Elektromagnetick á indukcia

1. Elektromagnetická indukcia Jav elektromagnetickej indukcie objavil v 19. storočí anglický učenec Michael Fara- day a vyjadruje ho Faradayov zákon, ktorý môžeme formulovať napr. takto: Veľkosť elektromotorického napätia indukovaného v uzavretom vodiči je rov- ná časovej zmene magnetického indukčného toku cez plochu uzavretú vodi- čom. (Pod vodičom tu i v ďalšom výklade budeme rozumieť tenký vodivý drôt.) Ma- tematické vyjadrenie tohto zákona je (1) kde znamienko “-” znamená, že indukované elektromotorické napätie je orientované vždy tak, aby pôsobilo proti zmene magnetického indukčného toku, ktorá ho vyvola- la. Toto tvrdenie je obsahom Lenzovho zákona, o ktorom budeme hovoriť nižšie. Magnetický indukčný tok plochou S definujeme integrálom (2) kde je vektor kolmý na elementárnu plôšku plochy S, dS, s veľkosťou rovnou dS a je hodnota vektora magnetickej indukcie v mieste tejto plôšky. Integrál (2)

2. predstavuje súčet elementárnych príspevkov – skalárnych súčinov – vypo- čítaných pre všetky infinitezimálne plôšky dS plochy S. Ak je magnetické pole ho- mogénne, t.j. rovnaké čo do smeru, orientácie aj veľkosti na celej ploche obopnutej vodičom, ktorá je rovná a na kolmá, magnetický indukčný tok môžeme vypo- čítať jednoducho na základe (2) Plocha S však nemusí byť rovná, t.j. vektory môžu mať rôzne smery pre rôzne elementárne plôšky dS a takisto magnetické pole vo všeobecnosti nie je homogénne, t.j. vektory sú rôzne pre rôzne dS, takže elementárne príspevky môžu mať rôzne hodnoty v závislosti od toho, kde je plôška dS umiestnená na ploche S. To znamená, že výpočet integrálu (2) môže byť oveľa zložitejší ako v hore uvažova- nom jednoduchom prípade. Aby sme ilustrovali jav elektromagnetickej indukcie, uvažujme nasledujúce dva ex- perimenty. Prvý je predstavovaný obrázkom na nasledujúcom slide. Na ňom pribli- žujeme tyčový magnet jeho severným pólom k závitu uzavretého obvodu, do ktoré- ho je pripojený len ampérmeter. Pomocou ampérmetra potom pozorujeme, že obvo- dom tečie elektrický prúd. Tento prúd existuje, len keď magnetom pohybujeme v smere k alebo od závitu, je tým väčší, čím je väčšia rýchlosť pohybu magnetu a

3. má smer v súlade s chodom hodinových ruči- čiek. Ak by sme magnet od obvodu vzďaľovali, smer prúdu by bol proti chodu hodinových ru- čičiek. Tento prúd nazývame indukovaný prúd, prácu na jednotku elektrického náboja potreb- nú na posúvanie nábojov, ktoré ho tvoria, na- zývame indukované elektromotorické napätie a celý proces produkcie tohto prúdu a napätia voláme indukcia. N Náš experiment je názorným príkladom elektromagne- tickej indukcie a jeho vysvetlenie teda poskytujú rov- nice (1) a (2) a Lenzov zákon. Ako ilustruje obrázok, pri približovaní magnetu k závitu mení sa hustota i A smer magnetických indukčných čiar poľa produkovaného magnetom, čo znamená to, že sa mení rozloženie vektorov magnetického poľa, t.j. ich veľkosť a smer na ploche závitu. Podľa rovnice (2) sa tým mení magnetický indukčný tok plochou zá- vitu, a teda indukuje sa elektromotorické napätie na základe (1), ktoré produkuje elektrický prúd v závite. Rovnica (1) takisto hovorí, že čím je väčšia zmena magne- tického indukčného toku za rovnaký čas, t.j. čím rýchlejšie sa plochou závitu

