Plan

1. Plan • Tableau synoptique • Regard sur le cycle 3 • Rappel articulation Ecole – Collège • Examen du programme • Les axes principaux 1- 2 • Finalité et objectifs • Thèmes étudies

2. Classe de 6e

3. synoptique

4. Articulation école – collègearticulation ecole-college[1].pdf

5. Examen du programme Les axes principaux 1- 2Finalités et objectifs

6. Les axes principaux 1- Réorganiser pour Souligner les cohérences et rééquilibrer Il ne s’agissait pas de tout reprendre a zéro. Nous avons donc construit notre travail sur deux axes: - donner une cohérence plus grande; - mettre en avant les thèmes qui paraissent essentiels ( ex: la proportionnalité)

7. Réorganiser pour souligner les cohérences et rééquilibrer • 1.1 – Passage a* quatre rubriques • Mieux affirmer ( et repérer ) la continuité avec l’école primaire. • Revaloriser la place de l’étude de la proportionnalité (rôle organisateur). • Plus généralement, affirmer la place primordiale de la notion de fonction et de la gestion de données ( d’autres disciplines les utilisent naturellement depuis la 6e ). • Mettre en évidence l’importance des grandeurs, en particulier pour donner du sens aux manipulations sur les nombres et justifier certaines procédures de résolution ou de calcul ( proportionnalité )

8. 2 – Réécrire pour préciser et clarifier. • en particulier pour éliminer les divergences d’interprétation et faciliter ainsi le travail de mise en œuvre dans les classes. • La réécriture a été le souci principal après la consultation. • NB: difficulté importante pour exploiter les remontées très souvent contradictoires de la consultation.

9. Finalités et Objectifs 1 Les mathématiques comme discipline de formation générale 2 L’outil mathématique… 3 Les mathématiques comme discipline d’expression

10. Les mathématiques comme discipline de formation générale • 1.Démarche d’investigation. • 2.La résolution de problèmes au • centre de l’activité mathématique: • plaisir d’apprendre … • Valeur formatrice • Acquisition de savoir et de savoir faire

11. 1.Identifier et Formuler un problème. Activité mathématiques et problèmes 2.Conjecturer un résultat 3. Bâtir une argumentation 4. Contrôler les résultats en évaluant leur pertinence 5.Communiquer une recherche 6.Mettre en forme une solution

12. Qu’est ce qu’une activité mathématique?

13. Il est communément admis qu’il n’y a pas de mathématiques (activité) sans résolution de problème

14. a) Qu’entent-on par ce mot problème ? • Quelle est la muance entre problématique et problème? • Quelle est la nuance entre énonce et problème ? • Tout énonce est-il un problème? • L’énonce est-il le problème? b) Comment résoudre un problème ? • Comment un énonce participe a cette résolution? • Est-ce l’énonce qui fait le problème? • Quel est le rôle de l’enseignant? Quel est le rôle de l’élevé? • Un même problème pour enseigner et apprendre?

15. Qu’est-ce qu’un problème? • Une réponse possible est: Un problème est un énonce qui propose une situation ou la réponse n’est pas immédiate, et pour laquelle la mise en place d’un cheminement mental est indispensable. retour

16. 1.Identifier et Formuler un problème. Activité mathématiques et problèmes 2.Conjecturer un résultat 3. Bâtir une argumentation 4. Contrôler les résultats en évaluant leur pertinence 5.Communiquer une recherche 6.Mettre en forme une solution

17. Prendre en compte • Les éléments du socle commun • Le livret de compétences • Les compétences exigibles qui doivent être clairement identifiées. • Les documents d’accompagnement qui précisent et explicitent les orientations du programme.

18. Outils TICE Ne pas oublier d’intégrer l’outil tice à toute occasion pertinente. On doit toujours se poser la question de savoir quels outils seraient adaptés à la situation étudiée.

