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Mathématiques SN

Mathématiques SN. La fonction LOGARITHMIQUE. Utilité du logarithme. Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE -. Sert à déterminer la valeur d’un exposant. « l’ exposant de la base  2 dont le résultat est 8  ». Exemples :. log 2 8. signifie. 2 ? = 8.

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  1. Mathématiques SN La fonction LOGARITHMIQUE

  2. Utilité du logarithme Mathématiques SN- La fonction LOGARITHMIQUE - • Sert à déterminer la valeur d’un exposant. « l’exposant de la base 2 dont le résultat est 8 » Exemples : log28 signifie 2? = 8 l’exposant, c’est 3 ! log28 = 3 donc « l’exposant de la base 3 dont le résultat est 9 » log39 signifie 3? = 9 l’exposant, c’est 2 ! log39 = 2 donc

  3. Utilité du logarithme Mathématiques SN- La fonction LOGARITHMIQUE - • Permet d’isoler « x » dans f(x) = cx . Exemple : Transformer les expressions exponentielles en expressions logarithmiques et vice-versa. a) 2x = 32 x = log232 b) 5x = 125 x = log5125 c) x = log4256 4x = 256 d) x = log381 3x = 81

  4. Définition et lois des LOG cx = y x = logcy Mathématiques SN- La fonction LOGARITHMIQUE - On sait que 3x = 27 x = log327 donc Par conséquent : Ex.: log4 1 = 0 car 40 = 1 logc1=0 (car c0 = 1) (car c1 = c) logcc=1 Ex.: log4 4 = 1 car 41 = 4 Lorsque la base « c » du logarithme est « 10 », on écrit log x au lieu de log10x. Lorsque la base « c » du logarithme est « e », on écrit ln x au lieu de loge x.

  5. ex = y x = logey logey = ln y donc et a) ex = 20 x = loge20 x = ln20 Exemples : b) ex = 6 x = loge6 x = ln6 x = loge56 c) x = ln56 ex = 56 x = loge40 d) x = ln40 ex = 40

  6. LOI # 1 + = 22• 23 = 25 On sait que : 4 • 8 = 32 On peut aussi dire que : Mettons en évidence la loi des exposants que nous avons utilisée : 2 3 5 + = Réécrivons cette loi des exposants en logarithmes : log24 log28 log232 + = log2(4 • 8) = logcm + logcn = logcmn Donc :

  7. LOI # 2 = 25 = 23 – On sait que : 22 32 = 8 On peut aussi dire que : 4 Mettons en évidence la loi des exposants que nous avons utilisée : 5 2 3 – = Réécrivons cette loi des exposants en logarithmes : log232 log24 log28 – = log2(32 / 4) = logcm – logcn = logc(m / n ) Donc :

  8. LOI # 3 x = ( 22)3 = 26 On sait que : = 64 4 On peut aussi dire que : 3 Mettons en évidence la loi des exposants que nous avons utilisée : • 2 3 6 = Réécrivons cette loi des exposants en logarithmes : • log24 log464 log264 = • log24 3 log243 = • 3 log24 log243 = ou n•logcm = logcmn Donc :

  9. LOI # 4 (Loi du changement de base) La définition d’un LOGARITHME nous permet de calculer facilement, par exemple, que : log2 8= 3 Cependant, comment calculer précisément une situation comme celle-là : log2 7= ??? Pour le faire, il faut absolument changer la base « 2 » du logarithme par une base « 10 » ou « e » (constante de Néper). Ce sont les deux seules bases que les calculatrices utilisent. Pour effectuer un changement en base « 10 », on utilise la relation suivante : logcm = (où log m = log10m)

  10. LOI # 4 (Loi du changement de base) logcm = log28 = = = 3 Exemple #1 : log39 = = = 2 Exemple #2 : log27 = =  2,81 Exemple #3 : log546 = =  2,38 Exemple #4 :

  11. LOIS DES EXPOSANTS LOIS DES LOG cm • cn = cm + n   logcmn = logcm + logcn = cm – n logc = logcm – logcn   logc mn = n • logc m  (cm)n = cmn  logcm = 

