Calcolo delle Probabilità

1. Calcolo delle Probabilità Istituzioni di Matematiche Scienze Naturali

2. Introduzione • Fenomeno deterministico: se l’esperimento è condotto nelle stesse condizioni si trova lo stesso risultato • Esempi: • Moto di un grave • Traiettoria di una pallina in un biliardo • Fenomeno non deterministico: anche se gli esperimenti sono condotti nelle stesse condizioni si trovano risultati diversi • Esempi: • Risultato del lancio di una moneta • Traiettoria di 100 palline in un biliardo • Vincita in una lotteria • Numero di lanci di un dado per ottenere un 6 La probabilità si occupa di fenomeni non deterministici

3. Spazio campione: • Insieme S di tutti i risultati dell’esperimento • Esempio: • Nel caso del lancio di una moneta S={Testa, Croce} • Nel caso dei numeri di lanci di un dado necessari per avere 6 S=N (numeri naturali) Evento: • Sottoinsieme E di S dato da un insieme di risultati caratterizzati dal godere di una stessa proprietà • Esempio: • E={Testa} nel lancio di una moneta

4. Esercizi • Si estrae a caso una carta da un mazzo di 52 carte. Si • descriva lo spazio dei campioni quando (a) i semi non sono presi in considerazione, (b) solo i semi sono presi in considerazione. • Supponiamo di estrarre 2 carte da un mazzo di 52 e supponiamo di essere interessati a che vengano estratti 2 assi. Dire qual è lo spazio campione S e quale sottoinsieme E di S rappresenti l’evento cui siamo interessati. • Essendo di corsa per prendere il treno, Genoveffa prende a caso 2 libri gialli tascabili da uno scaffale che ne contiene 15. Di questi libri 4 li ha già letti. Rappresentare l’evento: “Geneveffa prende 2 libri che non ha letto”.

5. Evento unione E U F F E E U F E U F è l’evento che si verifica quando almeno uno dei due eventi E e F si verificano

6. Evento intersezione E ' F F E E ' F E ' F è l’evento che si verifica quando entrambi i due eventi E e F si verificano Due eventi E e F si dicono incompatibili se E ' F=ø

7. Evento complementare Ec E Ec Ecè l’evento che si verifica quando E non si verifica

8. Definizione classica Probabilità:regola che a ogni evento E associa un numero reale compreso tra 0 e 1 p: E p(E) Definizioni di probabilità: Classica (Pascal) Se un evento si può verificare in N modi mutuamente esclusivi ed ugualmente probabili, se m di questi possiede una caratteristica E, la probabilità di E è il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il totale dei casi possibili (tutti equiprobabili)

9. Esempi • Nel caso del lancio di una moneta S={Testa, Croce}. • p(Testa)=1/2 (casi favorevoli 1, possibili 2) • Lanciamo due dadi e calcoliamo la probabilità che la somma dei punti sia 4 Per semplicità scriviamo i numeri estratti come coppie: Le coppie di 6 numeri sono 6 * 6= 36 = numero di casi possibili; I casi favorevoli sono dati dalle coppie (1,3), (2,2) e (3,1) e sono quindi 3. Pertanto p(somma 4 in 2 lanci)=3/36=1/12

10. Discussione • Problemi della definizione classica: • non sempre posso dire che eventi sono equiprobabili (asimmetrie - esempio: ho un dato truccato) • il numero di casi deve essere finito • Aspetti positivi: • è una definizione operativa Determinazione della probabilità usando il calcolo combinatorio Definizione assiomatica

11. Definizione assiomatica p(Ac)=1- p(A) A,B in S p(AB)= p(A)+ p(B)- p(AB)

12. Esercizi • Una pallina è estratta in modo casuale da un'urna che contiene 6 palline rosse, 4 bianche e 5 azzurre. Qual è la probabilità di estrarre una pallina rossa o bianca? Qual è la probabilità di non estrarre una pallina bianca? • Estraggo a caso una carta da un mazzo di 52. Qual è la probabilità estrarre un dieci o una carta di picche?

13. Esercizi • Qual è la probabilità di fare doppio 2 con una coppia di dadi non truccati? • Qual è la probabilità di fare doppio 2 con una coppia di dadi truccati in modo che nel 50% dei casi esca 6 (e gli altri numeri siano ugualmente probabili)? • Qual è la probabilità di totalizzare 4 con una coppia di dadi non truccati? • Un impiegato pensa di avere 2 possibilità su 3 di non avere una promozione, 1 su 2 di avere un aumento e 1 su 4 di avere entrambi. • Qual è la probabilità che l'impiegato abbia almeno una tra una • promozione e un aumento?

