4.6 Sombras de sólidos geométricos

1. 4.6 Sombras de sólidos geométricos Geometria Descritiva 2006/2007

2. Sombras de sólidos geométricos • Os corpos opacos produzem sombras quando expostos a uma fonte luminosa • Fonte luminosa • A posição da fonte luminosa pode ser qualquer ponto do espaço • A fonte luminosa pode ser: • uma fonte de raios divergentes • Situada a uma distância finita • uma fonte de raios paralelos • Situada a uma distância infinita

3. Sombras de sólidos geométricos • Fonte luminosa convencional • Situada a uma distância infinita • Fonte de raios paralelos • Direcção convencional dos raios luminosos: • Paralela à diagonal de um cubo com duas faces de nível e duas faces de frente, orientada da esquerda para a direita, de cima para baixo e do primeiro para o terceiro quadrante • A sua projecção horizontal faz um ângulo de 45º com o eixo X com abertura para a esquerda • A sua projecção frontal faz um ângulo de 45º com o eixo X com abertura para a esquerda 45º X 45º

4. Sombras de sólidos geométricos • A sombra pode ser: • Sombra própria • Sombra dos sólidos sobre si próprios (zonas não iluminadas dos sólidos) • Sombra produzida • Zona espacial privada de luz pelo sólido • Sombra projectada • Sombra dos sólidos sobre outros corpos ou superfícies

5. Sombras de sólidos geométricos • A identificação das sombras provocadas por sólidos é feita a partir da identificação dos contornos aparentes, substituindo o observador por uma fonte luminosa • O contorno aparente corresponde à linha que separa a parte iluminada da parte não iluminada e designa-se por linha de separação da sombra e luz ou linha separatriz • A linha separatriz • Limita a sombra própria do sólido • Limita a sombra projectada pelo sólido sobre outro sólido ou superfície

6. Pv1 Ps2 Ps1 Pv2 Sombra de um ponto • Sombra real de um ponto corresponde ao traço do raio luminoso que passa pelo ponto no plano de projecção que encontrar primeiro • Sombra virtual de um ponto corresponde ao traço do raio luminoso que passa pelo ponto no plano de projecção que encontrar em último lugar • Corresponde à sombra do ponto se o primeiro plano de projecção fosse retirado P2 X P1

7. B2 A2 Bv1 Bs2 As2 Ps1 Bs1 As1 B1 A1 Sombra de um segmento • Determinar a sombra do segmento AB • A sombra real do ponto A está no plano horizontal de projecção • A sombra real do ponto B está no plano frontal de projecção • Como as sombras reais de A e B estão em planos de projecção diferentes é necessário mais um ponto que determine a direcção das sombras em ambos os planos de projecção • Determina-se a sombra virtual por exemplo do ponto B (ou do ponto A), que determina sobre o eixo X um ponto a que se chama ponto de quebra (P) • É neste ponto que a sombra flecte do plano horizontal de projecção para o plano frontal de projecção X Bv2

8. B2 A2 Bs2 D2 C2 As2 Ds2 Cs2 As1 Cv1 Bs1 Ds1 Cs1 Cv2 A1 B1 D1 C1 Sombra de um polígono • Determinar a sombra do polígono ABCD • As sombras reais dos pontos A, B e D estão no plano frontal de projecção • A sombra real do ponto C está no plano horizontal de projecção • Como as sombras reais de dos pontos que definem os segmentos BC e CD estão em planos de projecção diferentes é necessário determinar os pontos de quebra sobre o eixo X X

9. Sombra de um círculo • Determinar a sombra do círculo de nível • A sombra do círculo no plano horizontal de projecção é circular • A sombra do circulo no plano frontal de projecção é uma elipse e pode ser obtida identificando a sombra de vários pontos do círculo X

10. Sombra de um círculo • Determinar a sombra do círculo de nível • A sombra do circulo no plano horizontal de projecção é circular • A sombra do circulo no plano frontal de projecção é uma elipse e pode ser obtida identificando a sombra de vários pontos do círculo X

11. Sombra de um círculo • Determinar a sombra do círculo de nível • A sombra do circulo no plano horizontal de projecção é circular • A sombra do circulo no plano frontal de projecção é uma elipse e pode ser obtida identificando a sombra de vários pontos do círculo X

12. Sombra de um prisma • Determinar a sombra de um prisma hexagonal com bases de nível • As faces iluminadas são: • AA’B’B • BB’C’C • FF’A’A • A base superior (A’B’C’D’E’F’) • A sombra própria é constituída pela base inferior e pelas faces não iluminadas • A linha separatriz é ABCC’D’E’F’FA • A sombra projectada é limitada pela sombra da linha separatriz B’1 C’1 F’1 E’1 D’1 A’1 F’v1 F’s2 E’v1 E’s2 A1 D1 C1 E1 B1 F1 X D’s1 Fs1 F1F’1 E1E’1 C’s1 As1 A1A’1 D1D’1 Bs1 Cs1 B1B’1 C1C’1

13. Es2 Os2 As2 E’s1 O1 E1 A1 D1 O’s1 D’s1 A’s2 C’s1 B’s1 D’1 E’1 A’1 O’1 Sombra de um cilindro • Determinar a sombra de um cilindro com bases de frente • A sombra própria do cilindro é constituída pela base posterior e pela face lateral delimitada pelas geratrizes AA’ e EE’ e pelo arco de círculo A’B’C’D’E’ pertencente à base anterior • A sombra projectada do cilindro é limitada pela sombra da linha separatriz • As geratrizes do cilindro são de topo logo não é necessário determinar sombras virtuais de quaisquer pontos pois: • as sombras de segmentos de topo no plano horizontal de projecção fazem ângulos de 90º com o eixo X • As sombras de segmentos de topo no plano frontal de projecção fazem ângulos de 45º com o eixo X. E2E’2 O2O’2 D’2 A2 A’2 C’2 B’2 X C’1 B’1

14. Sombra de uma pirâmide • Determinar a sombra de uma pirâmide com base de nível • No caso de pirâmides nem sempre é fácil determinar quais são as faces iluminadas • As faces iluminadas são determinadas analisando qual a sombra produzida • Como a sombra do vértice está no plano frontal e a sombra de todos os vértices da base da pirâmide estão no plano horizontal é necessário determinar pontos de quebra sobre o eixo X X

15. Sombra de um cone • Determinar a sombra de um cone com base de nível • A linha separatriz determina-se analisando a sombra produzida • Como a sombra do vértice está no plano frontal e a sombra da maioria dos pontos da base do cone estão no plano horizontal é necessário determinar pontos de quebra sobre o eixo X V2 Vv1 Vs2 A2 B2 O2 X Bs1 B1 Os1 As1 V1 O1 A1

16. Bibliografia • [1] Vaz, Manuel (1983/1984) Geometria Descritiva. Textos de apoio da FCTUC • [2] Castro, Luís; Soares, Óscar,Geometria Descritiva B. Texto Editora. • [3] Ricca, Guilherme (1992) Geometria Descritiva. Fundação Calouste Gulbenkian. • [4] Ribeiro, Carlos (1991) Geometria projectiva. Conceitos, Metodologias, Aplicações. Europress. • [5] Standiford, Kevin; Standiford, Debbie (2000). Descriptive Geometry. Delmar Learning. • [6] Albuquerque, Luís (1969) Elementos de Geometria Projectiva e Geometria Descritiva. Livraria Almedina.