4. mení, tým má indukované elektromotorické napätie väčšiu veľkosť, a teda je väčší aj indukovaný elektrický prúd. Smer indukovaného elektromotorického napätia a in- dukovaného prúdu vysvetľuje Lenzov zákon, ktorý uvedieme nižšie. i Druhý experiment zachytáva tento obrázok. V mo- mente, keď zapneme spínač v obvode so zdrojom elektromotorického napätia, ampérmeter v druhom obvode zaznamená náhly a krátko trvajúci elektric- ký prúd. V momente, keď spínač otvoríme, situácia sa opakuje len s tým rozdielom, že smer prúdu je opačný ako v prvom prípade. Vysvetlenie je takéto: Keď spínač zapneme, jeho obvodom nezačne okam- + S A žite tiecť prúd určitej veľkosti, ale jeho hodnota bude po určitý krátky čas stúpať, až kým nenadobudne určitú konštantnú hodnotu. Toto je dôsledkom samoindukcie, o ktorej tiež budeme hovoriť neskôr. Vieme, že elektrický prúd produkuje vo svojom okolí magnetické pole. Keď teda hodnota prúdu po zapnutí spínača postupne stúpa, postupne sa mení i magnetické pole ním produkované, a teda sa mení i magnetický indukčný tok plochou závitu v obvode s ampérmetrom, t.j. indukuje sa v ňom elek- tromotorické napätie a elektrický prúd. Keď už prúd v obvode so zdrojom napätia

5. dosiahne konštantnú hodnotu, ampérmeter v druhom obvode nebude ukazovať nija- ký prúd, pretože magnetické pole produkované prúdom v obvode so zdrojom napä- tia sa nebude ďalej meniť, a teda sa nebude meniť ani magnetický indukčný tok plo- chou závitu v obvode s ampérmetrom. Naše dva experimenty názorne demonštrujú, ako možno dosiahnuť zmenu magnetic- kého indukčného toku plochou obopnutou prúdovodičom. Ako vieme z rovnice (2), magnetický indukčný tok je súčtom príspevkov , kde je uhol medzi a prislúchajúcim danej plôške dS, cez všetky plôšky dS vy- pĺňajúce plochu S obopnutú prúdovodičom. Zmenu môžeme teda dosiahnuť zmenou veľkosti, alebo smeru alebo S, alebo oboma spôsobmi. Tak to bolo v prvom experimente. V druhom experimente sa menila len veľkosť vektorov magne-tických polí prislúchajúcich miestam na ploche závitu v obvode s ampérmetrom. Keďže však magnetický indukčný tok závisí aj od veľkosti plochy, ku ktorej sa vzťa- huje, môžeme jeho zmenu dosiahnuť aj zmenou tohto parametra, t.j. v integráli (2) budeme integrovať v každom okamihu cez plochu inej veľkosti. Takúto situáciu uka- zuje napr. obrázok na nasledujúcom slide. V homogénnom magnetickom poli, ktoré smeruje do nákresne, je umiestnený rovný obdĺžnikový prúdový závit svojou plo- chou kolmo na magnetické pole. Keď závit začneme ťahať doprava, časť jeho plo- chy ležiacej v magnetickom poli sa bude zmenšovať. Tým sa bude neustále meniť

6. i magnetický indukčný tok plochou závitu a indukuje sa v ňom v smere chodu hodinových ručičiek tečúci prúd i. Takýto smer má indukovaný prúd preto, lebo svojím ú- činkom musí pôsobiť proti zmene, ktorá ho vyvolala, t.j. proti zmenšovaniu magnetického indukčného toku plo- chou závitu. Vieme, že magnetické indukčné čiary v oko- lí rovných prúdovodičov sú kružnice so stredmi na prú- dovodiči. Vektor má v každom bode indukčnej čia- ry smer dotyčnice k nej a je orientovaný tak, aby sa jeho orientácia javila proti chodu hodinových ručičiek, keď sa na indukčnú čiaru pozeráme z tej strany od roviny, v kto- rej čiara leží, do ktorej vchádza prúd v prúdovodiči. V prípade nášho závitu polovica každej indukčnej čiary leží v hranole, ktorého podstavou je plocha závitu. Vektory magnetickej indukcie príslušné tejto polovici majú teda smer vonkajšieho magnetic- kého poľa (vektory príslušné druhej polovici čiary, ktorá leží mimo hranola, sú orientované proti vonkajšiemu poľu), takže magnetický indukčný tok plochou závi- tu nimi spôsobený bude zväčšovať zmenšujúci sa magnetický indukčný tok plochou závitu produkovaný vonkajším magnetickým poľom pri pohybe závitu smerom von z neho.

