1 / 32

2. Koordináta-rendszerek és transzformációk

2. Koordináta-rendszerek és transzformációk. 2.1. Koordináta-rendszerek 2.2. Az egyenes és a sík egyenlete 2.3. Affin transzformációk 2.4. Projektív transzformációk. Mire használjuk?. Transzformációk a grafikában: - tárgyak elhelyezése, - részek összeállítása

nanda
Download Presentation

2. Koordináta-rendszerek és transzformációk

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. 2. Koordináta-rendszerek és transzformációk 2.1. Koordináta-rendszerek 2.2. Az egyenes és a sík egyenlete 2.3. Affin transzformációk 2.4. Projektív transzformációk

  2. Mire használjuk? • Transzformációk a grafikában: - tárgyak elhelyezése, - részek összeállítása - tárgyak valószerű átalakításai (GM), - a tárgyak képe: vetítés síkra - egyebek

  3. Milyen transzformációk kellenek? - E 3 –ban és H 3 -ban ( H 3= E 3 I 3 ) - minden pontnak van transzformáltja, - H 3 H 3 (kölcsönösen egyértelmű) - pontot  pont, - egyenes  egyenes - sík  sík - illeszkedést tartó módon. Ilyenek a kollineációk, (projektív transzformációk)

  4. Kollineációk (projektív transzformációk) • Kollineációk a projektív geometriában . . . • Itt: a transzformációk geometriai, szemléletes jelentése . . . • A transzformációk számítási eljárásai: Pontok transzformációja: X’ = M44 X Egyenes transzformációja: Ha e = ( P, Q ), akkor e’ = ( P’, Q’ ) ; P’ = M44 P , Q’ = M44 Q stb: alakzatok meghatározó pontjait . . .

  5. A kollineációk mátrix alakja H3 pontjai: X= [x1, x2, x3, h] T H3; h = 0|1;XlX ;l0; H3 kollineációi: { M44 ; det M440}; MmM ;m0 X’ = M44 X = = (m11 m12 m13 m14)  (x1) = (m11x1+m12x2+m13x3+m14h) = (x1’) |m21 m22 m23 m24||x2||m21x1+m22x2+m23x3+m24h||x2’| |m31 m32 m33 m34||x3||m31x1+m32x2+m33x3+m34h||x3’| (m41 m42 m43 m44) (h) (m41x1+m42x2+m43x3+m44h) (h’)

  6. X’ = M44 X = = (m11 m12 m13 m14)  (x1) = (m11x1+m12x2+m13x3+m14h) = (x1’) |m21 m22 m23 m24||x2||m21x1+m22x2+m23x3+m24h||x2’| |m31 m32 m33 m34||x3||m31x1+m32x2+m33x3+m34h||x3’| (m41 m42 m43 m44) (h) (m41x1+m42x2+m43x3+m44h) (h’) = (m11 m12 m13 m14)  (x1) = m11x1+m12x2+m13x3+m14h = x1’ |x2| |x3| (h)

  7. E3 és H3 kollineációi: csoport • E 3 kollineációi: affin transzformációk, alcsoport,E 3 E 3 és I 3 I 3 • H3 kollineációi: a projektív transzformációkcsoportja H3H3, egy – egyértelmű leképezés, pont-, egyenes-, sík- és illeszkedést tartó H 3= E 3 I 3 esetleg egy közönséges sík  I 3és akkor I 3 egy közönséges síkra

  8. A következő órákon: Affin transzformációk Párhuzamos vetítés Axonometria Projektív transzformáció Középpontos vetítés Perspektíva

  9. 2.3.1. Affin transzformációk(a grafikában – szemléletes bevezetés)

  10. Affin transzformációk • Szemléletes geometria, ill. analitikus geometria • EnEnpont-, egyenes-, sík- és illeszkedést tartótranszformációk • P’ = A33· P + dP’ = A34· P ; x’ = a11 · x + a12 · y + a13 · z + a14 y’ = a21 · x + a22 · y + a23 · z + a24 z’ = a31 · x + a32 · y + a33 · z + a34d

  11. Affin transzformációk • Például: eltolás, forgatás, tükrözés, stb • Reguláris affinitások: det A0; EnEn ; n = 2, 3, … (Ha det A= 0 : vetítés egy síkra, vagy más altérre) • Szóhasználat: affin transzformáció, affinitás (?), transzformáció, leképezés • Pont-transzformáció: alakzatok pontjaitKoordináta-rendszer transzformáció: áttérés új KR-reA tér leképezése egy másik térre pl. VKR  KKR

  12. Affin transzformáció mátrix-szorzással • Homogén mátrix alakja:A44 utolsó sora: (0, 0, 0, c) ; c 0; általában = 1 • Egy pont homogén alakja: X = [x, y, z, h] T ; h = 0 | 1 • X’ = A44X = (a11 a12 a13 a14 )(x) = (x’) ; h = 0 | 1|a21 a22 a23 a24| |y| |y’| |a31 a32 a33 a34| |z| |z’| ( 0 0 0 1 ) (h) (h’); h’ = h !!! • közönséges pont  közönséges pont, ideális pont  ideális pont: az ideális sík  önmaga.