14. Definizione frequentistica (o a posteriori) Richard von Mises Si ripete un esperimento N volte e se un evento con una certa caratteristica E si verifica m volte, la frequenza relativa di successo è f(E) dà una stima per la probabilità di E • Problemi della definizione frequentistica: • In sitazioni concrete il passaggio al limite su cui si basa la definizione non può essere effettuato • È necessario ripetere l’esperimento un gran numero di volte

15. Definizione soggettiva (o bayesiana) Bernoulli, De Finetti Probabilità: grado di fiducia che una persona ha nel verificarsi dell’evento= Prezzo p che si è disposti a pagare per ricevere 1 se l’evento si verifica e 0 se non si verifica Esempio: se lancio un dado il prezzo equo per la scommessa “esce il 4” dipende dalle informazioni di cui si dispone; se il dado non è truccato si può assumere p=1/6 • Problemi della definizione soggettiva: • Non è operativa • Una valutazione soggettiva non è necessariamente obiettiva

16. Calcolo Combinatorio Problema: determinare il numero di elementi di un insieme finito elenco diretto (lungo!) Esempio:in un menù ho 3 antipasti, 2 primi, 4 secondi. Quanti sono i possibili pasti completi (includono tutte le 3 portate - scelte una sola volta)? Diagramma ad albero

17. Diagramma ad albero S1 S2 P1 S3 A1 S4 P2 ………. ………. ……….. A2 P1 P2 P1 A3 P2 3 x 2 x 4 = 24 pasti completi

18. “Contare le scelte” Se gli insiemi A1, A2, …, Ak contengono n1, n2, …, nk elementi Ho N= n1 n2 … nk modi di scegliere prima un elemento di A1 , poi un elemento di A2 … ... infine un elemento di Ak In particolare: se n1 = n2 =…= nk =n allora N=nk = numero delle disposizioni con ripetizione di n oggetti a gruppi di k

19. Disposizioni = gruppi di oggetti che si possono formare scegliendo k oggetti tra n oggetti (I gruppi devono differire per qualche oggetto e per l’ordine) Disposizioni con ripetizione: si può ripetere lo stesso oggetto Esempio: Determinare e schedine del totocalcio si devono giocare per essere sicuri di fare 13 Le possibili schedine sono 313=1.594.323

20. Disposizioni semplici (senza ripetizione) di n oggetti tra k (≤n)D(n,k) Non si può ripetere lo stesso oggetto Esempio: Ad un gran premio di formula 1 partecipano 20 piloti. I primi tre classificati vanno sul podio.. Quante sono le possibili terne di piloti sul podio? Il primo classificato può essere un qualunque pilota tra 20, Il secondo uno qualunque tra i restanti 19, il terzo uno tra 18 Quindi: D(20,3)=20*19*18 In generale: D(n,k)=n*(n-1)*…*(n-k+1)

21. Permutazioni = numero dei modi in cui si possono ordinare n oggetti P(n) = D(n,n)=n*(n-1)*… 2*1=n! Esempio: Quanti anagrammi (non necessariamente di senso compiuto) si possono formare della parola FOGLI Ho 5 possibili scelte per la prima lettera, 4 per la seconda, … 1 per la quinta, quindi gli anagrammi sono P(5)=5*4*3*2*1=5!=120

22. Combinazioni = disposizioni a meno dell’ordine= gruppi di oggetti che si possono formare scegliendo k oggetti tra n oggetti (I gruppi devono differire per qualche oggetto ma non per l’ordine)= Esempio Quante squadre di pallacanestro si possono formare con 8 giocatori Sono le combinazioni di 5 persone scelte tra 8 =

23. Esercizi • In quanti modi 10 persone possono sedersi su una panchina che ha solo 4 posti? (Si risolva l'esercizio due volte, una volta considerando importante l'ordine in cui si siedono e una no). • In quanti modi diversi si possono sedere 7 persone in un tavolo rotondo? • Supponiamo di estrarre per 40 volte una pallina da un'urna contenente palline numerate da 1 a 365 ( dopo ciascuna estrazione la pallina estratta viene nuovamente messa nell'urna). Quanti sono i possibili risultati • diversi? Quanti sono i possibili risultati in cui i 40 numeri estratti risultano tutti diversi tra loro? • Si deve costituire un comitato di 3 membri, rappresentanti ciascuno gli studenti, i docenti e il personale amministrativo. Se ci sono 4 candidati per gli studenti, 3 per i docenti e 2 per il personale amministrativo, si determini quanti comitati differenti si possono formare.

24. Esercizi • Dovete preparare un dolce, disponete di una cesta con 10 uova di cui ve ne serviranno solo 2 per l'impasto. Ma vi ricordate che il giorno prima avete posto in quel cesto 4 uova vecchie di due settimane. Qual è la probabilità di aver utilizzato almeno un uovo non fresco? • Intorno ad un tavolo rotondo si dispongono a caso 5 uomini e 5 donne. Qual è la probabilità che ogni donna sia seduta tra due uomini? • Qual è la probabilità di fare tre volte 6 lanciando tre volte un dado non truccato?