7. Lenzov zákon Tento zákon udáva pravidlo, ako určiť smer indukovaného prúdu v uzavretom vodi- či. Tento zákon znie: Indukovaný prúd má taký smer, že magnetické pole ním produkované pôsobí proti zmene magnetického indukčného toku, ktorá ho vyvolala. Je jasné, že smer indukovaného elektromotorického napätia je ten istý ako smer in- dukovaného prúdu. Ilustrujme teraz Lenzov zákon na príklade rovné- ho kruhového vodivého závitu. Približujme k to- muto závitu tyčový magnet jeho severným pólom. Z nášho prvého experimentu zobrazeného na ob- rázku na slide 3 vieme, že sa týmto mení magne- tický indukčný tok plochou závitu, a síce, bude narastať. Je to tak preto, lebo čím je magnet bliž- N S i šie k závitu, tým sú magnetické indukčné čiary jeho poľa, a teda vektory magnetickej indukcie, ktoré majú smer dotyčníc k nim, viac kolmé na plochu závitu, takže uhol medzi vektormi a vystupujúcimi v (2) sa bude stále viac blížiť k nule, t.j. jeho kosínus bude stále viac bližší k jednej. Zároveň sa zväčšuje hustota magnetic- kých indukčných čiar, t.j. veľkosť vektorov magnetickej indukcie poľa magnetu.

8. Podľa Lenzovho zákona tento nárast magnetického indukčného toku plochou závitu indukuje v ňom taký prúd, aby magnetické pole ním produkované pôsobilo proti tomuto narastaniu magnetického indukčného toku plochou závitu. V prípade situácie na obrázku na predchádzajúcom slide má indukovaný prúd smer proti chodu hodi- nových ručičiek, pretože takýto prúd produkuje magnetické pole na ploche o- bopnutej závitom, ktoré je orientované na tú stranu od roviny závitu, z ktorej sa smer prúdu javí proti chodu hodinových ručičiek. Toto pole teda na ploche obopnutej zá- vitom má opačnú orientáciu, ako pole magnetu, a teda produkuje magnetický induk- čný tok plochou závitu, ktorý bude zmenšovať narastajúci indukčný tok plochou závitu produkovaný približujúcim sa magnetom – vektory a budú zvierať tupé uhly, takže skalárne súčiny budú záporné čísla. Ak naopak budeme magnet od závitu vzďaľovať, pričom stále jeho severný pól bu- de privrátený k závitu, jeho magnetické pole bude mať rovnakú orientáciu ako v prípade približovania magnetu k závitu, ale magnetický indukčný tok plochou závi- tu produkovaný magnetom bude klesať. Je to preto, lebo magnetické indukčné čiary poľa magnetu sa budú stále viac rozbiehať, t.j. (a) vektory magnetickej indukcie poľa magnetu na ploche závitu budú zvierať stále väčší uhol s vektor- mi , ktoré sú kolmé na rovinu závitu, t.j. kosínus tohto uhla bude stále menší, (b) veľkosť vektorov magnetickej indukcie poľa magnetu na ploche závitu bude stále menšia.