  13. Affin transzformációk • A mátrix megadása: • geometria jelentése alapján:szemléletes elemi affinitások szorzataként • vagy 4 meghatározó pont-párból: a „határozatlan együtthatók módszere”

  14. „Elemi” affin transzformációk • „elemi”: szemléletes és egyszerű a mátrixa • Eltolás (T) , forgatás (R), léptékezés (S) , nyírás (N) • Tükrözés, báziscsere, • Tétel: Ha A affin traanszformáció, akkor van olyan T, R1, R2, R3, S, N, a • amelyekkel: A = NSOT; O = R1R2R3 • azaz: P’ = A  P = (NSOT)  P • Minden A ilyenekből áll !

  15. A mátrix vizsgálata • A mátrix jellemző elemei:A44 = (sx a12 a13dx ); det A 0 ; > 1 | < 1|a21sy a23dy||a31 a32sz dz| ( 0 0 0 1 )

  16. Adott: d = (dx, dy, dz) eltolás-vektor Minden pontra:X’ = X + d = (x + dx, y + dy, z + dz) d X’ = T X=(X + d) (x’)=( 1 0 0 dx )·(x) = ( x + dx )|y’|| 0 1 0 dy| |y| | y + dy ||z’|| 0 0 1 dz| |z| | z + dz |(1 )( 0 0 0 1) (1) ( 1 ) T2 (T1 P) = (T2 T1) P = T3 P Egyszerű affinitások: 1. Eltolás

  17. x’ =x  cos a - y  sin ay’ =x  sin a + y  cos az’ =z; A síkban: a kezdőpont (origó) körül: a 3. sor és 3. oszlop nélkül a Z tengely körüli forgatások kommutatív csoportja: Ortonormált transzformáció, determinánsa 1. Rz= (co–si 0 0 ) |sico 0 0 | | 0 0 1 0 | ( 0 0 0 1 ) co = cosasi = sin a Egysz. aff. 2. Forgatás a Z tengely körül

  18. x’ =x y’ = y  cos a - z  sin az’ =y  sin a + z  cos a illetve:x’ =x  cos a – z  sin ay’ =yz’ = x  sin a + z  cos a egyazon tengely körüli forgatások kommutatív csoportot alkotnak Rx= (1 0 0 0) |0 co –si 0| |0 si co 0| (0 0 0 1)Ry= (co 0 –si 0) |0 1 0 0| |si 0 co 0| ( 0 0 0 1)co = cos a si = sin a Forgatás az X és az Y tengely körül

  19. Forgatás és eltolás egymásutánja • (RT) ≠(TR) ! • Egy pont: P(1,1) egy forgatás: R(-900) (CLW)egy eltolás: T(1,1)T P = (2,2); R  (T P ) = (2,-2)R  P = (1,-1); T (R P ) = (2,0)

  20. Z Y X Forgatások a térben • az origón átmenő (ferde) tengely körül:X’ = R* X = [ (R z-1  R x-1) R y(a) (R x  R z) ] X • A ferde tengely (a terem sarkán át) 1. a Z körül a ZY síkba : R z 2. itt az X körül az Y-tengelybe : R x3. Az Y körül a kívánt forgatást: R y (a) 4-5. Végül az 1.-2. fordítottját (fordított sorrendben).

  21. Forgatások a térben - 2 • Forgatás tetszőleges tengely körül. • A tengely (egy pontját) eltoljuk O-ba: T • és ekörül forgunk (mint előbb): R*(a) • Végül az eltolás fordítottja: X’ = (T-1 R*(a) T) X • Transzformációk megadása: szemléletes elemi geometria transzformációk sorozatával !!

