2. Koordináta-rendszerek és transzformációk

1. 2. Koordináta-rendszerek és transzformációk 2.1. Koordináta-rendszerek 2.2. Az egyenes és a sík egyenlete 2.3. Affin transzformációk 2.4. Projektív transzformációk

2. Mire használjuk? • Transzformációk a grafikában: - tárgyak elhelyezése, - részek összeállítása - tárgyak valószerű átalakításai (GM), - a tárgyak képe: vetítés síkra - egyebek

3. Milyen transzformációk kellenek? - E 3 –ban és H 3 -ban ( H 3= E 3 I 3 ) - minden pontnak van transzformáltja, - H 3 H 3 (kölcsönösen egyértelmű) - pontot  pont, - egyenes  egyenes - sík  sík - illeszkedést tartó módon. Ilyenek a kollineációk, (projektív transzformációk)

4. Kollineációk (projektív transzformációk) • Kollineációk a projektív geometriában . . . • Itt: a transzformációk geometriai, szemléletes jelentése . . . • A transzformációk számítási eljárásai: Pontok transzformációja: X’ = M44 X Egyenes transzformációja: Ha e = ( P, Q ), akkor e’ = ( P’, Q’ ) ; P’ = M44 P , Q’ = M44 Q stb: alakzatok meghatározó pontjait . . .

5. A kollineációk mátrix alakja H3 pontjai: X= [x1, x2, x3, h] T H3; h = 0|1;XlX ;l0; H3 kollineációi: { M44 ; det M440}; MmM ;m0 X’ = M44 X = = (m11 m12 m13 m14)  (x1) = (m11x1+m12x2+m13x3+m14h) = (x1’) |m21 m22 m23 m24||x2||m21x1+m22x2+m23x3+m24h||x2’| |m31 m32 m33 m34||x3||m31x1+m32x2+m33x3+m34h||x3’| (m41 m42 m43 m44) (h) (m41x1+m42x2+m43x3+m44h) (h’)

6. X’ = M44 X = = (m11 m12 m13 m14)  (x1) = (m11x1+m12x2+m13x3+m14h) = (x1’) |m21 m22 m23 m24||x2||m21x1+m22x2+m23x3+m24h||x2’| |m31 m32 m33 m34||x3||m31x1+m32x2+m33x3+m34h||x3’| (m41 m42 m43 m44) (h) (m41x1+m42x2+m43x3+m44h) (h’) = (m11 m12 m13 m14)  (x1) = m11x1+m12x2+m13x3+m14h = x1’ |x2| |x3| (h)

7. E3 és H3 kollineációi: csoport • E 3 kollineációi: affin transzformációk, alcsoport,E 3 E 3 és I 3 I 3 • H3 kollineációi: a projektív transzformációkcsoportja H3H3, egy – egyértelmű leképezés, pont-, egyenes-, sík- és illeszkedést tartó H 3= E 3 I 3 esetleg egy közönséges sík  I 3és akkor I 3 egy közönséges síkra

8. A következő órákon: Affin transzformációk Párhuzamos vetítés Axonometria Projektív transzformáció Középpontos vetítés Perspektíva

9. 2.3.1. Affin transzformációk(a grafikában – szemléletes bevezetés)

10. Affin transzformációk • Szemléletes geometria, ill. analitikus geometria • EnEnpont-, egyenes-, sík- és illeszkedést tartótranszformációk • P’ = A33· P + dP’ = A34· P ; x’ = a11 · x + a12 · y + a13 · z + a14 y’ = a21 · x + a22 · y + a23 · z + a24 z’ = a31 · x + a32 · y + a33 · z + a34d

11. Affin transzformációk • Például: eltolás, forgatás, tükrözés, stb • Reguláris affinitások: det A0; EnEn ; n = 2, 3, … (Ha det A= 0 : vetítés egy síkra, vagy más altérre) • Szóhasználat: affin transzformáció, affinitás (?), transzformáció, leképezés • Pont-transzformáció: alakzatok pontjaitKoordináta-rendszer transzformáció: áttérés új KR-reA tér leképezése egy másik térre pl. VKR  KKR

12. Affin transzformáció mátrix-szorzással • Homogén mátrix alakja:A44 utolsó sora: (0, 0, 0, c) ; c 0; általában = 1 • Egy pont homogén alakja: X = [x, y, z, h] T ; h = 0 | 1 • X’ = A44X = (a11 a12 a13 a14 )(x) = (x’) ; h = 0 | 1|a21 a22 a23 a24| |y| |y’| |a31 a32 a33 a34| |z| |z’| ( 0 0 0 1 ) (h) (h’); h’ = h !!! • közönséges pont  közönséges pont, ideális pont  ideális pont: az ideális sík  önmaga.

