Økonometri 1

1. Økonometri 1 Binær responsmodeller: Logit og probit 8. maj 2003 Økonometri 1: Binær responsmodeller: Logit og probit

2. Plan: • Nyt emne: Ikke-lineære modeller for modeller med en binær afhængig variabel: Afsnit 17.1. • Del af større klasse af modeller for variabler, hvor udfaldsrummet er (substantielt) begrænset: “Limited dependent variables (LDV)”. • I dag: • Logit og probit modeller for binær respons (p. 554-557). • Maximum likelihood estimation af logit og probit modeller (p. 557-559). • Næste gang: • Fortolkning og sammenligning af binær respons modeller (p. 559-565). • Eksempel: Data fra spørgeskemaerne. Økonometri 1: Binær responsmodeller: Logit og probit

3. Modeller for binær respons variabler • Model for kvalitativ variabel med to udfald. • Kodes oftest som og • Modellerer respons-sandsynligheden: • Forklarende variabler indgår som et lineært index: . • kan indeholde transformationer (log, kvadratiske, interaktionsled,…) • Ikke-lineær model (i parameteren ) som følge af ikke-lineær funktionsform for (”link-funktionen”). Økonometri 1: Binær responsmodeller: Logit og probit

4. Eksempler: • Arbejdsmarkedspolitik: Inde eller ude af arbejdsstyrken: Forklaret ved samlevers indkomst, uddannelse, arbejdsmarkedserfaring, alder, (små) børn,…(Ex. 17.1, Ex. 8.8, afsnit 7.5). • ”Corporate governance”: Vælger anpartsselskaber at have en bestyrelse eller ej? Forklaret ved virksomhedens størrelse, antal ejere, ejernes andele,…(papirer af Bennedsen og Nielsen, www.cebr.dk) • Uddannelsespolitik: Sandsynligheden for at bestå 1. årsprøve på polit: Forklaret ved adgangskvotient, adgangsgivende eksamen, køn, ”eksamensalder”, … (artikel af Albæk og Ugeseddel 13). Økonometri 1: Binær responsmodeller: Logit og probit

5. Binær responsmodeller (1) • Model: • Link-funktioner: • Logit: • Probit: • ……………………… • Lineær sandsynlighedsmodel (afsnit 7.5): Økonometri 1: Binær responsmodeller: Logit og probit

6. Binær responsmodeller (2) • Model: • Egenskaber for link-funktioner: • Logit og probit: • ……………………….. • Lineær sandsynlighedsmodel : er ubegrænset. Økonometri 1: Binær responsmodeller: Logit og probit

7. Motivation for binær respons model: Latent variabel • Latent (dvs. underliggende og uobserveret) variabel givet ved: • Funktionen er indikatorfunktion, lig 1 hvis sand, lig 0 ellers. • følger standard logistisk fordeling (logit) hhv. standard normalfordeling (probit): Symmetrisk omkring nul, dvs. • Udlede respons-sandsynligheden: Økonometri 1: Binær responsmodeller: Logit og probit

8. Partielle effekter på respons-sandsynligheden: Kontinuert forklarende variabel • Alt-andet-lige effekt af en marginal ændring af på respons-sandsynligheden: • Skalering af koefficienten i det lineære index, skalafaktor • Samme fortegn som koefficienten • Effekten afhænger af værdierne af : Ikke-lineær model. Økonometri 1: Binær responsmodeller: Logit og probit

9. Partielle effekter på respons-sandsynligheden: Diskret forklarende variabel • Ikke-linearitet betyder at alt-andet-lige effekten af en ændring af en dummy variabel på respons-sandsynligheden må findes som: • Igen afhænger effekten af værdien af de andre • Fortegnet bestemt af . • Må finde en passende ”referenceperson” at evaluere effekten for: Fastlægge værdier af • Oftest vælges en ”gennemsnitlig” person (dog: dummyer). Mere om det næste gang. Økonometri 1: Binær responsmodeller: Logit og probit

10. Estimation: Maximum likelihood • Reminder: TSØ p. 241-248. • Specificere fuldstændigt modellen ved at vælge og en fordeling for . • Givet tilfældig stikprøve : Betinger på og kan bestemme den simultane punktsandsynlighed for , givet : • Estimere parametrene ved at maximere likelihoodfunktionen • Maximum likelihood estimatet er den værdi for hvilken er maximal. Økonometri 1: Binær responsmodeller: Logit og probit

11. Estimation: Ex. med topunktsfordeling (binær fordeling) (1) • Reminder: TSØ p. 243-244. • Ingen forklarende variabler: er uafhængige, identisk fordelte binære stokastiske variabler trukket fra fordeling med punktsandsynlighed . • Kan skrives mere kompakt som: • Den simultane punktsandsynlighed for er : • Log-likelihood funktionen: • Maximeres af: Økonometri 1: Binær responsmodeller: Logit og probit

12. Estimation: Ex. med topunktsfordeling (binær fordeling) (2) • Specificere at : Vi er tilbage i den binære ”respons” model. • blev valgt som monoton funktion. • MLE af er veldefineret. • Kan beregnes som: • Nu: Re-introducere forklarende variabler i modellen. Økonometri 1: Binær responsmodeller: Logit og probit

13. ML estimation af binær responsmodel • Punktsandsynlighed for givet : • Log-likelihood funktionen: • Ingen analytisk løsning af maximeringsproblemet: Likelihoodligninger svarende til de parametre løses af iterativ algoritme. • Under ret generelle antagelser er ML estimatoren konsistent, asymptotisk normalfordelt og asymptotisk efficient. Økonometri 1: Binær responsmodeller: Logit og probit

14. Hypotesetest i binær responsmodel • I forbindelse med binær respons bruges oftest Wald- eller likelihood ratio test. • Wald-test for exclusion af hver af de forklarende variabler rapporteres oftest som signifikanstest (fx af SAS). • Likelihood ratio testet er baseret på teststørrelsen: • hvor log-likelihood værdierne stammer fra hhv. den urestrikterede (ur) og den restrikterede (r) model. • LR test for restriktioner på modellen er asymptotisk fordelt som , hvor q er antallet af restriktioner, der bliver lagt på modellen. Økonometri 1: Binær responsmodeller: Logit og probit

15. Næste gang: • Ikke-lineære modeller fortsat: Kap. 17.1. • Logit og probit modeller for ”binær respons” • Fortolkning og sammenligning af binær respons modeller (p. 559-565). • Eksempel: Data fra spørgeskemaerne. Økonometri 1: Binær responsmodeller: Logit og probit