Faktory a jejich uspořádání

1. Faktory a jejich uspořádání • Faktor (kvalitativní proměnná)factor (= categorial variable = categorical v.) • Hladina faktorufactor level • Máme-li dva nebo více faktorů, záleží správná volba modelu ANOVA na jejich vzájemném vztahu (uspořádání, design) • Faktoriální (factorial design) x hierarchické (nested = hierarchical design)

2. Faktoriální uspořádání • Každá hladina určitého faktoru je kombinována s každou hladinou ostatních faktorů • Mají-li naše faktory jen 2 hladiny, pakpři 2 faktorech máme 4 kombinacepři 3 faktorech máme 8 kombinací ... • Obecně, mají-li faktory A, B, C,... a, b, c,... hladin, pak je počet kombinací a*b*c*...

3. Hierarchické uspořádání • tři lokality • na každé lokalitě tři kytky • na každé pět měření Faktor Kytka je vložen do faktoru Lokalita(Kytka is nested in Lokalita) Kytka 1 (kyt1) z první lokality nemá nicspolečného s kytkou 1 z druhé lokality

4. Faktoriální uspořádání: vyváženost • Je nejlepší, pokud máme pro každou kombinaci hladin faktorů stejný počet pozorování, dostáváme pak nejsilnějšía nejvíce robustní test • Přinejmenším bychom ale měli mít proporční uspořádání

5. Dvoucestná ANOVAbez interakce • Nejprve začneme s modelem, ve kterém předpokládáme, že vlivy hnojení a kosení jsou aditivní: Xijk = m+ ai + bj + eijk • m je celkový (společný) průměr (např. 22.5) • a je vliv kosení (např. a1=-5.0, a2=+5.0) • b je vliv hnojení (např. b1=+2.5, b2=-2.5) • e je náhodná variabilita, nezávislá na hodnotách faktorů

6. Dvoucestná ANOVAbez interakce • Aditivitu faktorů často nemůžeme předpokládat a priori, ověřujeme ji použitím neaditivního modelu (s interakcí): test interakčního členu a interaction plot SSTotal=SShnojeno+SSkoseno+SShnojeno*koseno+SSerror H0A: a1=a2=0 hnojení nemá vliv H0B: b1=b2=0 kosení nemá vliv H0AB: g11=g12=g21=g22=0 není interakce

7. Dvoucestná ANOVA s interakcí • Model bez interakce: Xijk = m+ ai + bj + eijk • Přidáme-li interakci: Xijk = m+ ai + bj + gij + eijk • Interakce mezi faktory je symetrická, a tak nám říká buď: „velikost (případně i směr) vlivu hnojení závisí na tom, zda je plocha kosená nebo ne“ nebo „velikost (případně i směr) vlivu kosení závisí na tom, zda je plocha hnojená nebo ne“ • Speciální případ: “kosení má vliv jen u nehnojených ploch“

8. Dvoucestná ANOVA s interakcí • Není interakce: • Je interakce: Hlavní efekt (main effect) Je třeba zdůraznit, že spojováníprůměrů tady není interpolací:jde nám o zobrazení interakcepomocí (ne)rovnoběžnosti čar Když popisuji výsledky, nestačí říct,že interakce je průkazná, musím uvéstproč (kde a jaká je odchylka od aditivity)

9. Méně častý typ interakce • Vliv 2 léků (A a B) na snížení teploty testován faktoriálním experimentem • Hlavní efekt léku A vyšel neprůkazný, hlavní efekt léku B také, ale vyšla průkazná interakce • Interaction plot vypadá takto: Výsledek neznamená,že by léky nebyly účinné! Jejich účinek se přispolečném podání ruší.

10. F statistika v dvoucestné ANOVAfaktory s pevným efektem • Fhnojeno, Fkoseno, Fhnojeno*koseno jsou všechny počítány dělením příslušného MS hodnotou MSError • Například: Fhnojeno=352.8/8.025 = 43.963 • Není tomu ale tak v případě faktorů s náhodným efektem!

11. Mnohonásobná porovnání • Ve faktoriální analýze variance (s 2 a více faktory) provádím obdobně jako ve one-way ANOVA • V našem příkladu nemá smysl: máme jen dvě hladiny pro každý z faktorů • Mohu porovnávat buď pro hlavní efekty nebo i pro interakci (tj. všechny faktoriálně vytvořené skupiny mezi sebou) • Co budu porovnávat rozhoduji já (ovšems ohledem na výsledky testu)

12. F statistika v dvoucestné ANOVAmixed effects (náhodný+pevný) • Zkoumám vliv kosení na druhovou bohatost, máme tři lokality, na každé mám tři kosené a tři nekosené plochy Fkoseno = MSkoseno / MSlokalita*koseno tj. 206.72 / 5.39

13. Experimentální uspořádání:1 – úplně znáhodněné • Máme experiment se 4 zásahy (K, Z1, Z2, Z3) a se 4 opakováními pro každý typ zásahu (= pro každou hladinu faktoru) • Je-li všech 16 ploch rozmístěno zcela náhodně (completely randomised design), hodnotím jednocestnou analýzou variance

