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IL CALCOLO COMBINATORIO. Il calcolo combinatorio ha come obiettivo il calcolo dei vari modi con i quali possono essere associati gli elementi di due o più insiemi o di uno stesso insieme, dopo aver prefissato delle regole precise.
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IL CALCOLO COMBINATORIO • Il calcolo combinatorio ha come obiettivo il calcolo dei vari modi con i quali possono essere associati gli elementi di due o più insiemi o di uno stesso insieme, dopo aver prefissato delle regole precise. • I raggruppamenti possono essere fatti in diversi modi: a volte bisogna tener conto dell’ordine con il quale gli elementi vengono scelti, a volte bisogna tener conto della natura degli elementi, altre volte invece interessa sia la natura che l’ordine degli elementi. • GLI ARGOMENTI TRATTATI DAL CALCOLO COMBINATORIO
ARGOMENTI TRATTATI DAL CALCOLO COMBINATORIO • DISPOSIZIONI • PERMUTAZIONI • COMBINAZIONI • PROPRIETA’ DEI COEFFICIENTI BINOMIALI • SVILUPPO DELLA POTENZA DI UN BINOMIO • CRITERIO DI SCELTA TRA I DIVERSI ALLINEAMENTI DEL CALCOLO COMBINATORIO
DISPOSIZIONI • Dato un insieme A di n elementi,si definiscono disposizioni di classe k quei raggruppamenti di k elementi che vengono scelti fra gli elementi dell’insieme A. n rappresenta il numero totale degli elementi, mentre k rappresenta la classe, cioè il numero di elementi di ciascun raggruppamento. Ogni raggruppamento differisce dagli altri o per natura (A diverso B) o per l’ordine (AB diverso da BA) degli elementi. Le disposizioni possono essere semplicio con ripetizione; Per avere la visione dei raggruppamenti si utilizza il diagramma ad albero. Con esso i raggruppamenti si leggono da sinistra verso destra, o dall’alto verso il basso. Nei diagrammi ad albero ci sono dei nodi; ogni nodo si può diramare. I risultati si leggono sui rami. home
DISPOSIZIONI SEMPLICI • Si dicono disposizioni semplici quei raggruppamenti di elementi distinti tra di loro. Si indicano con D n,k • D n,k = è uguale al prodotto di k fattori interi decrescenti a partire da n.Esempio: D 4,2= 4*3=12. Si usano solo due fattori perché k è uguale a 2. Se k fosse stato 3 si sarebbe fatto 4*3*2. • Se si hanno quattro elementi: A,B,C,D, quante sigle di due elementi si possono formare? • A B C D b c d a c d a b d a b c ab ac ad ba bc bd ca cb cd da db dc Torna all’argomento home
DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE • Si dicono disposizioni con ripetizioni quei raggruppamenti di elementi che compaiono più di una volta. E si indicano con D’n,k . • D’n,k = è la potenza di n elementi elevati a k. Esempio: D’4,2=4^2=16 • Se si hanno quattro elementi:A,B,C,D quante sigle di due elementi si possono formare?(ricordandosi che si ripetono) • A B C D a b c d a b c d a b c d a b c d aa ab ac ba ad bb bd bc ca cb cc cd db da dc dd Torna all’argomento home
PERMUTAZIONI • Dato un insieme A di n elementi, si definiscono permutazioni di n elementi (diversi fra loro) i raggruppamenti formati dagli n elementi presi in un ordine qualsiasi. I raggruppamenti contengono tutti gli elementi dell’insieme e ogni raggruppamento differisce dagli altri soltanto per l’ordine degli elementi. • Le permutazioni possono essere semplici o con ripetizione. • Anche questi raggruppamenti possono essere rappresentati con i diagrammi ad albero. • La permutazione si può pensare come una disposizione di n elementi di classe n. home
PERMUTAZIONI SEMPLICI • Le permutazioni semplici si indicano con Pn = n!, dove il ! rappresenta il fattoriale, cioè si pone: • Un semplice esempio sulle permutazioni è dato dagli anagrammi,anche senza significato, che si possono ottenere partendo da una parola qualsiasi. Ad esempio gli anagrammi della parola “ROMA” sono dati dalle permutazioni di 4 elementi, quindi si avrà: Torna all’argomento home
PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE Data una parola di n lettere nella quale una lettera è ripetuta a volte, un’altra b volte il numero delle permutazioni distinte con elementi ripetuti si possono ottenere risulta: Ad esempio gli anagrammi distinti della parola MAMMA sono: Torna all’argomento home
COMBINAZIONI Dato un insieme A di n elementi, si definiscono combinazioni degli n elementi di classe k i raggruppamenti di k elementi tali che ogni raggruppamento differisca dagli altri solo per la natura degli elementi ( senza considerare quindi l’ordine degli elementi). Le combinazioni possono essere semplici o con ripetizione. I raggruppamenti si possono indicare anche con . Questo simbolo è detto coefficiente binomiale per il suo uso nello sviluppo delle potenze di un binomio home
COMBINAZIONI SEMPLICI Le combinazioni semplici si indicano con: Esempio: Le combinazioni semplici si usano quando gli elementi dei raggruppamenti non si ripetono e sono distinti fra di loro Torna all’argomento home
COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE Le combinazioni con ripetizione si indicano con: k Le combinazioni con ripetizione si usano quando gli elementi dei raggruppamenti si ripetono. Esempio: Torna all’argomento home
PROPRIETA’ DEI COEFFICIENTI BINOMIALI 1) La legge dei tre fattoriali Si utilizza quando si ha a disposizione la calcolatrice n 2) Proprietà simmetrica n 3) Queste due proprietà rappresentano due sottoproprietà della prima home
SVILUPPO DELLA POTENZA DI UN BINOMIO Come applicazione dei coefficienti binomiali, calcoliamo La prima lettera decresce, la seconda cresce . I coefficienti dei monomi rappresentano i numeri che si ottengono dal triangolo di tartaglia del numero 5. 5 10 1 10 5 1 home avanti
Sviluppo della potenza di un binomio parte 2 Alla fine si ottiene: Polinomi di questo tipo hanno varie proprietà:1) sono ordinati secondo le potenze decrescenti in a e crescenti in b. 2) Sono composti da n+1 termini. 3) Sono omogenei, cioè ogni monomio è dello stesso grado. 4) Sono completi, cioè ogni polinomio è presente con ogni grado. Lo sviluppo della potenza di un binomio si esprime in generale con la formula di Newton: indietro
CRITERIO DI SCELTA FRA I DIVERSI ALLINEAMENTI DEL CALCOLO COMBINATORIO DISPOSIZIONI: Ogni raggruppamento differisce dagli altri o per natura (A diverso da B) o per l’ordine (AB diverso da BA) degli elementi. PERMUTAZIONI: Ogni raggruppamento differisce dagli altri soltanto per l’ordine degli elementi (AB diverso da BA). COMBINAZIONI: Ogni raggruppamento differisce dagli altri soltanto per la natura degli elementi (A diverso da B). home
A CURA DI: BAGGI MARCO PALLOTTA VALENTINA CLASSE 4Ai