13. Affin transzformációk • A mátrix megadása: • geometria jelentése alapján:szemléletes elemi affinitások szorzataként • vagy 4 meghatározó pont-párból: a „határozatlan együtthatók módszere”

14. „Elemi” affin transzformációk • „elemi”: szemléletes és egyszerű a mátrixa • Eltolás (T) , forgatás (R), léptékezés (S) , nyírás (N) • Tükrözés, báziscsere, • Tétel: Ha A affin traanszformáció, akkor van olyan T, R1, R2, R3, S, N, a • amelyekkel: A = NSOT; O = R1R2R3 • azaz: P’ = A  P = (NSOT)  P • Minden A ilyenekből áll !

15. A mátrix vizsgálata • A mátrix jellemző elemei:A44 = (sx a12 a13dx ); det A 0 ; > 1 | < 1|a21sy a23dy||a31 a32sz dz| ( 0 0 0 1 )

16. Adott: d = (dx, dy, dz) eltolás-vektor Minden pontra:X’ = X + d = (x + dx, y + dy, z + dz) d X’ = T X=(X + d) (x’)=( 1 0 0 dx )·(x) = ( x + dx )|y’|| 0 1 0 dy| |y| | y + dy ||z’|| 0 0 1 dz| |z| | z + dz |(1 )( 0 0 0 1) (1) ( 1 ) T2 (T1 P) = (T2 T1) P = T3 P Egyszerű affinitások: 1. Eltolás

17. x’ =x  cos a - y  sin ay’ =x  sin a + y  cos az’ =z; A síkban: a kezdőpont (origó) körül: a 3. sor és 3. oszlop nélkül a Z tengely körüli forgatások kommutatív csoportja: Ortonormált transzformáció, determinánsa 1. Rz= (co–si 0 0 ) |sico 0 0 | | 0 0 1 0 | ( 0 0 0 1 ) co = cosasi = sin a Egysz. aff. 2. Forgatás a Z tengely körül

18. x’ =x y’ = y  cos a - z  sin az’ =y  sin a + z  cos a illetve:x’ =x  cos a – z  sin ay’ =yz’ = x  sin a + z  cos a egyazon tengely körüli forgatások kommutatív csoportot alkotnak Rx= (1 0 0 0) |0 co –si 0| |0 si co 0| (0 0 0 1)Ry= (co 0 –si 0) |0 1 0 0| |si 0 co 0| ( 0 0 0 1)co = cos a si = sin a Forgatás az X és az Y tengely körül

19. Forgatás és eltolás egymásutánja • (RT) ≠(TR) ! • Egy pont: P(1,1) egy forgatás: R(-900) (CLW)egy eltolás: T(1,1)T P = (2,2); R  (T P ) = (2,-2)R  P = (1,-1); T (R P ) = (2,0)

20. Z Y X Forgatások a térben • az origón átmenő (ferde) tengely körül:X’ = R* X = [ (R z-1  R x-1) R y(a) (R x  R z) ] X • A ferde tengely (a terem sarkán át) 1. a Z körül a ZY síkba : R z 2. itt az X körül az Y-tengelybe : R x3. Az Y körül a kívánt forgatást: R y (a) 4-5. Végül az 1.-2. fordítottját (fordított sorrendben).

21. Forgatások a térben - 2 • Forgatás tetszőleges tengely körül. • A tengely (egy pontját) eltoljuk O-ba: T • és ekörül forgunk (mint előbb): R*(a) • Végül az eltolás fordítottja: X’ = (T-1 R*(a) T) X • Transzformációk megadása: szemléletes elemi geometria transzformációk sorozatával !!

