence du champ magnétique à partir de l’expression généralisée de la loi de Biot et Savart: Nous avons pu inverser l’opérateur Nabla et l’intégrale car ces deux opérations agissent sur des coordonnées différentes (Nabla sur « r » et l’intégrale sur « r’ »). Appliquons ensuite la deuxième identité vectorielle au terme de droite de l’équation: Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

18. Pour calculer le second terme, rappelons que  agit sur des fonctions de r, indépendamment de r’. On peut donc, pour simplifier, faire le calcul pour la valeur particulière r’=0.  = 0 y x z z y x       r r -3yz -3zy y z   y z   y x z x y z r3 r3 r3 r3 r3 r3 r3 r3 = = = = y z (x2+y2+z2)3/2 (x2+y2+z2)3/2 r3 r3 z y r3 r3  = + permutations circulaires 4. 3Le potentiel vecteur Divergence du champ magnétique : Plaçons nous dans un repère cartésien: r2 = x2 + y2 + z2 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

19.      A A A  •B = 0  •(  A) = 0 Rappelons maintenant la première des identités vectorielles C C ( + ) = + = = 0 si C 4. 3Le potentiel vecteur Divergence du champ magnétique : Finalement, nous venons de montrer que la divergence du champ magnétique est nulle. Potentiel vecteur : Nous voyons que nous pouvons toujours définir le champ magnétique comme étant le rotationnel d’un autre vecteur que nous appellerons Potentiel Vecteur. Le potentiel vecteur n’est défini qu’à un vecteur près dont le rotationnel est nul !On parle alors de choix de jauge. Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

20. 1 1 1    x y z (x2+y2+z2)1/2 (x2+y2+z2)1/2 (x2+y2+z2)1/2  = = - = -  j(r’)r(r’) B(r)=  (fA) = (f ) A + f ( A) d3r’ r3 Mais avant, faisons apparaître le terme sous une forme différente : - mo x y z 4p r3 r3 r3 1 1 r r r r r3 r3 4. 3Le potentiel vecteur Potentiel vecteur : Pour calculer le potentiel vecteur, nous repartons de l’expression générale du champ magnétique et utilisons la troisième identité vectorielle: Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

21. On peut donc écrire le champ magnétique sous la forme:  B(r)= j(r’) d3r’ j  = -  Or r B(r)= d3r’ Ce qui conduit pour le champ magnétique à: mo mo mo j (r’) j 4p 4p 4p On aboutit donc à la définition du potentiel vecteur (après inversion de « Nabla » et du « Signe Somme »: 1 1 1   r r r  j(r’)  A(r)= d3r’ 0 r j(r’)  r 4. 3Le potentiel vecteur Potentiel vecteur : Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

22. V(r) =  1 r(r’)d3r’ ! A(r) = B(r) 4peo |r - r’| r- r’ + -V(r) = E(r)  r r’ j(r’) mo A(r)= d3r’ 4p |r - r’| Ces lois ne sont vraies, sous cette forme, que dans le cas statique. Nous verrons qu’il faut les compléter en électrodynamique… 4. 3Le potentiel vecteur Parallèle avec le potentiel électrostatique : Replaçons nous dans la même géométrie que celle adoptée pour l’étude du potentiel électrostatique: Scalaire !!! Vectoriel !!! Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

23. E = E·dS = = qi Qtotal eo eo S De la même manière il existe un autre théorème que nous allons démontrer - le théorème d’Ampère - qui relie la circulation du champ magnétiquele long d’un contour au courant total traversant la surface s’appuyant sur ce contour. dS E Q CB = B·dl = moIi = moItotal B dl I V L SV SG G 4. 4Rotationnel du champ magnétique - théorème d’Ampère En électromagnétisme il y a le théorème de Gauss qui relie le flux du champ électrique à travers une surface fermée à la charge électrostatique totale contenue dans le volume délimité par la dite surface. Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

