Ekonometria wykład w roku 2009/2010

2. Ekonometriawykład w roku 2009/2010 W. Borucki Cz. 1/1

3. Plan wykładu cz. I (7 godz.) • Modelowanie problemów decyzyjnych • Programowanie liniowe • Zadania programowania liniowego i ich własności • Metoda geometryczna • Metoda simplex • Dualność • Zadania transportowe • Analiza wrażliwości • Modele Leontiefa • Układ równań bilansowych • Interpretacja

4. Plan wykładu cz. II (7 godz.) • Modelowanie zjawisk (zależności) gospodarczych • Zmienne objaśniane i objaśniające • Hipotezy o zależnościach wzajemnych • Metoda najmniejszych kwadratów • Modele ekonometryczne z jedną i wieloma zmiennymi objaśniającymi, liniowe i nieliniowe, • Wykorzystanie modeli ekonometrycznych: • Prognozowanie • Symulacja (?)

5. Bibliografia • Red. E. Ignasiak, Badania operacyjne, PWE, Warszawa, 2001 • Z. Czerwiński, Matematyka na usługach ekonomii, PWN, Warszawa, 1972 • H. Wagner, Badania operacyjne, PWE, Warszawa, 1980 • B. Guzik, W. Sikora, Elementy Badań operacyjnych, PMD, AE w Poznaniu, Poznań 1994 • A. Kaufman, Badania operacyjne na co dzień, PWN, Warszawa, 1968 • Red. B. Guzik, Ekonometria i Badania operacyjne, zagadnienia podstawowe, AE, Poznań, 2002

6. Plan wykładu cz. III (1 godz.) Zestaw pytań, na które student i/lub studentka powinni znać odpowiedź – krótkie omówienie (przypomnienie podstawowych wiadomości) • Przedstawić podstawowe elementy problemu decyzyjnego. • Jakie warunki powinny spełniać kryteria wyboru decyzji? • Podać przykłady warunków przy podejmowaniu decyzji ekonomicznych i co to są decyzje dopuszczalne? • Przedstawić problem wyboru planu produkcyjnego. • Przedstawić problem rozkroju. • Przedstawić problem diety. • Przedstawić własności zbiorów rozwiązań dopuszczalnych liniowych zadań decyzyjnych (LZD) . • Kiedy LZD ma wiele rozwiązań optymalnych, a kiedy nie ma ich wcale? • Jakie są podstawowe elementy i czynności metody geometrycznej? • Z jakich podstawowych etapów składa się metoda simplex i o co w nich chodzi? • Co trzeba zrobić by zmienić rozwiązanie bazowe LZD? • Jakie czynności w metodzie simplex gwarantują dopuszczalność rozwiązań LZD. • Przedstawić dwa główne problemy analizy wrażliwości rozwiązania LZD i odpowiadające im pytania. • Zdefiniować zadania dualne do liniowych zadań decyzyjnych. • Jak można interpretować zmienne dualne? • Omówić zamknięte zadanie transportowe (ZZT). • Przedstawić przykłady otwartych zadań transportowych. • Omówić model Leontief’a dla gospodarki dwusektorowej. • Jak należy interpretować współczynniki odwróconej macierzy Leontief’a ? • Jak można wyznaczyć produkt globalny dla gospodarki n-sektorowej?

7. Plan wykładu cz. III (1 godz.) c.d.Zestaw pytań, na które student i/lub studentka powinni znać odpowiedź – krótkie omówienie (przypomnienie podstawowych wiadomości) • Co to jest ekonometria w wąskim znaczeniu? • Wyjaśnić pojęcia zmienna objaśniana i zmienne objaśniające • Objaśnić istotę metody najmniejszych kwadratów (MNK) • Opisać proces szacowania parametrów liniowego modelu ekonometrycznego z jedną zmienną objaśniającą • Jakie znamy wskaźniki oceny jakości oszacowania parametrów liniowych modeli ekonometrycznych? • Jak szacujemy parametry modelu ekonometrycznego wykładniczego z jedną zmienną objaśniającą? • Jak szacujemy parametry modelu ekonometrycznego potęgowego z jedną zmienną objaśniającą? • Jakie własności posiada funkcja Tornquista I rodzaju i do opisu jakich zagadnień jej się używa? Jak szacujemy jej parametry? • Jakie własności posiada funkcja Tornquista II rodzaju i do opisu jakich zagadnień jej się używa? Jak szacujemy jej parametry? • Jakie własności posiada funkcja Tornquista III rodzaju i do opisu jakich zagadnień jej się używa? Jak szacujemy jej parametry? • Jaka funkcja posiada stałą elastyczność, a jaka stałą stopę wzrostu? Odpowiedź uzasadnić. • Podać funkcję używane najczęściej w analizie kosztów. Jaka jest interpretacja ekonomiczna ich współczynników? • Jak można oszacować parametry funkcji wielomianowych? • Jak można uogólnić MNK dla modeli liniowych z jedną zmienną objaśniającą na model z wieloma zmiennymi objaśniającymi? • Co to są standardowe błędy szacunku parametrów modeli ekonometrycznych • Omówić zasady szacowania parametrów funkcji Cobba Douglasa, jej zastosowanie i własności. • Co to jest prognoza a co predykcja? Co możemy powiedzieć o zaufaniu do prognoz? • Co to jest współliniowość zmiennych i jakie są tego konsekwencje dla budowy modelu ekonometrycznego? • Do czego służy symulacja i co trzeba uczynić by efekty były wiarygodne? • Jaka jest procedura budowy modelu ekonometrycznego

