2.0 Introdução 2.1 Sinais discretos: Seqüências 2.2 Sistemas discretos no tempo

1. Capítulo 2 Sinais e Sistemas Discretos no Tempo • 2.0 Introdução • 2.1 Sinais discretos: Seqüências • 2.2 Sistemas discretos no tempo • 2.3 Sistemas lineares discretos no tempo - LTI • 2.4 Propriedades de sistemas LTI • 2.5 Equações diferença lineares com coeficiente constante • 2.6 Representação no domínio da freqüência • 2.7 Representação de seqüências por transformada de Fourier • 2.8 Propriedades de simetria transformada de Fourier • 2.9 Teoremas da transformada de Fourier.

2. 2.0 Introdução • Sinal: alguma coisa que contém informações sobre o estado ou comportamento de um sistema físico, por exemplo sinal de voz. • Sinais contínuos no tempo: definidos ao longo de um intervalo de tempo contínuo e são representado por uma variável contínua independente. • Sinais discretos no tempo: definidos para tempo discreto, e são representados como uma seqüência de números. • Sistema de processamento de sinais • Sistemas contínuos no tempo • Sistemas discretos no tempo

3. Exemplo de sinais: a) Contínuo no tempo b) Sequências de amostras obtidas para T = 125 s Sinal discreto no tempo

4. 2.1 Sinais Discretos no Tempo: Sequências • Sinais Digitais: sequências indexadas de números (reais ou complexos). O índice n é usado como tempo discreto, tal como o clock instantâneo de um processador digital. • Função impulso unitário discreta: Sequência de uma única amostra. ou 1 1 0 1 2 3 k k+1 3 0 1 2

5. Impulso unitário ou sequência unitária • O impulso unitário segue as mesmas regras da função impulso unitário ou função delta de Dirac. • A propriedade da integração da função impulso envolvendo deslocamento pode ser visto como a propriedade do somatório de sequências unitárias deslocados. Propriedade do deslocamento • Uma seqüência discreta pode ser expressa como a soma de impulsos unitários discretos, deslocados e multiplicados por um peso: • Outra interpretação usando convolução.

6. Função degrau unitário ou 1 1 3 4 5 0 1 2 3 k k+1 k+2 k+3 1 2 0 • Outra interpretação: e

7. Exponencial Senoidal

8. 2.2.1 Sistemas Discretos no tempo • Um sistema discreto no tempo é definido matematicamente como uma transformação ou um operador que mapeia uma sequência de de entrada com valor x[n] em uma outra sequência com valor y[n], isto é: Classificação: • Sistemas sem Memória • Sistemas Lineares • Sistemas Invariante no tempo • Sistema Causal • Sistema Estável

9. 2.2.2 Causalidade • Um sistema L é causal, se para qualquer no, os valores da sequência de saída para n = no dependem somente dos valores da sequência de entrada par n  no, ou seja y(n) é uma função de {…, x(n-2), x(n-1), x(n)} somente. • Teorema (LTI Causalidade) - Um sistema LTI com resposta impulso unitária h(n) é causal e e somente se: Prova: Uma entrada x(n) resulta em uma saída O segundo termo será zero para qualquer entrada se e somente se: ou (trocando a variável)

10. 2.2.3 Processamento em Tempo Real e Realizável • Um sistema pode ser processado em tempo real (produzindo uma saída imediata para cada instante de tempo n) se e somente se o sistema é causal. • Se o processamento em tempo real não é necessário, então o sistema pode ser chamado de realizável se a saída pode ser computada usando uma base com retardos, ou equivalentemente, se a resposta impulso pode se tornar causal por um dado número de deslocamentos, ou seja: e h(n) tornar-se-á realizável por um deslocamento de N amostras • Um sistema com um número infinito de coeficientes não causal na resposta impulso unitário é não realizável.

11. 2.2.4 Estabilidade • Um sistema L é estável no sentido BIBO (bounded-input, bounded-output stable) se somente se, para qualquer entrada limitada a saída resultante é também limitada. • Formalmente - O sistema L é estável se somente se para algum AR, A>0, é verdadeiro que: Então existe um BR, B>0, tal que: onde

12. Teorema (LTI estável) - Um sistema LTI é estável se somente se ele tem uma resposta impulso unitário h(n) absolutamente somável, ou seja: Prova: • Suficiência: Suponha que e que , para todo n. Então para qualquer instante de tempo n

13. Teorema (LTI estável): Prova • Necessidade: Por contradição, suponha que , e definindo x(n) como: Então Para a prova S é verdadeira se somente se T é verdadeiro.