  12. Note : log3 x2≠ log3 2x car log3 x2= log3 (x • x) log3 2x = log3x • log3x LOIS DES LOG Ex.: log4 2x = log4 2 + log4 x  logc mn = logc m + logc n Ex.: log4 = log4 x – log4 3 logc = logc m – logc n  Ex.: log4 x2 = 2 log4 x logc mn = n • logc m  Ex.: log4 8 = logc m = 

  13. Réécrire les expressions à l’aide d’un seul logarithme. Exemples : a) log2 x2 – log2 x log2 x2 – log2 x = log2 = log2 x b) log5 (x + 2) + log5(2x)3 – log5 8x2 log5 [ (x + 2) • (2x)3 ] – log5 8x2 log5 [ (x + 2) • 8x3 ] – log5 8x2 = log5 [ 8x4 + 16x3 ] – log5 8x2 = log5 8x4 + 16x3 = 8x2 log5 8x4 + 16x3 = 8x2 8x2 log5 (x2 + 2x) = c) log6 2x4 + log6 3 log6 (2x4 • 3) log6 2x4 + log6 3 = log6 6x4 =

  14. Équations et graphique Mathématiques SN- La fonction LOGARITHMIQUE - f(x) = logcx (forme générale de BASE) Exemple : f(x) = log2 x f(x) = a logcb(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE) Exemple : f(x) = 3 • log2 6(x – 1) + 5 x = h (Équation de l’asymptote)

  15. Équations et graphique 1 1 Mathématiques SN- La fonction LOGARITHMIQUE - f(x) = log2 x (forme générale de BASE où c  1) 0  1 0 2 1 2 4 Asymptote x = 0 8 3 ½ -1 ¼ -2

  16. Équations et graphique 1 1 Mathématiques SN- La fonction LOGARITHMIQUE - f(x) = log½ x (forme générale de BASE où c  ]0, 1[) 0 Asymptote x = 0  1 0 2 -1 -2 4 8 -3 ½ 1 ¼ 2

  17. Équations et graphique 1 1 Mathématiques SN- La fonction LOGARITHMIQUE - f(x) = - log2 x (forme où c  1 et a = -1) 0 Asymptote x = 0  1 0 2 -1 -2 4 8 -3 ½ 1 ¼ 2

  18. Équations et graphique 1 1 Mathématiques SN- La fonction LOGARITHMIQUE - f(x) = log2 -x (forme où c  1 et b = -1) 0  1  -1 0 1 -2 -4 2 Asymptote x = 0 -½ -1 -¼ -2

  19. Équations et graphique 1 1 Mathématiques SN- La fonction LOGARITHMIQUE - f(x) = log2 (x + 4) (forme c  1 et h = -4) -4  -3 0 -2 1 2 0 Asymptote x = - 4 4 3

  20. Équations et graphique 1 1 Mathématiques SN- La fonction LOGARITHMIQUE - f(x) = a logcb(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE) c  1 x = h (Équation de l’asymptote) Dom f = ] k , +∞ Ima f =  Asymptote x = h c  ] 0 ,1 [

  21. Résolutions d’équations 1 1 Mathématiques SN- La fonction LOGARITHMIQUE - Exemple #1 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = log (- 4x + 13) . 0 = log (- 4x + 13) Il faut que - 4x + 13 > 0 donc que x < 13/4 100 = - 4x + 13 1 = - 4x + 13 -12 = - 4x 3 = x Asymptote x = 13/4 x  { 3 } Réponse :

  22. Exemple #2 : Trouver le zéro de f(x) = 3 log (4x – 3) + 1 . 0 = 3 log (4x – 3) + 1 Il faut que 4x – 3 > 0 donc que x > 3/4 - ⅓ = log (4x – 3) 10-⅓ = 4x – 3 0,464 = 4x – 3 3,464 = 4x 0,866 = x x  { 0,866 } Réponse :

  23. Exemple #3 : Résoudre 2 log3 (2x + 10) = 6 . 2 log3 (2x + 10) = 6 Il faut que 2x + 10 > 0 donc que x > - 5 log3 (2x + 10) = 3 2x + 10 = 33 2x + 10 = 27 2x = 17 x = 8,5 x  { 8,5 } Réponse :