9. Podľa Lenzovho zákona sa v závite indukuje prúd tečúci v smere chodu hodinových ručičiek, pretože takýto prúd vyprodukuje magnetické pole, ktoré na ploche obopnu- tej závitom má smer opačný ako pole na obrázku na slide 7, t.j. magnetický indukčný tok k nemu príslušný bude zväčšovať klesajúci magnetický indukčný tok plochou závitu produkovaný vzďaľujúcim sa poľom tyčového magnetu. približujúci sa magnet vzďaľujúci sa magnet Všimnite si, že to, že magnetické pole pro- dukované indukovaným prúdom je vždy také, že magnetický indukčný tok ním produkovaný pôsobí proti zmene magnetického indukčného toku, ktorá ho vyvolala, neznamená, že magnetické polia príslušné týmto tokom sú opačne oriento- vané, ako to ilustruje náš príklad. stúpajúce i i klesajúce Pomocou Lenzovho zákona môžeme teraz vysvetliť smery indukovaných prúdov v našich dvoch experimentoch reprezentovaných obrázkami na slidoch 3 a 4. Pre prvý experiment situácia je podobná ako tá na obrázku na slide 7, takže aj závery sú tie isté. Preto sa bližšie zmienime len o druhom experimente – slide 4. Keď teda zapne- me spínač, obvodom so zdrojom napätia tečie prúd, ktorého veľkosť, ako vieme, na- rastá postupne, a teda aj magnetické pole ním produkované narastá postupne, čo zna-

10. mená, že plochou závitu v obvode s ampérmetrom prechádza meniaci sa magnetický indukčný tok. Keďže prúd v prvom obvode tečie závitom v tomto obvode v smere chodu hodinových ručičiek, magnetické pole ním produkované je orientované v ob- lasti závitu smerom od nás. Pretože závity v oboch obvodoch sú blízko seba, bude toto platiť aj pre závit v obvode s ampérmetrom. Potom indukovaný prúd v obvode s ampérmetrom musí tiecť v smere proti chodu hodinových ručičiek, aby magnetické pole ním produkované na ploche závitu bolo orientované k nám, t.j. aby magnetický indukčný tok jemu príslušný pôsobil proti narastaniu magnetického indukčného to- ku cez plochu závitu v obvode s ampérmetrom spôsobeného narastaním prúdu v ob- vode so zdrojom napätia. Po otvorení spínača v obvode so zdrojom napätia prúd bude klesať postupne, a teda magnetické pole ním produkované, bude tiež klesať postupne. Pritom smery týchto veličín budú tie isté ako pri zapnutí spínača. Pokles magnetického poľa takto produ- kovaný na ploche závitov v oboch obvodoch bude znamenať klesanie magnetického indukčného toku cez plochu závitu v obvode s ampérmetrom. Proti tomuto však bu- de pôsobiť magnetický indukčný tok produkovaný indukovaným prúdom v tomto obvode. Tento prúd bude tiecť v smere chodu hodinových ručičiek, aby bolo ním produkované magnetické pole orientované v tom istom smere ako magnetické pole produkované prúdom tečúcim obvodom so zdrojom napätia na ploche závitov v oboch obvodoch, t.j. smerom k nám. Magnetický indukčný tok indukovaného prú-

11. du bude teda pôsobiť proti poklesu magnetického indukčného toku, ktorý tento prúd vyvolal. Induktor, indukčnosť, samoindukcia Podobne, ako na produkciu elektrických polí používame kondenzátory, magnetické polia môžeme produkovať pomocou induktorov, čo sú najčastejšie dlhé solenoidy, t.j. cievky, ktoré majú veľmi veľa vedľa seba navinutých závitov. Ak budeme me- niť magnetický indukčný tok solenoidom, v každom závite solenoidu sa bude indukovať elektromotorické napätie (1) a celkové indukované elektromotorické na- pätie v solenoide bude súčtom N elektromotorických napätí (1), ak počet závitov solenoidu je N, t.j. (3) Ak teda považujeme solenoid za náš základný typ induktora, definujeme indukčnosť induktora L vzťahom (4)

12. kde i je prúd tečúci závitmi induktora (solenoidu). Jednotkou indukčnosti je henry, značka H a jeho rozmer je H=Tm2A-1. Uvažujme dve cievky – induktory – uložené blízko seba. Vieme, že prúd i v jednej z nich produkuje magnetický indukčný tok cez druhú z nich. Ak tento prúd bude- me meniť, bude sa meniť aj magnetický indukčný tok a v druhej cievke sa indukuje na základe Faradayovho zákona elektromagnetickej indukcie elektromotorické napä- tie. Indukované napätie sa však objaví aj v prvej cievke. Toto napätie nazývame sa- moindukované elektromotorické napätie a mechanizmus jeho vzniku voláme samo- indukcia. Samoindukované elektromotorické napätie sa tiež správa podľa Faraday- ovho zákona elektromagnetickej indukcie a ak je produkované cievkou s N závitmi, tiež preňho platí (5) kde sme skutočnosť, že ide o samoindukované elektromotorické napätie, označili in- dexom L. S uvážením rovnice (4) môžeme samoindukované elektromotorické napätie vyjadriť vzťahom (6)

13. Samoindukované elektromotorické napätie vzniká vždy, keď induktorom (cievka, solenoid, toroid) preteká časovo premenný elektrický prúd a rovnica (6) hovorí, že veľkosť tohto napätia nezávisí od veľkosti pretekajúceho prúdu, ale len od rýchlos- ti, s akou sa tento prúd s časom mení. Smer samoindukovaného elektromotorického napätia ako každého indukovaného elektromotorického napätia nájdeme na základe Lenzovho zákona. Ako naznačuje znamienko “-” v rovnici (6), pôsobí svojím účinkom proti zmene prúdu, ktorá ho vyvolala. i stúpajúci i klesajúci

14. Energia uložená v magnetickom poli a Na obrázku je elektrický obvod, ktorý obsahuje indukčnosť a rezistanciu. Nazývame ho aj RL obvod. Do série k indukčnosti a rezistancii je cez Spínač pripojený zdroj elektromotorického napä- tia . Keď dáme spínač do polohy a, obvodom začne tieť prúd i, ktorý, ako už vieme, nenado- budne skokom určitú hodnotu, ale jeho hodnota bude stúpať, až kým sa neustáli. Avšak v dôsled- R b + L i ku toho, že v obvode je indukčnosť, v súlade s rovnicou (6) sa v indukčnosti induku- je samoindukované elektromotorické napätie takej orientácie, aby pôsobilo proti narastajúcemu prúdu. Preto nárast prúdu nebude taký rýchly, ako by bol, keby induk- čnosť v obvode nebola. Zvoľme za referenčný smer v súlade s chodom hodinových ručičiek. Potom na základe druhého Kirchoffovho zákona dostaneme pre obvod rov- nicu

15. Člen v poslednej rovnici odpovedajúci samoindukcii má zápornú hodnotu, keď prúd obvodom narastá, t.j. keď je jeho zmena di kladná. Naopak, ke- by bol spínač v polohe b, prúd obvodom by postupne klesal, t.j. jeho zmena di by bola záporná, a teda by dalo kladnú hodnotu. Samoindukované elek- tromotorické napätie je teda naozaj orientované tak, aby pôsobilo proti zmene prú- du v obvode. Vynásobme poslednú rovnicu prúdom i a zmeňme usporiadanie takto získaného vyjadrenia (7) Rovnicu (7) môžeme interpretovať nasledovne: Ak zdrojom elektromotorického napätia prejde z jeho jedného pólu na druhý náboj dq, zdroj vykoná prácu . Potom rýchlosť, s ktorou zdroj vykonal túto prácu, t.j. jeho výkon je . To znamená, že ľavá strana (7) predstavuje výkon, s akým zdroj elektromotorického napätia dodáva energiu do celého obvodu. Druhý člen na pravej strane (7) je výkon, s akým sa časť tejto energie mení na teplo v rezistore. Keďže energia musí byť zachovaná, prvý člen na pravej strane (7) musí