14. 2.3.1 Sistemas discretos lineares e invariante no tempo (LTI) • Um sistema L é um processo de transformação de sinais. • Um sistema L é linear se, para qualquer x(n), v(n) tal que e qualquer constante , tem-se: • Um sistema é invariante no tempo (ou invariante ao deslocamento) se para todo x(n) tal que , tem-se, para todo k, que : e

15. 2.3.2 Resposta ao impulso unitário de um sistema linear • A resposta aoimpulso unitário de um sistema L é definida por: • Se o sistema L é LTI, então se Então: A resposta impulso unitário de um sistema LTI discreto no tempo caracteriza um sistema da mesma forma que caracteriza os sistemas LTI contínuos no tempo. • Resposta ao impulso unitário Resposta a qualquer entrada

16. 2.3.3 Resposta de sistemas LTI a uma entrada qualquer • A resposta de um sistema tem duas componentes: • Resposta devido ao estado inicial (resposta a entrada zero), • Resposta devido a entrada (resposta estado zero), • Supondo agora, que o estado inicial é zero, então: • Para determinar a resposta para uma entrada arbitrária x(n): (deslocamento) (linearidade) (se variante no tempo) (se for LTI)

17. 2.3.4 Convolução Soma • Segue a mesma regra da integral convolução para sinais contínuos no tempo. • Se L é um sistema LTI com resposta impulso unitário h(n), ou seja: e então É a convolução soma ou convolução discreta que pode ser diretamente avaliada diretamente para cada n, por computador ou na mão. • Exceto para certos sinais simples, uma forma fechada para o resultado é difícil de ser obtida. • A operação de convolução é representada por:

18. 2.4.1 Propriedades de Sistemas LTI • Todos os sistemas LTI são descritos são descritos pela convolução soma. • Comutativa: • Distributiva:

19. 2.4.2 Exemplos de Sistemas LTI • Retardo ideal • Média móveis • Acumulador • Forward Difference • Backward Difference

20. 2.5.1 Equação Diferença Linear com Coeficientes Constantes EDLCC • Um sistema LTI discreto LTI pode ser caracterizado por uma equação diferençalinear com coeficientes constantes (EDLCC). • Ela pode ser visto como o análogo discreto de uma equação diferencial linear com coeficientes constantes aplicada na teoria de sistemas contínuos. • Exemplo - Equação diferença genérica: que é uma soma ponderada de saídas deslocadas expressa como uma soma ponderada de entradas deslocadas para um dado instante de tempo.

21. 2.5.2 EDLCC Exemplo • Se M=0, a(0)=1; K=2, b(0)=1, b(1)=1/2, b(2)=1/8, então a ED torna-se Que tem uma representação gráfica (signal-flow graph): • Dado um sistema descrito por uma EDLCC, a saída do sistema pode ser encontrada pela solução da ED no domínio do tempo ou da transformada Z. • Solução no domínio do tempo: • Solução homogênea • Solução particular

22. 2.5.3 Solução Homogênea de EDLCC • Descreve o comportamento geral de um sistema (estado estacionário). • Supondo uma entrada nula: • A entrada nula de uma EDLCC’s é caracterizada por uma soma de respostas exponenciais da forma • Substituindo na EDLCC tem-se: ou Que é a equação que caracteriza a EDCC. Ela tem K raízes e portanto, K soluções.

23. 2.5.4 Solução da equação Característica • Case I: K raízes distintas tal que onde os coeficientes são determinados usando-se as condições iniciais, depois encontra-se a solução particular. • Case II: Múltiplas raízes. Por exemplo, supondo que a m-ésima raiz rm é uma raiz múltipla de ordemQ. Então a solução da equação homogênea será da forma: onde os coeficientes são determinados pelas condições de contorno.

24. 2.5.5 Exemplo: Solução da equação característica • Exemplo I: Suponha existe uma raiz dupla em 0.3 e uma raiz simples para 0.1. Então a solução da equação homogênea é: • Exemplo II: Dado um filtro digital A equação característica: [fazendo x(n)=0] Ou que tem raízes tal que a solução homogênea é:

25. 2.5.6 Raízes da equação característica • Função exponencial constitui-se em uma importante ferramenta na teoria de sistemas lineares discretos e contínuos. Serve como solução homogênea para as equações diferenças e equações diferenciais. • Condição de estabilidade BIBO: No contexto da transformada Z, as raízes da equação característica (geralmente complexa) deve satisfazer: para que o sistema causal seja estável (BIBO). • Representação gráfica das raízes: Outra maneira resolver é considerar que as raízes devem esta localizadas dentro do círculo unitário. Obs. No caso contínuo as raízes estão no semi-plano esquerdo.

26. 2.5.7 Solução particular da EDLCC • Conhecendo-se a solução forçada, a solução particular da EDCC depende da forma de entrada x(n). • Geralmente, a solução particular é difícil ou as vezes impossível de determinar de uma forma fechada, e então empregam-se métodos numéricos para encontrar uma solução aproximada. • A solução particular para uma dada entrada x(n) não especifica completamente a resposta, daí que deve ser adicionada solução homogênea. • Os coeficiente múltiplos da ED são encontrados aplicando-se condições iniciais extras.