22. Egyszerű. aff.: Áttérés új KR-re; báziscsere • KR-transzformáció • egy új KR tengelyirányai: u, v, w egységvektorok. • X’ = B X B =(uxuyuz 0) x’ = uxx + uyy + uzz |vxvyvz 0| y’ = vxx + vyy + vzz |wxwywz 0| z’ = wxx + wyy + wzz (0 001) • Az origó áthelyezésével a ( cx, cy, cz) pontba:X’ = ( T(-cx, -cy, -cz) B)X

23. Egysz.aff.: 3. Léptékezés (skálázás) • Léptékezés (skálázás) az origóból kiindulva: X’ = S X S = ( sx 0 0 0 ) x’ = sx x | 0 sy 0 0 | y’ = sy y | 0 0 sz0 | z’ = sz z ( 0 0 0 1 ) • Determinánsa: D = sx sy sz ; (egyik sem nulla). • Egyenletes (izotrop) léptékezés: sx= sy= szEgyenlőtlen (anizotrop) különben

24. Tükrözések: si < 0 • x’ = -1 · x, y’ = y, z’ = z : tükrözés az YZ síkra. • Tükrözések: S(1,1,1) • Ha 1 tényező negatív: tükrözés koordináta-síkra, (det = -1)ha 2 koordináta tengelyre, (det = +1)ha 3 a kezdőpontra. (det = -1) • Ha det = -1, a tér irányítása megfordul ! • Általános helyzetű tükrözés:X’ = (ÁTHELYEZÉS -1 TÜKRÖZÉS  ÁTHELYEZÉS )  X • Mozgatás: eltolások és forgatások; méret és alaktartó

25. Tengelycsere • (A teljesség kedvéért :) • Permutációs mátrixok; például:Cyz = ( 1 0 0 0 )· [ x ] = [ x ]| 0 0 1 0 | | y | | z || 0 1 0 0 | | z | | y |( 0 0 0 1 ) [1 ] [ 1] az Y és Z tengelyt fölcseréli determinánsa = -1 !!!

26. Egysz.aff.: 4. Nyírás • Merev test alakjának változása terhelés hatására. • Az „elcsúszó kártyacsomag” • Az XZ síkkal párhuzamosan, X irányban, az y összetevővel arányos nyírás: x’ = x + a  y ; X’ = Nxy X; Nxy= (1 a 0 0 ) y’ = y| 01 0 0 | z’ = z| 00 1 0 | (00 0 1 ) • Nyírás a tengelyek más szereposztásával: más háromszög mátrix

27. Az affin transzformációk néhány tulajdonsága • A baricentrikus koordináták affin-invariánsak:ha valamilyen t-vel: R = (1 - t) P + t Q,akkor ugyanezzel : R’= (1 - t) P’ + t Q’(P’, Q’, R’) = A (P, Q, R) • Az egyenes pontjainak osztóviszonya affin-invariáns: (P’Q’R’) = (PQR); (PQR) = PR / RQ; R Q • Párhuzamos szakaszok hossza egyforma arányban változik: P’Q’ / PQ = R’S’ / RS, ha PQ || RS (Különböző irányokban az arány különböző lehet)

28. Az affin transzformációk osztályozása • csoportot alkotnak • Alcsoport: hasonlósági transzformációk :T  R S(s,s,s) • Alcsoport: mozgás transzformációk :T  R= egybevágósági transzformációk „Másodfajú” egybevágóság: a tükrözés is. • Ha det A= 0: a tér vetítése egy síkra, vagy egyenesre

29. Elhelyező transzformáció: hasonlóságSKR  VKR;M = T SR

30. Affin transzformáció megadása: 4-4 pont • E 3 egy affinitását meghatározza 4 „független” pont és képe.(E 2 -ben 3) • „független”: kifeszítik a teret egyik három sem esik egy egyenesbe.

31. Pl.: Izometria - 4 független pont és képe: {OABC}  {O’ A’ B’ C’} 0 1 0 0 0 –f f 0 0 0 1 0 0 –g –g h 0 0 0 1 m 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1a = OA = 1, AB = 2 f = AB/2 = 2/2,g = AB(3/2)/3,h = 2g;m = akármi, de  0

32. A határozatlan együtthatók módszerével- olv: A44 ( OABC ) := ( O’A’B’C’) !( a11 a12 a13 a14 )( 0 1 0 0 ) = | a21 a22 a23 a24| | 0 0 1 0 | | a31 a32 a33 a34| | 0 0 0 1 | ( 0 0 0 1 )( 1 1 1 1 ) = ( a14 a11+a14 a12+a14 a13+a14 ) := ( 0 –f f 0 ) | a24 a21+a24 a22+a24 a23+a24 | | 0 –g –g h | | a34 a31+a34 a32+a34 a33+a34 | | m 0 0 0 | ( 1 1 1 1 ) ( 1 1 1 1 ) 3 x 4 = 12 egyenlet, 12 ismeretlen: aik Van megoldás, ha det A44 0 (ha független pontok)