GEOMETER’S SKETCHPAD

1. GEOMETER’S SKETCHPAD • O que é o Geometer´s Sketchpad? • Isometria • Rotações no Plano • Reflexões no Plano • Exercício

2. O Que é o Geometer´s Sletchpad ? “Um dos ambientes computacionais que possibilita a exploração e desenvolvimento de noções de conceitos geométricos é o Geometer’s Sketchpad, que explora triângulos, quadriláteros, círculo, entre outras figuras geométricas. O estudante, utilizando esse programa, pode explorar Geometria Analítica da mesma maneira dinâmica que explora outras abordagens da Geometria. Pode ainda realizar cálculos baseados nos parâmetros de equações e colocar qualquer cálculo ou equação em um sistema de cooedenadas. Geometer’s Sketchpad foi desenvolvido sob a direção do Dr. Eugene Klotz, no Swarthmore College e Dr. Doris Schattschneider, no Moravian College, na Pensilvânia como parte do projeto Visual Geometry, financiado pela National Science Foundation (NSF). Em adição à produção desse software, O Visual Geometry Project também produziu o Stella Octangula eo Platonic Solids (materiais manipulativos). Esse software foi lançado no primeiro semestre de 1991.” (Miskulin)

3. Isometria O QUE É ISOMETRIA? As transformações que trataremos nesse trabalho são as isometrias, ou seja, aquelas que preservam distâncias. Mais precisamente, T é uma isometria quando: d [T(A), T(B)] = d(A,B) para quaisquer pontos A e B do plano . No que se segue veremos dois exemplos de isometrias. Agora vamos estabelecer algumas propriedades fundamentais a esse tipo de transformações: Toda isometria T:  é injetiva • A imagem de uma reta r por uma isometria T é uma reta r1 = T(r) • Toda isometria preserva paralelismo • Uma isometria preserva quaisquer ângulos TIPOS DE ISOMETRIA As isometrias no plano são a rotação, a translação, rotação e translação, a reflexão e a translação refletida. Mas especificamente nesse trabalho daremos ênfase à Rotação, pois o assunto é muito extenso.

4. Rotações no Plano A rotação no plano é realizada pela revolução no plano ao redor de um ponto dado (o centro de rotação) por um ângulo dado. Conseqüentemente isso pega duas partes dos dados para descrever a rotação no R2 completa, um ponto e um ângulo. No sentido horário as rotações varrem ângulos negativos, e no sentido anti-horário varrem ângulos positivos. Seja OXY um sistema de eixos ortogonais no plano. A rotação de centro O e ângulo  transforma o ponto P(x,y) no ponto P1 = (x1, y1) com: x1 = x.cos  - y.sen , y1 = x.sen  + y.cos .

5. Com efeito, essa rotação leva o vetor unitário e1 do eixo OX no vetor f1=cos.e1+sen.e2 e leva o vetor unitário e2 do eixo OY no vetor f2, que se obtém de f1 por uma rotação de 90º, logo f2=-sen.e1+cos.e2. Temos: OP = x.e1 + y.e2 e OP1 = x1.e1 + y1.e2 = x.f1 + y.f2 Pois no sistema de eixos ortogonais OX1Y1, cujos vetores unitários são f1 e f2, o ponto P1 tem as mesmas coordenadas (x,y) que P tem no sistema OXY. Então: x1 = OP1, e1 =  x.f1 + y.f2, e2 = x f1, e1 + y f2, e1 = x.cos  - y.sen  y1 = OP1, e2 =  x.f1 + y.f2, e2 = x f1, e2 + y f2, e2 = x.sen  - y.cos  Em particular, uma rotação de 180º em torno do ponto O leva o ponto P = (x,y) no ponto P1 = (-x, -y). Neste caso, seja qual for o ponto P do plano, a origem O é o ponto médio do segmento PP1. Às vezes se diz que P1= (-x, -y) é o simétrico do ponto P = (x,y) em relação ao ponto O. A rotação de 180º em torno de O coincide portanto com a simetria central de centro O. O produto de duas reflexões em retas, f e g, que se interceptam no ponto F, sob o ângulo orientado  (ou  respectivamente), é uma rotação (F, ) onde  = 2 = 2. Com o resultado anterior, acabamos de determinar todas as isometrias próprias. Resumindo temos: Toda isometria própria é uma translação ou uma rotação. Depois desse resultado importante, vamos dedicar o resto do parágrafo à exemplos de aplicação das rotações.

6. Reflexões no Plano O ponto P1 chama-se simétrico do ponto P em relação à reta r quando r é mediatriz do segmento PP1. Se P pertencer a r, diremos que seu simétrico em relação à r é ele próprio. Evidentemente, se P1 é o simétrico de P relativamente a r então, reciprocamente, P é o simétrico de P1 relativamente à mesma reta r. Na prática, obtém-se o simétrico de um ponto em relação a uma reta dobrando ao longo dessa reta a folha de papel onde está gravado o ponto. A reflexão em torno da reta r é a transformação T que faz corresponder a cada ponto P do plano o ponto P1 = T(P), simétrico de P em relação a r. O ponto P1 e o triângulo A1B1C1 são respectivamente as imagens do ponto P e do triângulo ABC pela reflexão em torno da reta r. Tomando um sistema de eixos ortogonais OXY no qual o eixo OX coincida com a reta r em torno da qual se dá a reflexão T, para cada ponto P = (x, y) tem-se T(P) = P1 = (x, -y). Daí resulta que toda reflexão é uma isometria pois se P = (x, y) mostra também que a reflexão T inverte a orientação do plano, pois deixa o eixo OX fixo e inverte a orientação de OY. Em termos dos vetores unitários dos eixos, T transforma e1 em si mesmo e e2 em –e2. Evidentemente, o sentido de rotação de e1 para –e2 é oposto ao sentido de e1 para e2.

7. Exercício Utilizando Software Geometer’s Sketchpad vamos fazer uma figura utilizando os tipos de isometrias explicadas anteriormente, ou seja, vamos utilizar as rotacões e reflexões no plano para obter a figura desejada. Passo 1) Desenhar um ângulo com 36º e preencher. Passo 2) Utilizando o recurso “Mirror” refletimos essa figura ao redor da reta r

8. Passo 3) Utilizando o recurso “Rotate”, fazemos uma rotação da figura obtida no passo 2, com um ângulo de 72º. Repetimos esse procedimento 4 vezes e obtemos a figura abaixo: