DOĞRUSAL DENKLEMLEr (doğrusal ilişki)

1. DOĞRUSAL DENKLEMLEr(doğrusal ilişki) Tuba TIRAŞOĞLU 20120907003

2. Doğrusal İlişki Nedir? Doğrusal Denklemler Bu konuda neler öğreneceğiz?

3. Doğrusal ilişki nedir? sorusunun cevabına örneklerle ulaşalım. Yandaki tabloyu ve grafiği inceleyelim. Tabloda günde 50 soru çözen bir kişinin 7 gün boyunca toplam çözdüğü soru sayıları görünüyor. Doğrusal ilişki

4. Tabloda da görüldüğü gibi gün sayısı arttıkça toplamda çözülen soru sayısı da artmaktadır. Tablodaki verilerin grafiğini çizersek grafiğin bir doğru şeklinde olduğunu görürüz.

5. Çözülen soru sayısı ile geçen gün sayısı arasındaki ilişkiyi cebirsel ifade ile gösterirsek: SORU SAYISI = GÜN x 50 Bu örnekte olduğu gibi iki değişken arasındaki ilişkinin grafiği doğru şeklinde ise bu iki değişken arasında doğrusal ilişki vardır deriz.

6. DOĞRUSAL DENKLEM NEDİR? Doğrusal ilişkiyi ifade eden denklem doğrusal denklemdir. Doğrusal ya da lineer denklem terimlerinin her biri ya birinci dereceden değişken ya da bir sabit olan denklemlerdir.

7. Böyle denklemlere "doğrusal" denmesinin nedeni içerdikleri terim ve değişkenlerin sayısına bağlı olarak (n) düzlemde ya da uzayda bir doğru belirtmesindendir. Doğrusal denklemlerin en yaygını bir  x ve y değişkeni içeren formdur.

8. Doğrusal denklem iki değişkenden oluşan ax+by+c=0 şeklinde gösterilir.Bu ifadedeki c sabit sayıdır. a ve b katsayıları aynı anda sıfır olamaz.Grafiklerinde düz çizgiler vardır.Yamuk, dalgalı veya girintili çıkıntılı olmaz. 

9. Doğrusal denklemde a ve b katsayılarının ikisi birden 0olamaz. Yani denklemde en az bir tane bilinmeyen bulunmalıdır. Az önce verdiğimiz örneği incelersek: SORU SAYISI = GÜN x 50 s = 50 . g olarak yazabiliriz. Bu denklemde iki tane bilinmeyen vardır. Bu denklem sabit terimi olmayan bir doğrusal denklemdir.

10. Bir taksinin taksimetresi açılışta 3 TL ve gidilen her kilometrede 0,5 TL yazmaktadır. Builişkiyi tablo ve grafikle gösterirsek. ŞİMDİ BAŞKA BİR ÖRNEK İNCELEYELİM :

11. Tablo ve grafik incelenirse veriler arasında doğrusal bir ilişki olduğu görülür. Bu ilişkiyi yazacak olursak: ÜCRET = 3 TL + YOL x 0,5 TL ü = 3 + y . 0 Bu denklemimiz doğrusal denklemdir.

12. Doğrusal ilişkiyi gösteren denklemlerin grafiği birer doğru grafiğidir.Koordinat sisteminde, doğruyu oluşturan sıralı ikililere karşılık gelen noktalar aynı doğru üzerinde olduklarından doğrudaştır. (x,y), (1,3),(-2,1) bunlar sıralı ikilidir.

13. Doğrusaldenklemler: ax+by+c=0 ax+by=0 ax+c=0 by+c=0

14. ► 2x+3y+1=0 ► x+3y=0 ► 4x+2=0 ► 3y+3=0 birer  doğrusal denklemdir.

15. Doğrusal ilişkiyi gösteren denklemlerin grafiği birer doğru belirtir. Koordinat sisteminde, doğruyu oluşturan sıralı ikililere karşılık gelen noktalar aynıdoğru üzerinde olduklarından doğrusaldır.  DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİ

16. Grafiği çizebilmemiz için bu doğrunun geçtiği iki tane noktayı bulmamız yeterlidir. Ayrıca koordinat düzlemini de bilmek gerekir.

