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Algorithmen für das Erfüllbarkeitsproblem SAT

Algorithmen für das Erfüllbarkeitsproblem SAT. aus einem Vortrag von Melanie Schmidt Uni Dortmund. Das Erfüllbarkeitsproblem K-KNF-SAT. Variablen x 1 ,x 2, x 3, x 4, x 5, x 6. n = Anzahl der Variablen = 6.  x 5. (. x 3. ¬ x 2. ). ( ¬ x 1 ). ( x 1  ¬ x 2  x 3  ¬ x 4  x 6 ).

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Algorithmen für das Erfüllbarkeitsproblem SAT

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Presentation Transcript

  1. Algorithmen für das Erfüllbarkeitsproblem SAT aus einem Vortrag von Melanie Schmidt Uni Dortmund

  2. Das Erfüllbarkeitsproblem K-KNF-SAT Variablen x1,x2,x3,x4,x5,x6 n = Anzahl der Variablen = 6 x5 ( x3 ¬x2 ) ( ¬x1 ) ( x1¬x2 x3¬x4 x6 )  Klausel  Problem für 5-SAT

  3. Das Erfüllbarkeitsproblem K-KNF-SAT Also: • Gegeben ist eine Menge von Klauseln mit jeweils bis zu k Literalen • Eine Klausel hat die Form (u1 u2 …  ul), l  k, wobei ui {x1,…,xn}  {¬x1,…,¬xn} • Gesucht: Eine Belegung der Variablen x1,… ,xn mit Wahrheitswerten  {0, 1}, so dass die Auswertung der Formel 1 ergibt.

  4. 2-SAT Algorithmus in polynomieller Zeit

  5. 2-SAT Algorithmus • (¬x3¬x3) (x2  x3)  (¬x1 ¬x2)  (x3  x1 ) • (a) = (a  a) • (a  b) = (¬a  b)(a  b) = (¬b  a) • (¬x3)  (x2  x3)  (¬x1 ¬x2)  (x3  x1) • (a  b) = (¬a  b) X1 X2 X2 X3 X3 X3 ¬X1 ¬X1 ¬X2 ¬X3 ¬X3 ¬X3

  6. 2-SAT Algorithmus • Eine 2-KNF-Formel ist unerfüllbar im Graphen GF existiert ein Zyklus der Form xi … ¬xi … xi gdw.

  7. Zyklus mit xi und ¬xidann F unerfüllbar • Annahme: Es gibt eine erfüllende Belegung a. Dann muss für a gelten, dass xi=1 und xi =0. Das ist ein Widerspruch.

  8. X1 ¬X1 F unerfüllbardannexistiert Zyklus mit xi und ¬ xi • Beweis mit Induktion über n: • n=1. • F muss die Form (x1)  (¬x1) haben  GF hat einen Zyklus. • n-1n. • Wähle beliebiges xaus {x1,…,xn}. • Bilde Fx=0 und Fx=1GFx=0 und GFx=1 enthalten Zyklen mit xk und ¬xk • Zeige, dass daraus folgt: GF enthält einen Zyklus mit xi und ¬xi

  9. x y y ¬x ¬y ¬y GF enthält einen Zyklus mit xi und ¬xi • Trivial: Einer der Zyklen aus GFx=0 und GFx=1 ist auch in GF enthalten • Sonst: Zeige, dass es in GF die Verbindungen ¬x  … x und x  … ¬x gibt es existiert ein Zyklus mit x und ¬x

  10. x z z ¬x ¬z ¬z Pfade in GF • ¬x … x in GF • F enthält (x) • F enthält (x  z) • GF enthält ¬x  z und ¬z  x • Fx=0 enthält nur (z) • der Zyklus in GFx=0 enthält ¬z  z,GF enthält ¬z  z nicht daraus folgt in GF gibt es ¬x  z  …  ¬z  x • x … ¬x in GF • Analog mit (¬x) sowie Fx=1 undGFx=1

  11. Zyklen mit x und ¬x finden • als All-Pair-Shortest-Paths– Problem • mit unendlichen Kosten für nichtvorhandene Kanten • für alle x überprüfen: (x,¬x) und (¬x,x) < ? • Laufzeit O(n3) • mit Tiefensuche • in stark zusammenhängende Komponenten zerlegen • O(m), m=Anzahl der Klauseln

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