27. 2.5.8 Encontrando a solução particular da EDLCC • Baseado na observação da forma de entrada, faz-se uma suposição para a forma de saída, por exemplo se a entrada é , supõem-se que a saída é: . • Este método trabalha com sequências de entrada da forma: , ou qualquer combinação linear ou produto entre elas. • Método para encontrar a solução particular. • Dada a entrada , supõem-se que . • Substitui-se na ED não homogênea e encontra-se • Aplicam-se as condições iniciais para resolver para resolver a equação e obter a solução total:

28. 2.5.9 Exemplo • Considere a seguinte EDLCC: • Encontre para dada: • a condição inicial: • entrada: • Solução numérica: • Deve-se encontrar uma forma fechada para a expressão de y(n).

29. 2.5.9 Solução Total da EDLCC • Solução homogênea: Seja . A equação característica é , que tem as seguintes raízes: Então: • Solução Particular: Como a entrada é , então Substituindo na equação diferença: Resolvendo a equação, tem-se: Então • Solução Total: , onde (Estável?)

30. 2.6.1 Resposta em Frequência • Suponha que entrada de um sistema LTI discreto resposta ao pulso unitário h(n) é uma função exponencial complexa • Então a saída é: • Note que isto é o produto da entrada com outra função somente de  (ou de somente): • A função é a resposta em frequência do sistema através da qual a função exponencial de entrada é escalada e transladada por: e

31. 2.7.1 Transformada de Fourier de Sequência • Definição: A transformada de Fourier (FT) de uma sequência x(n) é dada por: contanto que x(n) seja absolutamente: • A somabilidade absoluta (ou quadrática) é condição suficiente para a existência da FT. • Definição: A transformada de Fourier Inversa (IFT) da função é dada por: • Obs: A transformada de Fourier de uma sequência pode ser interpretada em termos da representação em série de Fourier.

32. Sinais: A transformada de Fourier de um sinal x(n) descreve o conteúdo de frequência do sinal. • Para cada frequência , o espectro de amplitude descreve a importância daquela frequência contida no sinal. • Para cada frequência , o Espectro de fase descreve a localização (deslocamento relativo) daquela componente de frequência do sinal. • Sistemas: A resposta em frequência de um sistema linear descreve como as frequências de entrada do sistema são modificadas • Uma componente de frequência da entrada é amplificada ou atenuada por um fator • Uma componente de frequência da entrada é defasada por uma quantidade 2.7.2 Interpretações da Transformada Fourier

33. Espectro de Amplitude de um filtro passa-baixa ou sistema passa-baixa 2.7.3 Exemplo: Filtro Passa-Baixa • O sinal discreto h(n) cujo espectro de amplitude é é composto principalmente por baixas frequências, isto é, frequências abaixo de uma dada frequência de corte . Frequências mais altas ocorrem com baixa amplitude. • Um sistema discreto com espectro de amplitude como mostrado acima deixa passar baixas frequência com um ganho maior que as altas. • As frequências mais altas se aproximam de

34. 2.7.4 Resposta de um sistema linear a uma entrada senoidal • Suponha que a entrada de um sistema linear real h(n), é uma função senoidal Mas E então: Como h(n) é real, , então

35. 2.7.5 Analise da resposta senoidal • A resposta a uma função senoidal com frequência não é afetada pelo processo de filtragem, exceto por um ganho (atenuação ou amplificação) e a fase por deslocamento • Definições: Espectro de amplitude da transformada de Fourier Espectro de Fase • A transformada de Fourier pode ser expressa na forma: onde,

36. 2.7.6 Exemplo: Função impulso • Função impulso: A n 3 -3 -2 -1 0 1 2 A 

37. A n -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 A  2.7.6 Exemplo: Função “Comb” • Função “Comb”:

38. A n -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 A  2.7.6 Exemplo: Função pulso triangular • Pulso triangular:

39. 1 n -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2  (a=2) 2.7.6 Exemplo: Exponecial unilateral • Exponencial unilateral:

40. 1 n -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 3  (a=2) 2.7.6 Exemplo: Exponencial bilateral • Exponencial bilateral:

41. 2.8.1 Propriedades de Simetria da Transformada Fourier • Definições: • Qualquer x(n) pode ser expresso como a soma de um sequência conjugada simétrica (x(n) real e par) com uma sequência conjugada antisimétrica (x(n) real e ímpar): onde, • Similarmente, a transformada de Fourier pode ser expressa como a soma de funções conjugadas simétricas e antisimétricas. Onde,

42. 2.8.2 Propriedades de Simetria da Transformada de Fourier Sequência x(n) Transformada de Fourier 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

43. 2.9 Teoremas da Transformada de Fourier Sequence x(n) and y(n) Fourier Transform 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Parseval’s Theorem

44. Exercício: Prova do Teorema de Parseval QED