17. Şimdi bu iki noktayı nasıl bulacağımızı görelim: ► Doğru denkleminde x yerine bir değer vererek o noktanın y değerini veya y yerine değer vererek x değerini bulabiliriz. ► Böylece bir tane (x,y) sıralı ikilisi yani bir nokta buluruz.

18. ► Aynı şekilde başka değerler vererek istediğimiz kadar nokta bulabiliriz. Ama bize 2 tane nokta yeterli. ► Bulduğumuz noktaları koordinat sisteminde işaretleyerek bu noktalardan geçecek şekilde bir doğru çizeriz. 

19. Örnek: y=x+1 doğrusal denkleminin grafiğini çizelim. Denklemde x yerine değerler vererek y değerleri bulalım. x yerine 0 yazarsak y=x+1 olduğundan y=1 bulunur. İlk noktamız (0,1) oldu. x yerine 2 yazarsak y=x+1 olduğundan y=3 bulunur. İkinci noktamız da (2,3) oldu. Bu iki noktayı kartezyen koordinat sisteminde bularak bu noktalardan geçen doğruyu çiziyoruz.

21. Grafikleri yukarıdaki gibi çizebildiğimiz gibi daha çok şu yöntemi kullanırız:   ► x’e sıfır (0) değeri verilerek y değeri  bulunur. (Bulduğumuz nokta doğrunun y eksenini kestiği noktadır.) ► y’ye sıfır (0) değeri verilerek x değeri bulunur. (Bulduğumuz nokta doğrunun x eksenini kestiği noktadır) ► Bulduğumuz iki noktayı koordinat sisteminde işaretleyerek bu noktalardan geçecek şekilde bir doğru çizeriz.   

22. Örnek: 2x + y = 4 doğrusunun grafiğini çizelim. • x yerine 0 yazarsak 2.0 + y = 4'den y=4 bulunur. İlk noktamız (0,4) oldu. • Bu nokta aynı zamanda doğrunun y eksenini kestiği noktadır. • y yerine 0 yazarsak 2x + 0 = 4'den x=2 bulunur. İkinci noktamız (2,0) oldu. • Bu nokta aynı zamanda doğrunun x eksenini kestiği noktadır. • Şimdi bu noktaları koordinat düzleminde bularak grafiğimizi çizelim.  

24. ORİJİNDEN GEÇEN DOĞRUNUN GRAFİĞİ Doğrusal denklemde x yerine sıfır (0) yazdığımızda y de sıfır (0) çıkıyorsa bu doğru orijinden geçer. İkinci bir nokta bulmak için x veya y yerine sıfırdan farklı bir değer veririz. (Orijinden geçen doğruların denkleminde sabit terim olmaz. Eğer sabit terim yoksa orijinden geçtiğini anlayabiliriz)

25. Örnek: y=-2x doğrusunu ele alalım. • x yerine 0 yazarsak y de 0 çıkar. (0,0) orijinden geçer. x yerine 2 yazarsak y=-4 çıkar. (2,-4) noktasından da geçer. • Bu iki noktayı koordinat sisteminde buluruz ve grafiği çizeriz.

27. Doğrusal denklemde eğer bir tane değişken varsa bu denklemin grafiği x veya y eksenine paraleldir. ► Eğer denklemimizde sadece x değişkeni varsa bu denklemin grafiği y eksenine paraleldir.  EKSENLERE PARALEL DOĞRULARIN GRAFİĞİ

28. ► Eğer denklemimizde sadece y değişkeni varsa bu denklemin grafiği x eksenine paraleldir.  Örneğin y=-3 denkleminin grafiğini çizecek olursak bu doğru y eksenindeki -3 noktasından dik geçer ve x eksenine paraleldir.

29. www.matematikciler.org www.vitaminegitim.com www.matematikcihoca.com KAYNAKÇA