O Problema do Gato

1. Didáctica da Matemática – 2005 / 2006 O Problema do Gato Suponha que a terra é uma esfera perfeita. Ajustamos uma corda ao longo de toda a linha do equador. Se acrescentarmos um metro ao comprimento da corda, entre o equador e a corda passa um gato?

2. Se o equador fosse triangular? Didáctica da Matemática – 2005 / 2006 Provemos que a corda nos vértices tem que curvar. Temos:  = 2 π - (π /2 + π /2 + ) = π -  R   R  /2

3. O que dará a soma das partes da circunferência? 1 Seja n o número de partes da circunferência. Sabemos que a soma dos ângulos internos de qualquer polígono é dado por: n  = (n - 2) π Vejamos quanto é a soma das partes da circunferência. O ângulo interno das partes da circunferência é . Assim sendo: n  = n (π -) = n π – n  = n π - (n - 2) π= 2 π Logo podemos concluir que a soma das partes da circunferência dá uma circunferência inteira.   3 R 2

4. Se o equador fosse triangular? Didáctica da Matemática – 2005 / 2006 Seja P1 o perímetro do triângulo inicial. P1 = 3 L1 Seja P2 o perímetro da figura obtida pela corda. P2 = 3 L1 + 2πr ( 2πr é o perímetro da circunferência que se forma nos vértices da figura ) P2 = P1 +1  3 L1 + 2 π r = 3 L1 + 1  2 π r = 1  L1 r r = 1 / 2 π

5. Se o equador fosse um rectângulo? Didáctica da Matemática – 2005 / 2006 Seja P1 o perímetro do rectângulo inicial. P1 = 2C + 2L Seja P2 o perímetro da figura obtida pela corda. P2 = (2C+2L) + 2 π r Temos: P1+1 = P2 2C + 2L + 1 = 2C + 2L + 2 π r  1 = 2 π r  C L r r = 1 / 2 π

6. Se o equador fosse um Pentágono? Didáctica da Matemática – 2005 / 2006 Seja P1 o perímetro do pentágono inicial. P1 = 5 L Seja P2 o perímetro da figura obtida pela corda. P2 = 5 L + 2 π r Temos: P1+1 = P2  5 L + 1 = 5 L + 2 π r  1 = 2 π r  r L r = 1 / 2 π

7. Se o equador fosse um polígono com n lados? Didáctica da Matemática – 2005 / 2006 Seja P1 o perímetro do polígono inicial de lados li. Seja P2 o perímetro da figura que circunscreve a figura inicial. Então, Conclusão: Aumentando o número de lados de um polígono, aproximamo- -nos da circunferência.

8. Conclusão: Qualquer que seja a forma do equador, convexa, o gato passa entre a corda e o equador.

9. Se o equador fosse uma estrela? Didáctica da Matemática – 2005 / 2006

10. Didáctica da Matemática – 2005 / 2006 O Problema da Moeda Quantas voltas dá a Moeda móvel em torno de si própria?

11. À volta de um segmento? Didáctica da Matemática – 2005 / 2006 1/2 volta πr 1 volta

12. 2π/3 À volta de um triângulo? Didáctica da Matemática – 2005 / 2006 1/3 volta 1 volta 2/3 volta

13. À volta de um quadrado? Didáctica da Matemática – 2005 / 2006 1/4 volta 2/4 volta 3/4 volta 1 volta

14. Generalização … Didáctica da Matemática – 2005 / 2006 Quantas voltas dá uma moeda sobre si própria quando roda sobre um polígono convexo? n voltas = 1 + ( P moeda fixa / P moeda móvel) = = 1 + 2π rf / 2π rm = = 1 + rf / rm

15. Demonstração: Sabemos que nº de voltas = 2 k π , k  IR Por outro lado,

16. À volta de duas moedas?

17. Relacionando… • Ambos os problemas envolvem os ângulos externos do polígono que é considerado • O percurso que o centro da moeda descreve tem a forma da corda do problema do gato.

18. Trabalho Realizado por: • Ana Isabel Freitas nº 29295 • Ana Rita Dias nº 29235 • Cláudia Antunes Vieira nº 27950 • Maria de Fátima Peixoto nº 28228 • Sílvia Carina Inácio nº 28226 • Patrícia Lopes nº 27830 • Grupo A • Apresentação no dia : 16 de Dezembro de 2005