1 / 24

Pre-algebra

Pre-algebra. Antonín Jančařík. Formální jazyk PL1 Abeceda. Logické symboly individuové proměnné: x, y, z, ... Symboly pro spojky:  ,  ,  , → , ↔ Symboly pro kvantifikátory:  ,  Speciální symboly Predikátové: P n , Q n , ... n – arita = počet argumentů

nieve
Download Presentation

Pre-algebra

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Pre-algebra Antonín Jančařík

  2. Formální jazyk PL1Abeceda Logické symboly individuové proměnné: x, y, z, ... Symboly pro spojky: , , , →,↔ Symboly pro kvantifikátory: ,  Speciální symboly Predikátové: Pn, Qn, ... n – arita = počet argumentů Funkční: fn, gn, hn, ... -- „ -- Pomocné symboly: závorky (, ), ...

  3. Speciální symboly • Predikátové symboly odpovídají relacím. • Funkční symboly odpovídají operacím. Naším dalším tématem budou operace na množině.

  4. Operace • Operace (medicína) - řízený fyzický zásah do těla pacienta (ať již člověka nebo zvířete) • Operace (vojenství) - nasazení vojenských jednotek • Tajná operace - naplánovaná akce tajných služeb • Operace (matematika) - zobrazení z kartézské mocniny množiny do této množiny • Operace (počítače) - programový krok • V přeneseném významu - operativní řešení konkrétního problému podle aktuálního vývoje situace

  5. Operace v matematice • Operace (matematika) - zobrazení z kartézské mocniny množiny do této množiny • Známé operace: • Součet • Rozdíl • Podíl • Sínus • Odmocnina

  6. Arita operace • Arita operace je rovna aritě kartézského součinu vstupu, tzn. obsahuje-li vstup n množin, pak říkáme, že operace je n-ární. • Pro n = 0 jde o operace nulární. Na konstanty je někdy výhodné nahlížet jako na nulární operace. • Pro n = 1 jde o operace unární. Unární operace transformují jeden prvek množiny A na jiný. • Pro n = 2 se jedná o operace binární. Binární operace přiřazují každé dvojici prvků prvek nějaké množiny. Sčítání, odčítání, násobení, dělení nebo mocnění patří mezi binární operace. • Pro n = 3 se jedná o ternární operaci. Ta přiřazuje každé trojici prvků prvek nějaké množiny. • Operace vyšších arit se vyskytují především v programovacích jazycích, kde jsou nazývány funkce, metody nebo procedury (procedura je operace s prázdným oborem hodnot).

  7. Zápis operace tabulkou

  8. Algebraické zákony pro konjunkci, disjunkci a ekvivalenci • |= (p  q)  (q  p) komutativní zákon pro  • |= (p  q)  (q  p) komutativní zákon pro  • |= (p  q)  (q  p) komutativní zákon pro  • |= [(p  q)  r][p  (q  r)] asociativní zákon pro  • |= [(p  q)  r][p  (q  r)] asociativní zákon pro  • |= [(p  q)  r][p  (q  r)] asociativní zákon pro 

  9. Základní vlastnosti binárních operací • Komutativita • Asociativita • Neutrální prvek • Inverzní prvek • a mnoho dalších.

  10. Komutativita • Operace ۞ je komutativní právě tehdy když pro každé dva prvky a,b platí a۞b = b۞a.

  11. Asociativita • Operace ۞ je asociativní právě tehdy když pro každé tři prvky a,b,c platí (a۞b) ۞ c = a ۞ (b۞ c).

  12. Neutrální prvek • Nechť ۞ je operace na množině A a e prvek této množiny. Pak e je neutrálním prvkem vůči operaci ۞ právě tehdy když pro každý prvek a množina A platí:a ۞ e = e ۞ a = a. • Neutrální prvek také někdy nazýváme nulový nebo jednotkový.

  13. Inverzní prvky • Nechť ۞ je operace na množině A a e neutrální prvek vůči této operaci. Pak ۞ je na množině A operací s inverzními prvky právě tehdy když pro každý prvek a existuje prvek a-1 takový, žea ۞ a-1 = a-1 ۞a = e.

  14. Ukázka

  15. Arthur Cayley(1821-1895) • Britský matematik • Spoluzakladatel britské školy čisté matematiky • Jako první definoval grupu jako množinu s jednou binární operací splňující dané podmínky.

  16. Grupoid • Neprázdná množina G opatřená binární operací se nazývá grupoid. • Od grupoidu tedy nic nežádáme.

  17. Pologrupa • Neprázdná množina G opatřená binární asociativní operací se nazývá pologrupa.

  18. Monoid • Neprázdná množina G opatřená binární asociativní operací a jednotkovým prvkem se nazývá monoid.

  19. Krácení • Nechť (G, ۞) je grupoid a a jeho prvek. • Říkáme, že a je zleva (resp. zprava) kratitelný prvek grupoidu G, jestliže a ۞ b ≠ a ۞ c (resp. b۞ a ≠ c ۞ a), kdykoli b ≠ c. • Jestliže a je kratitelný zleva i zprava, říkáme že je kratitelný.

  20. Kvazigrupa • Jestliže každý prvek grupoidu G je kratitelný, říkáme, že G je grupoid s krácením. • Grupoid s krácením nazýváme kvazigrupou.

  21. Lupa Kvazigrupu s jednotkovým prvkem nazýváme lupou.

  22. Grupa • Grupa je algebraická struktura s jednou binární operací, která je asociativní, s jednotkovým prvkem a inverzními prvky. • Komutativní grupa se také nazývá abelovou.

  23. Niels Henrik Abel(1802-1829) • Norský matematik • Prokázal neřešitelnost rovnice pátého stupně za pomocí radikálů.

  24. Évariste Galois(1811-1832) • Francouzský matematik • Jako teenager dokázal, že polynomy stupně vyššího než 4 nemají řešení v radikálech (Galois Theory) • Zavedl pojem grupa.

More Related