19. Des exemples de thèmes • Multiplication de Décimaux • MULTIPLICATION DE DEUX NOMBRES DECIMAUX • Symétrie axiale • Symétrie axiale • Quotient • LE QUOTIENT

20. LE QUOTIENT

21. A l’école primaire • Début du travail relatif à la division euclidienne • Au cycle 3, début du travail relatif a* la division euclidienne ce qui signifie qu’une bonne partie des élèves présente une maîtrise incomplète: • Du point de vue du sens. • Du point de vue des procédés de calcul. • Les fractions: • référence au partage de l’unité ( 4/3 c’est 4 fois le tiers de 1 ). Introduction des dixièmes, … Nombres décimaux. - En sixième • Prolongement de l’étude de la division euclidienne • Poursuite du travail sur le sens et l’interprétation des résultats obtenus. • Procédures expertes a* travailler sans recherche de virtuosité. • Décimaux et division - Division décimale de deux nombres entiers ou d’un nombre décimal par un nombre entier.

22. Objectif:1) Passer de la notion de partage de l’unité au quotient, et montrer l’existence d’un nouveau nombre de la forme (avec a et b entiers et b0) Pistes d’activités dans la liaison École / Collège Découpage d’une bande d’un disque ou d’un segment Fraction de l’unité Fraction plus grande que l’unité. Fraction décimale Formalisation de l’écriture décimale.

23. fraction Quotient fraction Au cycle 3 Au collège Quotient euclidien Quotient décimal Pliage Décimaux Quotient fractionnaire

24. Les pré requis: Partage de l’unité. Les nombres décimaux Sens Multiplication d’un décimal par un entier La division décimale. Le périmètre et l’aire ( voir application ) Le repérage d’un nombre sur la droite. Encadrement décimal : à l’unité et au dixième. Report de longueur. Triangles particuliers

25. Activité unité • Construis un segment [IJ] dont la longueur est de la longueur de l’unité • 2) Construis le segment [EF] de mesure 4 unités. • 3) Construis un segment [AB] trois fois plus long que [IJ] • 4) Comparer les longueurs, qu’observe-t-on? • 5) Conclusion

26. Commentaires: • C’est le professeur qui formalise • Dans cette activité n’a pas le statut de nombre • Proposition: Faire la même activité avec les aires pour ne pas se limiter aux grandeurs et formaliser. Exemple du rectangle: • L’aire est donnée, on fait varier une dimension et on cherche l’autre.  Dans d’autres cas, on peut exprimer le quotient par un nombre • Dans d’autres cas, on ne trouve pas un nombre décimal. Cette activité permet de donner du sens au nombre L’objectif est d’amener l’élève à voir l’intérêt d’utiliser et plus généralement le nombre Retour Quotients -grandeurs-proportionnalite.pdf

27. Symétrie axiale • Commentaire: passage de la géométrie perceptive et instrumentée à la géométrie déductive. • Exemples de présentation de la notion. • EX 15 et 23 évaluation 2004

28. Il s’agit ici de tester la perception d’un axe de symétrie dans des situations de difficultés variées. C’est l’image mentale de la symétrie axiale qui est mis en jeu.

29. La pratique courante du tracé du symétrique d’une figure sur quadrillage par rapport à un axe vertical ou horizontal génère des procédure spécifiques au support et à l’orientation des axes. Dans cet exercice, le fait que l’axe n’est ni vertical ni horizontal est à l’origine de certaines difficultés.

30. Une démarche possible • (2) Travail sur la médiatrice: • a : droite perpendiculairepassant par le milieu • b : points équidistants de 2 points distincts • c : formalisation du lien précèdent ( propriété et réciproque) • d : axe de symétrie d’un segment • e: définition de 2 points symétriques • (1) Ordre de présentation: • a : Médiatrice • b : Figures symétriques • c : axe de symétrie d’une figure En 6ème la médiatrice passera du statut d’objet à celui d’outil, afin d’être utiliser dans l’apprentissage de la géométrie déductive. L’acquisition de cette compétence se poursuit en 5ème retour

31. MULTIPLICATION DE DEUX NOMBRES DECIMAUX

32. 1) Recommandationsces productions sont données à titre consultatif, et ne sont en aucun cas des modèles à appliquer sans réserves dans les pratiques pédagogiques.Les différents commentaires qui accompagnent les activités sont à prendre en compte pour une meilleure compréhension…

33. ) Déroulement de la séance • (voir démarche d’investigation) Recherche Individuelle par les élèves. Mise en place des procédures personnelles Bilan : Mise en commun des résultats Débat Valorisation des procédures personnelles Mise en place de la procédure experte

34. 3) Pré requis : • Addition • Soustraction • Division par 10 ; 100; etc. • Multiplication • de deux nombres entiers ; • d’un nombre entier par un nombre décimal.