24. Montrons que = - 1 1 1 ’   |r - r’| |r - r’| |r - r’| |r - r’| = ( (x-x’)2 + (y-y’)2 + (z-z’)2 )1/2 r- r’ + 2(x-x’) 1 Vx = - · 2 ((x-x’)2 +(y-y’)2 +(z-z’)2 )3/2 x-x’ r 1 r’ Vx = - V =  |r - r’| |r - r’|3 |r - r’|3 r - r’ r - r’ Ici, gradient dans le monde « sans prime » = - 1 1  ’  = = - Par symétrie: (on remplace r par r’) |r - r’| |r - r’| |r - r’|3 4. 4Rotationnel du champ magnétique - théorème d’Ampère Pour mener à bien la démonstration nous avons besoin de calculs préliminaires. Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

25. Montrons à présent que ·A = 0 pour une distribution de charge statique.  j(r’) mo A(r)= · d3r’ · 1 1 4p ’ |r - r’|  |r - r’| |r - r’| 0 j(r’)  · = ·j(r’) + j(r’) · |r - r’| j(r’) 1 ’ · = ’·j(r’) + j(r’) · ’ |r - r’| |r - r’| |r - r’| 1 1 |r - r’| Et utilisons l’égalité: = - 1  |r - r’| 4. 4Rotationnel du champ magnétique - théorème d’Ampère  •(fA) = (f)•A+ f •A Remplaçons le gradient en « r » par son homologue en « r’». Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

26.   j(r’) mo r(r’) j(r’) 1 mo 1 A(r)= d3r’ - d3r’ · ’·j(r’) ’·  · = ’·j(r’) - 4p 4peo |r - r’| |r - r’| 4p |r - r’| |r - r’| Théorème de la divergence  intégrale de surface contenant tous les courants. A la surface le courant est alors nul ou tangent à la surface. Donc l’intégrale est nulle. j(r’) ’· |r - r’| |r - r’| 1  V(r)  -1 A(r)= d3r’ -moeo · = On a donc : t t c2 4. 4Rotationnel du champ magnétique - théorème d’Ampère Nous obtenons alors: ’·j(r’) exprime la loi de conservation de la charge et vaut donc -dr(r’)/dt. V d3r = dV V = dV/d3r V = j [j] = charge/unité de temps/unité surface d j /d3r  (charge /unité volume )/unité de temps Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

27. V(r) 1 A(r)+ = 0 · t c2  V(r) A(r)= 0  · = 0 t Rotationnel du champ magnétique :  B =  (  A)  (  A) = (·A) - 2A 2Ax vecteur 0 vecteur 2Ay 2Az 4. 4Rotationnel du champ magnétique - théorème d’Ampère Nous retrouvons, via les potentiels vecteur et électrostatique, que magnétisme et électrostatique sont bien deux grandeurs liées, ce que nous avait appris l’introduction à la relativité restreinte. Dans le cas de courants continus, ou régime stationnaire, le potentiel électrostatique ne dépend pas du temps et la divergence du potentiel vecteur est nulle, ce que nous cherchions à démontrer. Nous allons, une nouvelle fois, utiliser une identité que nous ne démontrerons pas ici (mais que vous pouvez vérifier vous même). Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

28.  mo d3r’  B = - 2 A = - 2 4p  mo 1 1 d3r’  B = - 2 A = - 2 2 4p 1 1 Il faut donc calculer = ·  = ·  j(r’) |r - r’| R j(r’) |r - r’| |r - r’| |r - r’| Où pour alléger l’écriture nous posons: |r - r’| R = = (x-x’)2 + (y-y’)2 + (z-z’)2 1/2 = X2 + Y2 + Z2 1/2 4. 4Rotationnel du champ magnétique - théorème d’Ampère Reprenant l’expression du potentiel vecteur trouvée précédemment et notant encore une fois que l’opérateur Nabla n’agit que sur les coordonnées en « r », on peut donc écrire le rotationnel du champ magnétique sous la forme: Et donc les opérations de dérivées seront en "/X " etc. Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

29. Calculons la composante suivant X de 1 1   R R 1 1 1 - (1/2)2Z - (1/2)2Y - (1/2)2X = = = = = = = = = X2 + Y2 + Z2 1/2 X2 + Y2 + Z2 1/2 X2 + Y2 + Z2 1/2 X2 + Y2 + Z2 3/2 X2 + Y2 + Z2 3/2 X2 + Y2 + Z2 3/2 1 1 1          De même pour les composantes suivant Y et Z de R R R Z Z Y X Y X Y Z X 1 2 -X -X -Z -Y -Z -Y R3 R3 R3 R3 R3 R3 + + |r - r’| Le laplacien est alors donné par la divergence du vecteur que nous venons de trouver: 1 = = ·  R 4. 4Rotationnel du champ magnétique - théorème d’Ampère On aurait pu déduire les deux dernières expressions par permutations circulaires ... Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

