Fraktale i samopodobieństwo w biologii i ekologii

1. Fraktale i samopodobieństwo w biologii i ekologii Przemysław Kuś geoinformatyka

2. Wstęp • fraktale to formy geometryczne, zawarte w dziale matematyki, który opisuje i analizuje nieregularności oraz złożoność struktur rzeczywistego świata • twórcą tej geometrii jest Benoit Mandelbrot • nazwa pochodzi od łacińskiego „frangere” – łamać • w matematyce definiuje się fraktale jako zwarte podzbiory topologicznej przestrzeni metrycznej S, charakteryzowane przez wymiar fraktalny D i miarę fraktalnąµ

3. Cechy charakterystyczne fraktali • samopodobieństwo • brak jednoznacznego kształtu • symetria • wymiar fraktalny, który nie jest liczbą całkowitą • nie są określone wzorem matematycznym, tylko zależnością rekurencyjną

4. Zastosowania fraktali • kodowanie obrazów cyfrowych – kompresja fraktalna • opis układów dynamicznych • przewidywanie zjawisk przyrodniczych (pogoda, trzęsienia ziemi) • tworzenie krajobrazów w grafice komputerowej • tworzenie fraktalnej muzyki • fraktale w sztuce • opis zjawisk biologicznych i budowy organizmów • opis i przewidywanie zjawisk w ekologii

5. Struktura komórek, białek i chromosomów • obliczono wymiar fraktalny tych struktur - wyniósł on 2.34 • w 1989 roku Smith udowodnił, że do określania złożoności komórkowej organizmów żywych (stopnia skomplikowania organizmów) można stosować wymiar fraktalny komórek (liczony z ich 2-wymiarowego obrazu) od roku 1989 uważa się, że chromosomy mają strukturę drzewiastą • już w 1985 roku stwierdzono, że wymiar fraktalny białek ma wpływ na ich reaktywność (białka o D>>2.4 wykazują największą reaktywność)

6. Sekwencje DNA • Sekwencje kodu w DNA • (Kwasie Dezoksyrybonukleinowym) wykazują samopodobieństwo. • Daje to następujące możliwości: • odtworzenie historii ewolucji poszczególnych • gatunków • szukanie wspólnych przodków kilku gatunków • modyfikowanie DNA, tworzenie nowych gatunków (???)

7. Struktury drzewiaste w organizmach żywych • płuca • naczynia krwionośne • większość komórek w sercu • komórki nerwowe (neurony)

8. Samopodobieństwo wśród drzew • wymiar fraktalny liści ma prawdopodobnie znaczenie taksonomiczne (jest podobny w obrębie gatunku lub rodzaju) • wymiar fraktalny systemu korzeniowego waha się w granicach 1.46 – 1.6 i nie różni się zbytnio w obrębie gatunku; korzenie młodszych osobników mają mniejszy wymiar fraktalny • wymiar fraktalny korony może mówić natomiast o warunkach wzrostu drzewa – im wyższy wymiar fraktalny korony, tym mniej niekorzystnych czynników miało wpływ na rozwój drzewa (np. było dobre nasłonecznienie, dostatek wody i substancji mineralnych w podłożu)

9. Przykłady roślinnych struktur rozgałęzionych

10. Ruchy i migracje zwierząt • trajektorie ruchu zwierząt w warunkach idealnych (płaska powierzchnia, nieruchome powietrze) dadzą się opisać modelami fraktalnymi • różny wymiar fraktalny torów ruchu wskazywać może np. na obecność w powietrzu różnych związków chemicznych, np. feromonów • także wiek ma wpływ na wymiar fraktalny torów ruchu zwierząt

11. Granice ekosystemów a zależności troficzne Na granicy ekosystemów lub mniejszych jednostek ekologicznych widać wyraźne zależności fraktalne. Np. kontakt zimnej wody morskiej z ciepłą – występuje tu wzmożona produkcja fitoplanktonu, co owocuje wzrostem liczebności populacji organizmów postawionych wyżej w łańcuchu troficznym (ryby, ptaki, ssaki). Na tej podstawie można badać wiele zjawisk związanych z przynależnością organizmu do jakiejś społeczności.

12. Geomorfologia i siedliska • wykonano szereg badań dotyczących wymiarów fraktalnych różnych elementów krajobrazu • odkryto, że lasy o mniejszym wymiarze fraktalnym są często pochodzenia antropogenicznego, podczas gdy pozostałe – zwykle naturalne • wymiar fraktalny jeziora może mówić o sposobie jego powstania i jego wieku • możliwość współwystępowania wielu gatunków roślin i zwierząt wzrasta, gdy wzrasta wymiar fraktalny krajobrazu, gdzie one występują

13. Bibliografia i zasoby : Granice chaosu. Fraktale – cz. 1, H.-O. Peitgen, H. Jurgens, D. Saupe, PWN, Warszawa 2002 arxiv.org/abs/cond-mat/9910422 discuss.santafe.edu/biofractals fizyq.fm.interia.pl/fraktale.htm members.aol.com/ wayneheim/3d.htm pl.wikipedia.org/wiki/Fraktal www.bath.ac.uk/~ma0lap/Fractreal.HTML www.ccs.fau.edu/~liebovitch/f-1-1.html www.chirurgia.com.pl/ogolne/fraktale.php www.faqs.org/faqs/sci/fractals-faq www.fractal.art.pl/obrazy.html www.fractals.issi.cerfim.ch www.if.uj.edu.pl/Foton/80/pdf/chaos_fraktale.pdf www.kne.umcs.lublin.pl www.umanitoba.ca