8. Modelowanie problemów decyzyjnych • Zasady Kartezjusza • Sprawdzić każde założenie unikając „oczywistości” • Podzielić problem na części tak by każdą z nich z osobna można było „ogarnąć rozumem” • Uporządkować problem od najprostszych do najbardziej skomplikowanych i sukcesywnie je rozwiązywać • Zintegrować problemy cząstkowe w całość nie pozostawiając niczego „w zapomnienie” • Podejście systemowe • System • Całość złożona z ograniczonej liczby elementów powiązanych ze sobą relacjami i przyjmujących rozmaite stany, dokonująca z różną intensywnością transformacji strumieni zasilania (wejście w wyjście) podporządkowanych przyjętym celom • Analiza • Rozważyć system w całości by nie zaniedbać interakcji pomiędzy jego elementami • Zintegrować jego przebieg w czasie, • Nie zapomnieć o jego związkach z otoczeniem • Wziąć pod uwagę cel dla którego został zbudowany i ograniczyć się do elementów najważniejszych • Zasady racjonalnego gospodarowania • Maksymalizacja efektu przy wykorzystaniu założonych zasobów • Minimalizacja nakładów przy osiągnięciu założonego efektu

9. Modelowanie problemów decyzyjnych • Decyzja – akt wyboru, oceny, sąd, … • Jakie mogą być decyzje? Cechy decyzji ekonomicznych. • Proces decyzyjny – ciąg działań prowadzących do wyboru decyzji. • Zachowania racjonalne – maksymalizacja użyteczności czy racjonalność ograniczona? • Co to jest decyzja dobra?, • Proces podejmowania decyzji • Formułowanie problemu • Budowa modelu matematycznego lub logicznego • Przedmiot decyzji – zmienne decyzyjne • Uwarunkowania – warunki ograniczające • Kryteria oceny – funkcje celu • Pozyskanie i przetworzenie informacji dla ustalenia parametrów modelu • Wykonanie niezbędnych obliczeń w celu wskazania decyzji najlepszej - optymalnej (algorytm rozwiązywania zadania) • Analiza jakości (wrażliwości) uzyskanej decyzji – analiza post-optymalizacyjna • Sprawdzenie adekwatności rozwiązania • Wdrożenie decyzji

10. Formułowanie zadań • Sformułować problem (literacko, ale jednoznacznie) • Co musi w nim być? • Przedmiot decyzji • Warunki ograniczające • Kryterium oceny jakości decyzji • Jak przetłumaczyć problem decyzyjny na język matematyki? – Odp. Formułując zadanie optymalizacyjne (przekształcenie wzajemnie jednoznaczne) wykorzystując • Zmienne decyzyjne (przedmiot decyzji) • Równania i nierówności (warunki ograniczające) → rozwiązania dopuszczalne • Wskaźnik(i) jakości (kryterium, funkcja celu)→ rozwiązanie optymalne • Bywają sformułowania równoważne (te same zbiory rozwiązań dopuszczalnych i to samo rozwiązanie optymalne)

11. Zadanie 1 Zakład przerobu ropy naftowej uzyskuje 30 tys. ton półproduktu A i 30 tys. Ton półproduktu B. W wyniku mieszania tych półproduktów w odpowiednich proporcjach otrzymuje trzy rodzaje benzyn: I - przy proporcjach półproduktu A do półproduktu B jak 1:2, II - przy proporcjach półproduktu A do półproduktu B jak 1:1, III - przy proporcjach półproduktu A do półproduktu B jak 2:1, Hurtowa cena sprzedaży benzyny I wynosi 6.000 zł, II – 7000,- zł a III – 9000,- zł. Jaki rodzaj benzyny i w jakich ilościach powinien zakład produkować ażeby zmaksymalizować przychód

