UNIDAD 1

1. UNIDAD 1 CONCEPTOS BÁSICOS “Potencias y raíces” Dr. Daniel Tapia Sánchez

2. En esta actividad aprenderás a: • Reconocer la definición de potencia de base entera y de exponente entero. • Reconocer la definición de raíz como una potencia de base entera y exponente racional. • Aplicar las propiedades de la potenciación y radicación en la resolución de ejercicios.

3. Estos son los temas que estudiaremos: 1.6 Potenciación 1.6.1Definición 1.6.2Propiedades 1.6.3Potencias de base 10 1.6.4Signos de una potencia 1.7 Raíces 1.7.1Definición 1.7.2Propiedades 1.7.3Racionalización

4. a∙ a∙ a∙ a∙ a∙ … ∙ a 1.6. Potenciación 1.6.1 Definición • Corresponde a una multiplicación reiterada de términos o números iguales. El término o número que se va multiplicando, se llama “base” y la cantidad de veces que se multiplica dicha base se llama “exponente”. an = n veces Ejemplo: 343 73 = 7∙ 7∙ 7 = (-6)2 = (-6)∙ (-6)= 36

5. 3 3 2 2 23 23 = 3 3 3 3 = 8 = = 2 2 2 8 ∙ ∙ 27 3 3 3 3 2∙2∙2 = 3 -32 = (-3)2 ya que: -32 = - 3 ∙ 3 = -9 y (-3)2 = (-3)·(-3) = 9 ya que: y

6. 5x∙ 53x = an∙ am = an+m 1.6.2 Propiedades • Multiplicación de Potencias: De igual base • Se conserva la base y se suman los exponentes. Ejemplo: = 54x 5x+3x Libro, página 38

7. an∙ bn = (a ∙ b)n 85∙ 42∙ 22= 85∙ (4∙ 2)2 = 85∙ 82= De igual exponente: • Se multiplican las bases, conservando el exponente. Ejemplo: 87

8. an: am = an-m 923 = 96 • División de Potencias: De igual base: • Se conserva la base y se restan los exponentes. Ejemplo: 923-6 = 917 Resolver ejercicios 1, 2 y 5 de “EJERCICIOS P.S.U.”, libro, página 49.

9. an: bn = (a : b)n 75: 282 = 75: 72= 42 De igual exponente: • Se dividen las bases y se conserva el exponente. Ejemplo: 75: (28:4)2 = 73

10. (an )m = am ∙n • Potencia de Potencia: • Se multiplican los exponentes. Ejemplo: (210)4= 210 ∙4 = 240

11. n 1 a-n= a 2 2 15 1 1 5-2 ∙ ∙ (5)2 = = ∙ 25 = 1 3 5 25 • Potencia de Exponente Negativo: • Se invierte la base y se eleva al exponente positivo. Potencia de exponente negativo y base entera: (Con a, distinto de cero) Ejemplo:

12. -n n a b = b a -3 3 3 4 3 64 4 = = = 4 3 27 3 3 Potencia de exponente negativo y base fraccionaria: (Con a, distinto de cero y b distinto de cero) Ejemplo:

13. 7 – (15-8) 0 x x - 4y - 4y = 3 3 • Potencias de exponente cero: a0 = 1 (para todo a, distinto de cero) 00 : indefinido Ejemplo: = 1

14. 1.6.3 Potencias de base 10 • Con exponente positivo: 100 = 1 101 = 10 102 = 100 103 = 1000… Ejemplo: 54.000.000 = 54 ∙ 1.000.000 = 54 ∙ 106 Libro, página 41

15. 1 10-1 = = 10 1 10-2 = = 100 1 10-3 = = 1.000 4 = 100.000 • Con exponente negativo: 0,1 0,01 0,001… Ejemplo: 4 ∙ 10 -5 0,00004 =

16. 1) (-11)2 = 4 4 2) (-3) -3 = = 81 5 625 4 5 1.6.4 Signos de una potencia • Potencias con exponente par: • Las potencias con exponente par, son siempre positivas. Ejemplo: 121 (-11) ∙ (-11) =

17. 1) (-12)3 = -5 5 5 -2 3 (3) 243 243 2) = = = = - 3 -2 5 (-2) -32 32 • Potencias con exponente impar: • EnLas potencias con exponente impar, la potencia conserva el signo de la base. Ejemplo: (-12) ∙ (-12) ∙ (-12)= -1.728

18. b a x = x 2 a 5 b 5 1) = = 5 8 8 2 64 -2 2) 1 3 2 = = 3 2 = 3 16 3 4 4 4 1.7.Raíces 1.7.1 Definición • Toda raíz corresponde a una potencia con exponente fraccionario. (Con b, distinto de cero) Ejemplos:

19. n n n a b = a∙b ∙ 3 3 3 3 9 3 = 9∙3 = ∙ 27 = 3 1.7.2 Propiedades • Multiplicación de raíces de igual índice: • Al multiplicar raíces de igual índice, se multiplican las partes subradicales conservando el índice que tienen en común. Ejemplo:

20. n n n a:b a : b = 512:2 4 4 : 4 4 512 2 = = = 256 4 • División de raíces de igual índice: • Al dividir raíces de igual índice, se dividen las partes subradicales conservando el índice que tienen en común. Ejemplo:

21. n n n a b = a ∙ b 4 4 4 4 4 3 ∙ 2 81∙2 162 3 2 = = = • Composición y Descomposición de raíces: Composición: • Se utiliza para ingresar un factor a una raíz. Ejemplo:

22. 81 2 162 = 81 2 = = 9 2 ∙ ∙ Descomposición: • Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raíz exacta. Ejemplo:

23. m n m∙n a = a 5 4 5∙4 20 2 = 2 = 2 • Raíz de Raíz: Ejemplo:

24. 4 = ? 3 3 3 4 4 4 3 ∙ = = ( )2 3 3 3 3 1.7.3 Racionalización Cuando tenemos fracciones con raíces en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes pero que no tengan raíces en el denominador. A este proceso se le llama racionalización.   Ejemplos: 1) Racionalizar

25. 4 = ? 5 2 3 5 4 3 3 ∙ = 4 5 3 5 3 27 4 = 5 2 5 3 3 3 5 5 3 3 4 ? = 3 + 2 - 3 2 4 4( 3 - 2 ) ∙ = 3 + 2 - 3 2 3 - 2 ) 4( 3 - 2 = 1 2) Racionalizar 3) Racionalizar