35. 4) Activité. • Un mètre de tissu coûte 4,60 €. • a) déterminer le prix de 7 m de tissu. • b) déterminer le prix de 7,50 m de tissu. • c) déterminer le prix de 6,8 m de tissu • d) déterminer le prix de 0,9 m de tissu

36. Commentaires 1) Suivant le niveau de la classe, les questions a) et b) peuvent être supprimées dans l’activité si la réactivation est faite en exercice maison. 2) Dans la question d) le choix de la variable didactique 0,9 m permet à l’élève de contrôler son résultat, avec l’inconvénient possible qu’il utilise une méthode personnelle et non la méthode experte.

37. 5) Le Bilan • Les questions a) et b) entrent dans les compétences des élèves. • Ils « ne connaissent pas en principe » la multiplication d’un décimal par un décimal. • Une procédure personnelle peut être : € et pour le demi mètre restant, il fera la moitié du prix d’un mètre de tissu donc 2,30 €. • Au total € 2,30

38. Commentaire  : Il convient ici de valoriser la (les) procédure (s) personnelle (s) à travers le débat mathématique, et ensuite de passer à la procédure experte en faisant émerger « l’idée » de la proportionnalité. L’élève utilise naturellement et intuitivement cette notion

39. Commentaires  • Le souci n’est pas de donner la définition de la multiplication, mais de lui donner du sens. • Il faut instaurer le débat après la procédure personnelle élaborée aux a) et b) de l’activité. • Au cycle 3, l’élève sait donner du sens à la multiplication de 7 x 4,60. • On doit maintenant accompagner l’élève pour qu’il donne du sens à 7,50 x 4,60 puis 6,80 x 4,60 7,50m coûtent 7,50 x 4,60; 6,80m coûtent 6,80 x 4,60 • On privilégie ici le sens, et on reviendra après sur la technique. On multipliera les problèmes dont le traitement mettra en évidence le sens. • Il sera aussi mis en évidence selon les cas, qu’une multiplication «n’agrandit» pas toujours.

40. 6)Technique ( Autre séance) • Au programme officiel: l’élève doit savoir effectuer une multiplication. • Le traitement de diverses situations multiplicatives donne du sens à la technique. Pour trouver le produit 4,6 x 6,8 On calcule un ordre grandeur : 5 x 7= 35. On passe de 68 à 6,8 en faisant 68 : 10 . de 46 à 4,6 en faisant 46 :10 On a divisé une fois par 10 ; puis une autre fois par 10; donc finalement on a divisé par 100. 46 x 68 = 3128 3128 :100 = 31,28 donc 4,6 x 6,8 = 31,28

41. a b • Autre procédure: Aire du rectangle avec a et b des décimaux. Ici on met en place la technique, le sens est implicite car l’élève sait que l’aire du rectangle est égale au produit de la longueur par la largeur. Cette procédure peut aussi faire appel à la calculatrice.

42. 7) Résumé Pour multiplier deux nombres décimaux : - on pose la multiplication et on l’effectue sans tenir compte des virgules. - on place correctement la virgule selon la méthode suivante :

43. 1 chiffre après la virgule • Exemples: 68 6,8 X 46_x 4,6 408 408 272_ 272 3128 31,28 Remarque: « On n’est pas obligé d’aligner la virgule » • 8) Application. Calculer : 85,2 x 23,52  50,31 x 8,4 1 chiffre après la virgule 2 Chiffres après la virgule

44. Commentaires: Le résumé ne traite pas tous les cas, l’exemple non plus. On peut mettre en regard le produit des nombres entiers et le produit des nombres décimaux. Le résumé de la méthode doit être court, précis et sans ambiguïté.retour