12. Zadanie 2 Hodowca posiadający stajnię na 10 koni kupuje młode zwierzęta w wieku 2 lat płacąc po 2000 zł za sztukę. Może je sprzedać po dwóch latach hodowania i układania średnio po około 25 tys. złotych, a po roku za około 10 tys. zł. Średnio koń w pierwszym roku zjada rocznie 1 tonę siana i 2 tony owsa, a w roku II 2 tony siana i 1 tonę owsa. Produkty te można kupić na rynku odpowiednio po: 2000 zł za 1 tonę owsa, 1000 zł za 1 tonę siana. Godzina pracy instruktora układającego konie kosztuje 30 zł, a każdemu koniowi w wieku 2 lat trzeba poświęcić dziennie 30 minut, a w wieku 3 lat 45 minut. Instruktor nie może dziennie pracować więcej aniżeli 9 godzin. Ile koni i w jakim wieku powinien rolnik hodować, ażeby zmaksymalizować swój zysk w okresie dwuletnim? Zapisać w postaci zadania decyzyjnego. Jakie masz problemy i wątpliwości?

13. Zadanie 3 Zakład może wyprodukować dziennie 9 sztuk wyrobu A albo 12 sztuk wyrobu B. Wyroby te produkowane są z jednego podstawowego surowca, którego zużycie dzienne jest ograniczone i wynosi 14 jednostek. Zużycie tego surowca do produkcji wyrobu A wynosi 1 jednostkę, a do wyrobu B dwie jednostki. Jaki powinien być optymalny dzienny plan produkcji jeżeli zysk jednostkowy z produkcji wyrobu A wynosi 1, a z jednostki wyrobu B wynosi 4? Czy mieć będzie dla tego planu znaczenie, że ilość wyrobów A nie może przekraczać 4/5 ilości wyrobów B? Zapisać problem w postaci zadania PL.

14. Zadanie 4

15. Zadanie 5 • Tartak produkuje elementy tzw. programu ogrodowego. Jednym z produktów jest huśtawka ogrodowa, która składa się z czterech belek o długości 3 m i jednej belki o długości 2 m. Elementy te powstają z cięcia belek o długości 7 m, którymi tartak dysponuje w ilości 100 sztuk i 6 m, których tartak posiada 200 sztuk. • W jaki sposób należy pociąć posiadane przez tartak belki, ażeby uzyskać maksymalną liczbę kompletów belek na huśtawki.

16. Zadania 6 Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby: A i B. Do produkcji używa się m.in. trzech środków produkcji, których dostawy wymagają zawarcia umów długoterminowych, stąd uważa się je za limitowane. Są to: komponenty K1, K2, i K3, których zawarte w kontraktach roczne dostawy wynoszą odpowiednio: 2200, 1500 i 2000 jednostek. Do produkcji wyrobu A zużywa się 4 jednostki komponentu K1, jedną jednostkę komponentu K2, i 2 jednostki komponentu K3. Natomiast do produkcji wyrobu B zużywa się 2 jednostki komponentu K1 i 4 jednostki komponentu K3. Z analizy sprzedaży wynika, że zobowiązania przedsiębiorstwa dotyczące sprzedaży wyrobu A, wynoszą co najmniej 800 jednostek. Natomiast w przypadku wyrobu B oczekuje się sprzedaży na poziomie nie wyższym aniżeli 400 jednostek. Ceny wyrobów wynoszą odpowiednio 30 000 zł i 40 000 zł. • Wyznaczyć plan produkcji maksymalizujący przychód. • Wyznaczyć plan produkcji maksymalizujący zysk gdy jednostkowe koszty produkcji wynoszą odpowiednio 15000 zł i 25000 zł. • Jak mógłby się ten plan/ te plany zmienić gdyby możliwe było zniesienie limitu na zakup komponentu K1? • Ze względu na szybko rosnący popyt na wyrób A i jego niedobory na rynku (produkt ma znaczenie strategiczne) możliwy jest wzrost jego ceny hurtowej o około 40%. Jakie to niesie konsekwencje?

17. Zadanie 7

18. Zadanie 8 • Stosując metodę geometryczną rozwiąż zadanie

19. Zadanie 9 Zakład może wyprodukować dziennie 12 sztuk wyrobu A albo 18 sztuk wyrobu B. Wyroby te produkowane są z jednego podstawowego surowca, którego zużycie dzienne jest ograniczone i wynosi 36 jednostki. Zużycie tego surowca do produkcji wyrobu A wynosi 2 jednostki, a do produkcji wyrobu B 3 jednostki. Jaki powinien być optymalny dzienny plan produkcji jeżeli zysk jednostkowy z produkcji wyrobu A wynosi 4, a z jednostki wyrobu B wynosi 5?