30. - = -    X2 + Y2 + Z2 3/2 -X (3/2)2X X2 + Y2 + Z2 1/2 X X X = - X2 + Y2 + Z2 3 1 1 2X2 - Y2 - Z2 2 2 - = X R5 X2 + Y2 + Z2 3/2 X X R3 R3 Et par permutation circulaire : |r - r’| |r - r’| 2X2 - Y2 - Z2 + -X2 + 2Y2 - Z2 + -X2 - Y2 +2Z2 = R5 = 0 Sauf pour r = r’ !!! 4. 4Rotationnel du champ magnétique - théorème d’Ampère Calculons la composante suivant X du laplacien : Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

31. En conclusion cette expression du rotationnel du champ magnétique, sous forme intégrale, n’a de sens que localement, c’est à dire pour r’  r !!!  mo 1 d3r’ j(r’)  B = - 2 A = - 2 4p |r - r’| ! Soit alors un petit volumeV ’entourant r et suffisamment petit pour considérer j(r’) homogène sur ce volume - donc égal à j(r) -et qui peut être sorti de l’intégrale . Comme nous l’avions vu pour le gradient de 1/|r-r’|, nous avons l’égalité suivante pour les laplaciens dans les  mondes en « r » et « r’»: 1 2 On a alors pour le rotationnel du champ magnétique:  |r - r’| |r - r’| mo j(r) 1 d3r’  B = ’2 4p |r - r’| V ’ 1 ’2 = - En « r » En « r’ » V ’tend vers zéro autour de la position r où on regarde le champ magnétique B 4. 4Rotationnel du champ magnétique - théorème d’Ampère Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

32. Appliquons le théorème de la divergence à l’équation obtenue:  mo j(r) 1 d3r’  B = ’2 4p |r - r’| V ’ ’2 = ’·’  ’ ·dS S ’  S ’ est une petite surface entourant r. On peut donc prendre une sphère et R = r-r’ est parallèle à dS ·dS S ’ |r - r’|3 |r - r’| |r - r’| |r - r’|  mo j(r) dS  B = 1 1 1 ( r - r’) 4p R2 S ’ 4. 4Rotationnel du champ magnétique - théorème d’Ampère Or dS en coordonnées sphériques est égal à R2 sin(q)dq dj . Donc l’intégrale vaut 4p . Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

33. !  B(r) = mo j(r) Expression valable uniquement en régime stationnaire et pour des matériaux non magnétiques !!!  B(r) ·dS = mo j(r) dS Courant traversant la surface S Théorème de Stokes B(r)·dl =moI    C S S Théorème d’Ampère 4. 4Rotationnel du champ magnétique - théorème d’Ampère On aboutit donc après ces quelques étapes de calcul à l’expression locale du théorème d’Ampère: Nous pouvons alors intégrer le rotationnel du champ magnétique, ainsi que la densité de courant sur toute une surface: Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

34. Pour un cylindre de rayon r  R : moIor B(r  R ) = 2p R2 Symétrie axiale B ne dépend que de r !!! Pour un cylindre de rayon r  R : B(r  R ) = mo Io B(r) 2p r  B(r)·dl = C R r 4.5 Utilisation du théorème d’Ampère Long cylindre conducteur : Soit un long cylindre conducteur parcouru par un courant Io de densité homogène j sur toute la section du cylindre de rayon R : Io = p R2 j Si on considère « long » comme « infini », on sait que par symétrie seule la composante azimutale est non nulle. On prend comme contour adapté à la symétrie un cercle perpendiculaire à l’axe du conducteur. I(r) = p r2 j 2p rB = moI(r) I(r) = p R2 j = Io 2p rB = mo Io Le champ magnétique pénètre linéairement dans un milieu conducteur parcouru par un courant homogène Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