14. Experimentální uspořádání:2 – zcela nesprávné • Vliv zásahu nelze v datech získanýchz tohoto špatného uspořádání odlišit od vlivu umístění v prostoru • Pojem pseudoreplikace (pseudoreplication)

15. Experimentální uspořádání:3 – znáhodněné bloky • Randomised blocks, ale pozor, někdy též jako Completely randomised blocks! • Náhodný faktor Blok, two-way ANOVA bez interakce. Silnější test, pokud se bloky liší

16. Experimentální uspořádání:4 – Latinský čtverec • Latin square • Známe směry prostorové variability a buď je jen jeden (např. vlhkost) nebo jsou kolmé • 3-way ANOVA, náhodné fak. řádek a sloupec

17. Friedmanův test • Neparametrický test, zobecnění Wilcoxonova testu • Založeno na pořadí hodnot (pro jednotlivé hladiny faktoru) uvnitř bloků a je počet hladin studovaného faktoru b je počet bloků Rije součet hodnot pořadí pro i-tou hladinu

18. Transformace: problémy s aditivitou 1 • Porovnávám výšky sedmikrásek a slunečnic a jejich odpověď na přidání živin • Faktoriální uspořádání, 2 faktory s pevným efektem a 2 hladinami (druh a živiny) • Tři testovatelné hypotézy (2 hlavní efekty plus interakce): • výška sedmikrásek a slunečnic se neliší • výška rostlin se mění po přidání živin • vliv přidání živin je stejný pro oba druhy

19. Transformace: problémy s aditivitou 2 • Lze očekávat heterogenitu variancí (hodnoty výšky budou mít asi větší varianci u slunečnic než u sedmikrásek) S.D. bude lineárně závislá na průměru (CV bude konstantní) • Interakce v ANOVA modelu testuje aditivitu, a tedy nárůst výšky díky přidání živin stejný(v cm) u obou druhů – např. 10 cm:

20. Transformace: problémy s aditivitou 3 • Taková aditivita ale neodpovídá „biologické realitě“ – lze spíše očekávat nárůst proporční, např. o 100% • Odpovídající model pro vliv druhu (slunečnice je 10-krát vyšší než sedmikráska; hnojení zvýší výšku 2-krát) je: • Chceme-li dostat model ANOVA, musíme logaritmovat • Tabulka logaritmů průměrných výšek pak vypadá takto:

21. Logaritmická transformace • Pokud byla v původních datech S.D. lineárně závislá na průměru, vede k homogenitě var. • Mění multiplikativní efekty na aditivní • Mění lognormální rozdělení e na normální • Problém s nulami: v biologických datech časté (pokryvnost či početnost druhu ve vzorku) • X’ = log(X+c), c by mělo odpovídat škále hodnot X (c=1 vhodné pro počty, procenta) • Přičtení c narušuje převod multiplikativity na aditivitu

22. Jiné transformace • Předpokládáme-li pro závislou proměnnou Poissonovu distribuci: • Pro procenta a podíly (na škále 0 – 1):

23. Hierarchické uspořádání(nested design) • tři lokality • na každé lokalitě tři kytky • na každé pět měření • V příkladě je faktor Kytka jasně s náhodným efektem, u faktoru Lokalita si lze představit obě možnosti. Takto vypadají nejčastější případy hierarchické analýzy variance • Vyrovnanost počtu pozorování je i zde velmi důležitá

24. Hierarchické uspořádánípříklad s délkou trubky 1 1 3 2

25. Hierarchické uspořádánípříklad s délkou trubky 2 • Při rozkladu sumy čtverců (SS) počítáme čtverce rozdílů každého pozorování (průměru) od jeho hierarchicky nejbližšího vyššího příslušného průměru • Jsou-li hierarchicky nižší efekty náhodné, je F statistikou poměr MS efektu a MS nejbližšího hierarchicky nižšího efektu

26. Nejčastější použitíhierarchické analýzy variance • Rozklad variability znaků mezi jednotlivé hierarchické úrovně (taxonomické / prostorové) • Často mne zajímá především hierarchicky nejvýše postavený faktor, podřazené faktory umožňují oddělení variability na nižších úrovních  zvýšení síly testu Příklad: vliv pastvy – 6 ohrad: 3 + 3ale v každé 5 ploch (zachytí variabilitu uvnitř ohrad), z každé plochy 3 vzorky pro analýzy (zachytí variabilitu v biomase a v anal. metodě)

27. Pseudoreplikace ještě jednou • Pozor na směsné vzorky: umožní zprůměrovat „nezajímavou variabilitu“, ale ztrácí se nezávislost pozorování v nich zahrnutých vzorků! Tohle nejsou nezávislápozorování !!

28. Složitější modely ANOVA • Faktoriálně a hierarchicky uspořádané faktory se mohou různě kombinovat, některé s pevným a některé s náhodným efektem • Split-plot design: whole-plots vs. split-plots • Opakovaná pozorování (repeated measures) • BACI: before-after control-impact