20. Metoda geometryczna Przykład liczbowy • Rozwiązanie przykładu • Dane niech będzie liniowe zadanie decyzyjne

21. Interpretacja geometryczna

22. Metoda geometryczna – algorytm( ZPL z dwiema zmiennymi decyzyjnymi) • Wykreśl układ współrzędnych dla przestrzeni dwuwymiarowej (R2) • Dla osi układu współrzędnych przyjmij odpowiednią skalę, tak by rysunek mógł być czytelny (w tym celu ustal wartości maksymalne jakie mogą przyjmować poszczególne zmienne decyzyjne i zaznacz te wartości na odpowiednich osiach) • Kolejno, dla każdego warunku ograniczającego zaznacz tę część przestrzeni R2, która spełnia nierówność lub równość (półpłaszczyzna lub prosta) • Część wspólna (iloczyn zbiorów) wszystkich półpłaszczyzn i/lub prostych wskaże zbiór rozwiązań dopuszczalnych • Narysuj dowolną izokwantę dla tej funkcji celu. Wykreśl wektor (gradient) prostopadły do tej izokwanty • Przesuń izokwantę w kierunku wskazanym przez gradient, w taki sposób ażeby miała co najmniej jeden punkt wspólny ze zbiorem rozwiązań dopuszczalnych (aby jej położenie wskazywało na wierzchołek lub krawędź zbioru rozwiązań dopuszczalnych), • Współrzędne wierzchołka wskażą wartości zmiennych decyzyjnych rozwiązania optymalnego

23. Programowanie liniowe Zadania Programowania liniowego • Zmienne decyzyjne – wymierne, warunki i kryterium – funkcjami liniowymi • Własności zbioru decyzji dopuszczalnych (zb. wielościenny wypukły) • Metody poszukiwania rozwiązania optymalnego (heurystyczna – przegląd wierzchołków, geometryczna – z wykorzystaniem izokwanty) Macierzowa postać zadania • Zmienne decyzyjne – wektor o n składowych • Funkcja celu – iloczyn skalarny • Warunki ograniczające – układ nierówności (równań) Przekształcenia równoważne • Wprowadzenie zmiennych swobodnych w warunkach z nierównością • Zamiana znaku współczynników funkcji celu przy zmianie „kierunku” optymalizacji • Równanie zastąpione dwiema nierównościami

24. Programowanie liniowe 2 • Zadanie programowania liniowego (ZPL) jest matematycznym odwzorowaniem problemu decyzyjnego, w którym wszystkie warunki ograniczające i funkcja celu wyrażone są w postaci funkcji liniowych, a zmienne decyzyjne przyjmują wartości rzeczywiste (nieujemne) • Decyzje wyrażone są w postaci wektorów (nieujemnych, n- wymiarowych, gdzie n jest liczbą zmiennych decyzyjnych), których składowe odpowiadają zmiennym decyzyjnym • Decyzję nazywamy dopuszczalną jeżeli spełnia wszystkie warunki ograniczające (łącznie z nieujemnością). Zbiór wszystkich decyzji dopuszczalnych (zbiór rozwiązań dopuszczalnych) zadania programowania liniowego jest zbiorem wielościennym wypukłym. • Decyzją optymalną jest ta decyzja dopuszczalna, dla której wartość funkcji celu przyjmuje wartość największą (lub odpowiednio najmniejszą) • Są trzy możliwości: • Nie istnieje żadne rozwiązanie dopuszczalne (zadanie jest sprzeczne) • Nie istnieje skończone rozwiązanie optymalne (zadanie nie jest dobrze postawione) • Istnieje skończone rozwiązanie optymalne (jedno lub wiele) • Jeśli istnieje skończone rozwiązanie optymalne ZPL, to znajduje się ono w jednym z wierzchołków zbioru rozwiązań dopuszczalnych (wielościennego i wypukłego) . • Dla jego wyznaczenia można przejrzeć zbiór rozwiązań odpowiadający wszystkim wierzchołkom zbioru rozwiązań dopuszczalnych (przegląd zupełny) lub dokonać przeglądu ukierunkowanego (wykorzystującego właściwości ZPL) . Przykładem może być metoda simpleks lub dla zadań z dwiema zmiennymi decyzyjnymi – metoda geometryczna.

25. Metoda simplex –metoda ukierunkowanego przeglądu dopuszczalnych rozwiązań bazowych Schemat: Generujemy dopuszczalne (nieujemne) rozwiązanie bazowe (początkowe) Sprawdzamy optymalność otrzymanego rozwiązania Jeżeli nie jest optymalne, to generujemy nowe dopuszczalne rozwiązanie bazowe nie gorsze od otrzymanego poprzednio i idziemy do punktu sprawdzenia optymalności ptrzymanego rozwiązania Jeżeli tak, to koniec obliczeń, albowiem nie ma już rozwiązania lepszego !!! Ostatnio otrzymane rozwiązanie jest optymalne.

26. Metoda simplex – podstawowe problemy Jak wygenerować rozwiązanie początkowe? Jak sprawdzić optymalność rozwiązania? Jak wygenerować nowe (nie gorsze) rozwiązanie bazowe?