Random Walk

1. Random Walk 36 försök med Random walk med 1000 steg. Beräknad genomsnittlig räckvidd är 100032. Visualisering av utfallsrum med en gränsfunktion. Fysikexperiment, 5p

2. Vad är slumptal? • Äkta slumptal utgår från fysikaliska processer! • - singla slant • - kasta tärning (jmf Lotto-spelen) • - antal radioaktiva sönderfall under en viss tid • Pseudo-slumptal genereras genom någon • (matematisk) metod! • - 7:e decimalen ur kvadratroten(ur alla heltal) • t.ex. (för att ta en enkel – men dålig – metod). • En standardslumptalsgenerator genererar slumptal • mellan 0 och 1 med en flat gränsvärdesfördelning. Fysikexperiment, 5p

3. Slumptal mellan 0 och 1 Funktionen rand() i MatLab 10 slumptal (bin=1/1000) 100 slumptal (bin=1/1000) 1 000 slumptal (bin=1/1000) 10 000 000 slumptal (bin=1/10000) Fysikexperiment, 5p

4. Summera slumptal mellan 0 och 1 I varje histogram finns 10 000 samplade värden på summorna Vi noterar att fördelningarna samlas kring det sanna värdet som i dessa fall är 1 (vänster), 2,5 (mitten) och 10 (höger) Fysikexperiment, 5p

5. Gränsvärdesfunktionen Blå kurva Grön kurva Röd kurva Fysikexperiment, 5p

6. Centrala gränsvärdessatsen Central Limit Theorem på engelska eller Normal Convergence Theorem • Om vi summerar ett stort antal slumpmässigt fördelade tal, så kommer den asymptotiska fördelningen för summan att under vissa allmänna villkor, gå mot en normalfördelning. • Detta gäller oberoende av hur fördelningen ser ut för de termer som ingår i summan!! Fysikexperiment, 5p

7. Normalfördelningsfunktionen • Normerad till 1, dvs integralen av f för - < x < + är 1. • Maximum vid x = m. • Symmetrisk runt x = m. • När s är litet så blir exponenten stor -> lutningen blir större. • När s är litet så blir normaliseringskonstanten större -> höjden vid toppen blir relativt sett högre. Men hur ser den ut då? Fysikexperiment, 5p

8. Grafisk form av Genom att sätta para- metern  = 0 (medel- värdet noll) skrivs funktionen: Sätter vi dessutom bredden  = 0 får vi: Fysikexperiment, 5p

9. Tolkningen av: Tolkning av normalfördelningsfunktionen som en sannolikhetsfördelning. Utfallet av en mätning ges med en viss sannolikhet. (99,73 %) (95,45 %) (68,27 %) Fysikexperiment, 5p

10. Felfunktionen erf(t) Notera att MatLabs erf(t) är definierad med s2 = 1/2 i motsats till bokens s2 = 1. Dvs sannolikheten att vid en mätning finna ett värde mellan -1 < t < +1 blir = erf(1/sqrt(2)) = 68,27% 0,6827 Fysikexperiment, 5p

11. Parametrarna för denasymptotiska fördelningen Mätningar ger oss en verklig fördelning som av många olika skäl bara innehåller ett mycket begränsat antal mätningar! Teorin ger oss en asymptotisk fördelning Minsta kvadratmetoden låter oss bestämma vilka värden på de teoretiska parametrarna som ger bästa överensstämmelsen Fysikexperiment, 5p

12. ”Real life” example! Vi noterar att statistiken (antalet händelser) är inte överväldigande. Stora fluktuationer i data – vad är signal och vad är inte signal? Generering av bakgrund (blå linje) med hjälp av slumptal (många stor- leksordningar högre statistik så att osäkerheten blir liten). Den röda kurva motsvarar en avvikelse från den röda med 5,3 standardavvikelser. Fysikexperiment, 5p

13. Längden av en student! Längden hos 18 manliga studenter på fysiklinjen 2002: 179, 176, 173, 174, 182, 191, 192, 182, 169, 170, 181, 183, 178, 173, 171, 177, 176, 184. Mindre bra Bättre Fysikexperiment, 5p

14. Histogram med anpassade data Fysikexperiment, 5p

15. En ”riggad” tärning Nedan visas utfallet för kast med en normal tärning. Gränsfunktionen förväntas vara en konstant P(x) = 1/6 för 1  x  6. Denna tärning misstänker vi vara riggad! Fysikexperiment, 5p

16. Bestämning av P(x) Antag att vi har antalet utfall som i figuren: p(1) = a, P(2) = b, P(3) = c, P(4) = d, P(5) = e, P(6) = f. Antag vidare att den ”sanna” fördelningen bör vara: P(1) = x, P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = y, P(6) = z. Vilka värden på parametrarna för den asymptotiska (sanna) fördelningen ger bäst överensstämmelse med observationerna? • Ett sätt att välja de “bästa” värdena för parametrarna är att minimera skillnaden mellan • observationer och förväntade värden: • Vi kan inte gärna välja att summera skillnaderna (observation – förväntad). Bidrag med olika • tecken kan då summeras till noll även om bidragen i sig är stora. • Summan av |observation – förväntad| löser det problemet, men två små avvikelser blir • lika viktiga som en stor. • Summan av (observation – förväntad)2 löser även det problemet. Denna metod - minsta kvadratmetoden har i allmänhet andra teoretiska fördelar, och är den som oftast används. Fysikexperiment, 5p

17. Minstakvadratmetoden Obs medelvärdet av b,c,d,e! ”a” mätt endast en gång (liksom ”y”)! Fysikexperiment, 5p

18. Exempel på utfall! Fysikexperiment, 5p

19. Nomenklaturen • Medelvärdet (stickprovsmedelvärdet) kan skrivas • Standardavvikelsen (stickprovsvariansen) kan skrivas (V = variansen) I MatLab beräknas medelvärdet: <x> = mean(x) I MatLab beräknas kvadratroten ur variansen: s = std(x) Fysikexperiment, 5p

20. Uppgifter • 4.2 • medelvärdet 9,7 • Standardavvikelsen = 0,2 (0,16) • 4.3 • Räkna själva med samma mall som ovan • 4.5 • På tavlan • 4.9 Fysikexperiment, 5p

21. Problem 4.2 Medelvärdet blir 9,70 och standardavvikelsen blir 0,10 som beräknas genom Observera att 0,10 (standardavvikelsen) INTE är ett mått på osäkerheten i medelvärdet! Detta återkommer vi till i nästa lektion. Fysikexperiment, 5p