  22. Egyszerű. aff.: Áttérés új KR-re; báziscsere • KR-transzformáció • egy új KR tengelyirányai: u, v, w egységvektorok. • X’ = B X B =(uxuyuz 0) x’ = uxx + uyy + uzz |vxvyvz 0| y’ = vxx + vyy + vzz |wxwywz 0| z’ = wxx + wyy + wzz (0 001) • Az origó áthelyezésével a ( cx, cy, cz) pontba:X’ = ( T(-cx, -cy, -cz) B)X

  23. Egysz.aff.: 3. Léptékezés (skálázás) • Léptékezés (skálázás) az origóból kiindulva: X’ = S X S = ( sx 0 0 0 ) x’ = sx x | 0 sy 0 0 | y’ = sy y | 0 0 sz0 | z’ = sz z ( 0 0 0 1 ) • Determinánsa: D = sx sy sz ; (egyik sem nulla). • Egyenletes (izotrop) léptékezés: sx= sy= szEgyenlőtlen (anizotrop) különben

  24. Tükrözések: si < 0 • x’ = -1 · x, y’ = y, z’ = z : tükrözés az YZ síkra. • Tükrözések: S(1,1,1) • Ha 1 tényező negatív: tükrözés koordináta-síkra, (det = -1)ha 2 koordináta tengelyre, (det = +1)ha 3 a kezdőpontra. (det = -1) • Ha det = -1, a tér irányítása megfordul ! • Általános helyzetű tükrözés:X’ = (ÁTHELYEZÉS -1 TÜKRÖZÉS  ÁTHELYEZÉS )  X • Mozgatás: eltolások és forgatások; méret és alaktartó

  25. Tengelycsere • (A teljesség kedvéért :) • Permutációs mátrixok; például:Cyz = ( 1 0 0 0 )· [ x ] = [ x ]| 0 0 1 0 | | y | | z || 0 1 0 0 | | z | | y |( 0 0 0 1 ) [1 ] [ 1] az Y és Z tengelyt fölcseréli determinánsa = -1 !!!

  26. Egysz.aff.: 4. Nyírás • Merev test alakjának változása terhelés hatására. • Az „elcsúszó kártyacsomag” • Az XZ síkkal párhuzamosan, X irányban, az y összetevővel arányos nyírás: x’ = x + a  y ; X’ = Nxy X; Nxy= (1 a 0 0 ) y’ = y| 01 0 0 | z’ = z| 00 1 0 | (00 0 1 ) • Nyírás a tengelyek más szereposztásával: más háromszög mátrix

  27. Az affin transzformációk néhány tulajdonsága • A baricentrikus koordináták affin-invariánsak:ha valamilyen t-vel: R = (1 - t) P + t Q,akkor ugyanezzel : R’= (1 - t) P’ + t Q’(P’, Q’, R’) = A (P, Q, R) • Az egyenes pontjainak osztóviszonya affin-invariáns: (P’Q’R’) = (PQR); (PQR) = PR / RQ; R Q • Párhuzamos szakaszok hossza egyforma arányban változik: P’Q’ / PQ = R’S’ / RS, ha PQ || RS (Különböző irányokban az arány különböző lehet)

  28. Az affin transzformációk osztályozása • csoportot alkotnak • Alcsoport: hasonlósági transzformációk :T  R S(s,s,s) • Alcsoport: mozgás transzformációk :T  R= egybevágósági transzformációk „Másodfajú” egybevágóság: a tükrözés is. • Ha det A= 0: a tér vetítése egy síkra, vagy egyenesre

  29. Elhelyező transzformáció: hasonlóságSKR  VKR;M = T SR

  30. Affin transzformáció megadása: 4-4 pont • E 3 egy affinitását meghatározza 4 „független” pont és képe.(E 2 -ben 3) • „független”: kifeszítik a teret egyik három sem esik egy egyenesbe.

  31. Pl.: Izometria - 4 független pont és képe: {OABC}  {O’ A’ B’ C’} 0 1 0 0 0 –f f 0 0 0 1 0 0 –g –g h 0 0 0 1 m 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1a = OA = 1, AB = 2 f = AB/2 = 2/2,g = AB(3/2)/3,h = 2g;m = akármi, de  0

  32. A határozatlan együtthatók módszerével- olv: A44 ( OABC ) := ( O’A’B’C’) !( a11 a12 a13 a14 )( 0 1 0 0 ) = | a21 a22 a23 a24| | 0 0 1 0 | | a31 a32 a33 a34| | 0 0 0 1 | ( 0 0 0 1 )( 1 1 1 1 ) = ( a14 a11+a14 a12+a14 a13+a14 ) := ( 0 –f f 0 ) | a24 a21+a24 a22+a24 a23+a24 | | 0 –g –g h | | a34 a31+a34 a32+a34 a33+a34 | | m 0 0 0 | ( 1 1 1 1 ) ( 1 1 1 1 ) 3 x 4 = 12 egyenlet, 12 ismeretlen: aik Van megoldás, ha det A44 0 (ha független pontok)

More Related