35. Bz z z Bj z y r Br j x  •B = 0 Comme , alors le flux de B à travers une surface fermée est nul.  B·dS = + Bz·dS = +z  B·dS = + Br·S·l Br = 0 I  B·dS = - Bz·dS = -z 4.5 Utilisation du théorème d’Ampère Long solénoïde: Par symétrie B ne dépend ni de z ni de j Composante radialeBr Ceci est vrai que le cylindre soit à l’intérieur ou à l’extérieur du solénoïde. Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

36. Composante azimutaleBj La circulation du champ magnétique le long d’un contour du type C (de rayon r) où C’ donne: z C  B·dl = 2prBj C C’ I Bj = moI /2pr à l’extérieur 4.5 Utilisation du théorème d’Ampère Long solénoïde: • A l’intérieur du solénoïde, le contour C n’est traversé par aucun courant et donc Bj=0 partout à l’intérieur. • Le contour C’est traversé une fois par le courant I et doncà l’extérieur du solénoïde la composante azimutale est donnée par (sauf si le pas de l’hélice est nul, auquel cas le contour n’est traversé par aucun courant) : Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

37. Composante axialeBz z ( Br = 0 et rBj=cste ) C’est à dire que Bz est constant et peut prendre au plus deux valeurs distinctes à l’intérieur ou à l’extérieur du solénoïde.  B(r) = mo j(r) = 0 Comme en dehors du conducteur, on a donc à l’intérieur comme à l’extérieur du solénoïde: G • Le contour G, de longueur h=1 suivant « z » est traversé par un courant NI où N est le nombre de spires par unité de longueur du solénoïde. La circulation de B le long de ce contour vaut Bz·h = Bz = mo N I où Bzest alors la seule composante non nulle de B à l’intérieur du solénoïde. Bz = 0 r I Bz = moN I à l’intérieur 4.5 Utilisation du théorème d’Ampère Long solénoïde: • Vu de loin ( r   ), le solénoïde ressemble à un fil infini et Bz(r )= 0, donc Bz=0 partout à l’extérieur. Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

38. z Br = 0 I Bj = moI /2pr Bz = moN I à l’extérieur à l’intérieur 4.5 Utilisation du théorème d’Ampère Résumé et Lignes de champ Long solénoïde: = 0 si hélice à pas nul !!! Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

39. 4.6 Dipôle Magnétique • De même que la notion de développement multipolaire est importante et en particulier celle de dipôle électrique car souvent utilisée pour modéliser le comportement de la matière au point de vue électrique, il est important également de faire apparaître la notion de dipôle magnétique, d’autant que les « monopôles » magnétiques n’existent pas. • Comme dans le cas électrique, la notion de dipôle magnétique fait référence à une situation où l’observation du champ magnétique ou du potentiel vecteur se fait loin du circuit qui leur donne naissance. • Cette description est tout à fait adaptée lorsqu’on s’intéresse par exemple aux propriétés magnétiques des atomes où les électrons gravitant autour des noyaux constituent des boucles microscopiques de courant (diamagnétisme et paramagnétisme électronique). Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

40. Intéressons nous à la boucle de courant ci dessous, et plus particulièrement au calcul du potentiel vecteur au point (x,0,z). z Le plan xOz est un plan de symétrie et pour tout élément dl à l’azimut j, il existe un autre élément à l’azimut –j de telle sorte que les composantes du potentiel vecteur s’ajoutent suivant y et s’annulent suivant x. (x,0,z) A r r’ q Soit ej le vecteur unitaire parallèle à dl pour l’azimut j .  mo j(r’)  A(r)= d3r’ 2p 4p r moI a cosj dj ej a A=  4p y r’ 0 j(r’)d3r’ = I dl = I a dj ej dl x j 4.6 Dipôle Magnétique Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

41. ej ej z • le produit scalaire r·a s’écrit ra cos (x,0,z) A • d’autre part r’ >> a  r  1 - + cos r a cosj dj r’ r’ q a2 a2 Ipa2x 2r2 2r2 r3 moI a a A= A= A= ax  mo Ipa2 4pr y 1 - + cosj r j A= r sinq ej r2 4p r3 dl  x 2p • expression que l’on peut mettre sous la forme: mo mo mr 4p 4p 0 r3 4.6 Dipôle Magnétique • Il faut exprimer r’ en fonction de r et j . • d’une part r’2 = r2 + a2 – 2ar cos. ou xa cosj • or x = r sinq Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

