Localización de puntos en una subdivisión del plano

1. Localización de puntos en una subdivisión del plano

2. PSLG

3. PSLG

4. PSLG

7. Teorema 2.1: Toda línea poligonal cerrada C divide el plano en dos regiones, una acotada y la otra no. Además, se puede determinar si un punto p está en la región acotada contando el número de veces que cualquier semirrecta que comienza en p atraviesa a C; p estará en dicha región si y sólo si dicho número es impar. Corolario 2.1: Es posible determinar si un punto está en el interior de una región acotada por una línea poligonal simple cerrada en tiempo O(n). ¿Es óptimo?

8. ¿La repetición k veces de un algoritmo óptimo es la estrategia óptima?

9. SI NO ¿4 < 8? SI NO ¿4 < 5? SI NO ¿4 < 2? 4 está inmediatamente a la derecha de 2 Insertarunnúmeroenunalistaordenada (Búsqueda binaria) 4 1 2 5 6 8 9 10 11 13 1 2 5 6 8 9 10 11 13 1 2 5 6 1 2

10. O(nlog n) • Ordenarnnúmeros • Insertarunnúmeroenunalista ordenada (Búsqueda binaria) O(log n)

11. ¿La repetición n veces de un algoritmo óptimo es la estrategia óptima?

13. 1.- Localizar un punto en el interior del polígono

14. 1.- Localizar un punto en el interior del polígono 2.- Trazar semirrectas desde ese punto pasando por los vértices del polígono. 3.- Ordenar dichas semirrectas según su pendiente.

15. 1.- Localizar un punto en el interior del polígono 2.- Trazar semirrectas desde ese punto pasando por los vértices del polígono. 3.- Ordenar dichas semirrectas según su pendiente. O(n log n)

16. 4.- Localizamos en qué región angular estamos.

17. 4.- Localizamos en qué región angular estamos.

18. 4.- Localizamos en qué región angular estamos. 5.- En dicha región determinamos si estamos dentro o fuera del polígono.

19. 4.- Localizamos en qué región angular estamos. 5.- En dicha región determinamos si estamos dentro o fuera del polígono. O(log n)

20. Teorema 2.2: Es posible determinar si un punto está en el interior de una región acotada por un poligono convexo en tiempo O(log n), con O(n log n) de preprocesamiento. 1.- Localizar un punto en el interior del polígono 2.- Trazar semirrectas desde ese punto pasando por los vértices del polígono. 3.- Ordenar dichas semirrectas según su pendiente. O(n log n) 4.- Localizamos en qué región angular estamos. 5.- En dicha región determinamos si estamos dentro o fuera del polígono. O(log n)

27. Decimos que p está en el núcleo de P (p  ker P), si para todo q  P se verifica que el segmento pq está incluido en el interior de P. Lema: El núcleo de un polígono puede calcularse en tiempo O(n log n) núcleo 1.- Localizar un punto en el interior del polígono 2.- Trazar semirrectas desde ese punto pasando por los vértices del polígono. 3.- Ordenar dichas semirrectas según su pendiente. O(n log n) 4.- Localizamos en qué región angular estamos. 5.- En dicha región determinamos si estamos dentro o fuera del polígono. O(log n)

28. Teorema: La intersección de n semiplanos puede calcularse en tiempo O(n log n) Lema: El núcleo de un polígono puede calcularse en tiempo O(n log n)

30. Problema de la Galería de Arte  En 1973, Víctor Klee planteó el problema de determinar el mínimo número de guardias suficientes para cubrir el interior de una galería de arte con un número n de paredes.  En 1975, Chvatal dio la respuesta a dicha pregunta y en 1978 Fisk dio otra demostración.

31. Teorema: n/3 guardianes son siempre suficientes y ocasionalmente necesarios para vigilar un polígono de n lados. G(P), el menor número de puntos necesarios para vigilar todo P. g(n), el mayor valor de G(P) para cada polígono, P, de n vértices.

32. Demostración: Suficiencia Triangular el polígono, añadiendo diagonales internas hasta que no se puedan añadir más. El grafo es 3-coloreable. Ubicar a los guardias en los vértices del color menos repetido. En la triangulación de P cada punto está dentro de algún triángulo, como los triángulos son polígonos convexos, cada punto de P queda vigilado al menos por uno de estos guardias. Así, g(n)≤ n/3. Necesidad

33. PSLG

40. Elmétododelasbandas • Rectas horizontales por los puntos. Preprocesamiento • Ordenar las rectas por ordenada. • Ordenar los segmentos en cada banda. • Localizar la banda en la que está el punto. • Localizar los dos segmentos entre los que se • encuentra el punto.

41. Elmétododelasbandas • Rectas horizontales por los puntos. Preprocesamiento • Ordenar las rectas por ordenada. • Ordenar los segmentos en cada banda. • Localizar la banda en la que está el punto. • Localizar los dos segmentos entre los que se • encuentra el punto.

42. Elmétododelasbandas • Rectas horizontales por los puntos. n2log (n) Preprocesamiento • Ordenar las rectas por ordenada. • Ordenar los segmentos en cada banda. • Localizar la banda en la que está el punto. log (n) • Localizar los dos segmentos entre los que • se encuentra el punto.

43. Bibliografía Computational Geometry: an introduction. F. P. Preparata y M. I. Shamos. Springer-Verlag, 1985. Computational Geometry in C. J. O’Rourke. Cambridge University Press, 1998.