16. reprezentovať energiu magnetického poľa induktora a musí teda predstavovať výkon, s akým sa časť energie dodanej obvodu zo zdroja, mení na magnetickú energiu , t.j. odkiaľ Poslednú rovnicu budeme integrovať kde sme prešli k čiarkovaným integračným premenným. Môžeme teda pre magnetic- kú energiu induktora s indukčnosťou L, ktorú tento má v okamihu, keď ním preteká prúd s okamžitou hodnotou i,písať (8)

17. Poznamenajme, že k rovnakému výsledku by sme prišli, keby sme uvažovali klesa- nie prúdu i v obvode na obrázku na slide 14, t.j. keď je spínač v polohe b. Pred pr- vým členom v rovnici (7) by potom bolo znamienko “-” a integrovali by sme od i (dolná hranica integrácie)po nulu (horná hranica integrácie), takže by sme dostali rovnaký integrál ako je integrál na predchádzajúcom slide. Striedavý prúd Elektromagnetická indukcia sa využíva na výrobu striedavého elektrického prúdu v elektrických generátoroch. Sú to zariadenia, v ktorých sa mechanická energia me- ní na energiu elektrickú otáčaním cievky v konštantnom magnetickom poli. Princíp fungovania generátora zachytáva obrázok. Na ňom sa otáča rovný vodivý obdĺžnikový závit v homogénnom magnetickom poli. Potom na základe úvah, ktoré sme urobili na slidoch 1 a 2, je magnetický indukčný tok plochou závitu v každom okamihu t i i i i (9)

18. kde je uhol, ktorý zviera vektor plochy závitu s magnetickým poľom . Tento vektor je kolmý na rovinu závitu a je orientovaný von z jednej z jeho strán, ktorú si pevne musíme zvoliť. Potom sa mení počas jednej otáčky závitu od 0 po 360°. Tým sa neustále mení magnetický indukčný tok plochou závitu (9) a v závite sa indukujú elektromotorické napätie a prúd. To znamená, že na produkova- nie indukovaného elektromotorického napätia sa tu využíva zmena uhla medzi magnetickým poľom, ktoré produkuje magnetický indukčný tok plochou uzavretou vodičom, a plošnými vektormi , ktoré prislúchajú elementárnym plôškam dS tej- to plochy. V našom príklade plocha je rovná, takže všetky sú orientované rovna- ko a nahradili sme ich jedným vektorom , ktorého veľkosť je rovná ploche S . V okamihu, ktorý zobrazuje obrázok na predchádzajúcom slide, je tento vektor orien- tovaný nadol, t.j. prísluší strane závitu, ktorá je v tomto momente dolnou stranou závitu a tejto vybranej strane bude príslušný vždy. Tomu odpovedá aj orientácia indukovaného prúdu a indukovaného elektromotorického napätia pre túto momentálnu polohu závitu, ktoré sme určili na základe Lenzovho zákona. Keď dosadíme magnetický indukčný tok (9) do (1), dostaneme zmenu elektromo- torického napätia s časom (10) kde je amplitúda indukovaného elektromotorického napätia, ktorá je pre náš

19. príklad rovná súčinu BS. Pri otáčaní závitu v homogénnom magnetickom poli uhlo- vou rýchlosťou sa teda produkuje elektromotorické napätie, ktoré sa mení sínu- soidálne s časom tiež s uhlovou frekvenciou , a teda produkuje sa prúd, ktorý sa tiež mení harmonicky s časom s touto uhlovou frekvenciou. Indukované elektromo- torické napätie a indukovaný prúd teda budú na základe (10) meniť nielen veľkosti, ale aj znamienka, pretože rovnica (10) v sebe zahŕňa aj to, či bude magnetický in- dukčný tok plochou závitu klesať, alebo stúpať. (Pre rovné 0 až 180° bude klesať, pre rovné 180° až 360º bude stúpať. Tomu budú odpovedať aj dve rôzne orientácie indukovaného napätia a prúdu).