42. z • le potentiel vecteur s’exprime donc sous la forme d’un produit vectoriel: mr A • la quantité m = IS est le dipôle magnétique associé à la boucle de courant. Son module est donné par le produit du courant par la surface s’appuyant sur la spire de courant jusqu’à présent supposée plane. m r y A= • Pour une boucle non plane, on peut généraliser la notion de moment dipolaire (cf. moment inertie en mécanique) : x dl 1  mo m = r’Idl r’ 2 4p + r3 4.6 Dipôle Magnétique Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

43. z Calculons à présent le champ magnétique: B mr ici r est quelconque m r y A= x B(r) = A(r) mo 4p r3 4.6 Dipôle Magnétique Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

44. 4.6 Dipôle Magnétique Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

45. On peut remettre cette expression du champ magnétique sous forme vectorielle indépendante d’un choix de repère. On voit apparaître une composante le long du vecteur r et une deuxième dans la direction opposée au moment dipolaire magnétique. z Bm Br B m 3(m·r) Br= r r r5 mo -m Bm= 4p r3 y B= x 3(m·r)·r - r2m r5 mo mo 4p 4p 4.6 Dipôle Magnétique Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

46. z z Bm Ep Er Br B E m r r p y y E= B= x x 3(m·r)·r - r2m r5 mo 1 3(p·r)·r - r2p 4peo 4p r5 4.6 Dipôle Magnétique Analogie avec le champ électrique créé par un dipôle électrique. Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

47. 1 ’ Si N est la concentration en dipôles magnétiques m par unité de volume, on définit alors l’aimantation M par unité de volume par : |r - r’| Le potentiel vecteur produit par un élément de volume d3r’ est alors donné par: M = N m M |r - r’|3 dA= d3r’ r - r’ = Et comme on a déjà montré que:  (r-r’) mo |r-r’|3 1 A(r)= d3r’ M ’ mo 4p Le potentiel vecteur total vaut: 4p |r-r’| 4.7 Matériaux Magnétiques Dans les substances « magnétiques » il existe des « boucles de courant microscopiques » qui donnent naissance à des dipôles magnétiques. Ces dipôles peuvent s’ajouter de façon constructive et la matière devenir ainsi « aimantée ». Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

48. On peut ramener la précédente intégrale en volume en une somme de deux intégrales, l’une de surface et l’autre en volume faisant apparaître des densités équivalentes de courant en surface eet volume je:  mo A(r)= d3r’ 4p  (fA) = (f ) A + f ( A)  •(A B) = B•( A) - A•( B)   ’ M -mo mo M ’ A(r)= d3r’ +d3r’ 4p 4p 1 M ’ |r-r’| |r-r’| |r-r’| 4.7 Matériaux Magnétiques Pour cela on va utiliser des identités, devenues familières (ou presque) : La première nous permet la séparation en deux intégrales: Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

49. je =’ M  •(MC) = C•( M) - M•( C) 0 4.7 Matériaux Magnétiques Dans la deuxième intégrale de la partie droite de l’équation, on reconnaît la forme de la définition générale du potentiel vecteur, à condition de poser: Pour faire apparaître une expression similaire pour la première intégrale on utilise l’identité suivante, où le vecteur C est un vecteur constant et le vecteur M = M/|r-r’|: Le théorème de la divergence nous permet de passer d’une intégrale de volume à une intégrale de surface: Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

50. Ceci doit être vrai quelque soit le vecteur C constant, donc les deux intégrales entre parenthèses sont égales: On a donc finalement, en posant: le = M n où n est le vecteur normal à la surface en tout point   je le mo mo A(r)= dS’+d3r’ 4p 4p |r-r’| |r-r’| 4.7 Matériaux Magnétiques leetjesont desdensités de courants dits « Ampériens », à ne pas confondre avec les courants « libres » générés par la mise en mouvement des porteurs de charge libres sous l’action d’un champ électrique externe. Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005