  24. Exemple #4 : Résoudre 2 ln (x + 4)2= 12 . 2 ln (x + 4)2 = 12 Il faut que (x + 4)2> 0 donc que x > - 4 4 ln (x + 4) = 12 ln (x + 4) = 3 loge (x + 4) = 3 x + 4 = e3 x + 4 = 20,1 x = 16,1 x  { 16,1 } Réponse :

  25. Exemple #5 : Résoudre log3 (x + 36) – log3 (x – 18) = 1 . log3 (x + 36) – log3 (x – 18) = 1 Il faut que x + 36 > 0 et que x – 18 > 0 donc que x > - 36 et que x > 18 log3 = 1 = 31 x + 36 = 3 (x – 18) x + 36 = 3x – 54 90 = 2x 45 = x x  { 45 } Réponse :

  26. Résolutions d’équations EXPONENTIELLES 1- Exprimer les 2 membres de l’équation avec la même baseexponentielle 2 méthodes : 2- Utiliser les logarithmes Mathématiques SN- La fonction LOGARITHMIQUE - PROPRIÉTÉ IMPORTANTE DES LOG Si a = b , Ex.: Si 3 = 3 Alors log 3 = log 3 alors logc a = logc b De plus, nous pouvons utiliser ln au lieu du log afin de résoudre des équations ou inéquations exponentielles.

  27. Exemple : Avec LOG Avec LN 3x = 2x – 1 3x = 2x – 1 log 3x = log 2x – 1 ln 3x = ln 2x – 1 x •log 3 = (x – 1) • log 2 x •ln 3 = (x – 1) • ln 2 x •(0,477) = (x – 1) • (0,3) x •(1,1) = (x – 1) • (0,7) 0,477x = 0,3x – 0,3 1,1x = 0,7x – 0,7 0,177x = – 0,3 0,4x = – 0,7 x = – 1,7 x = – 1,7 x  { -1,7 } x  { -1,7 } Réponse : Réponse :

  28. Exemple #1 : Résoudre 42x – 3 = 5x . 42x – 3 = 5x ln 42x – 3 = ln5x OU 2x – 3 = log45x 2x – 3 = x •log45 (2x – 3) •ln 4 = x • ln 5 (2x – 3) •(1,386) = x • (1,61) 2x – 3 = x •1,16 2x – 3 = 1,16x 2,772x – 4,158 = 1,61x 0,84x = 3 1,162x = 4,158 x = 3,58 x = 3,58 x  { 3,58 } Réponse :

  29. Exemple #2 : Résoudre 3x + 2 = 45x . 3x + 2 = 45x log 3x + 2 = log 45x OU x + 2 = log345x x + 2 = 5x •log34 (x + 2) •log 3 = 5x • log 4 (x + 2) •(0,477) = 5x • (0,6) x + 2 = 5x •1,26 x + 2 = 6,3x 0,477x + 0,954 = 3x 2 = 5,3x 0,954 = 2,523x 0,378 = x 0,378 = x x  { 0,378 } Réponse :

  30. Exemple #3 : Résoudre log5 (x – 9) = log5 (4x) . log5(x – 9) = log5(4x) Il faut que x – 9 > 0 et que 4x > 0 donc que x > 9 et que x > 0 x – 9 = 4x – 9 = 3x – 3 = x À rejeter x  {  } Réponse :

  31. Exemple #4 : Résoudre log5 (x + 240) = log5 x + 2 . log5 (x + 240) = log5 x + 2 Il faut que x + 240 > 0 et que x > 0 donc que x > -240 et que x > 0 log5 (x + 240) = log5 x + log525 log5 (x + 240) = log5 (x  25) log5 (x + 240) = log5 (25x) log5 (x + 240) = log5(25x) x + 240 = 25x 240 = 24x 10 = x x  { 10 } Réponse :

  32. Résolutions d’inéquations 1 1 Mathématiques SN- La fonction LOGARITHMIQUE - Exemple #1 : Résoudre log2 (x + 4) + 5  – log2 (x – 6) + 9 . log2 (x + 4) + 5– log2 (x – 6) + 9 . Asymptote x = - 4 Asymptote x = 6

  33. Exemple #1 : Résoudre log2 (x + 4) + 5  – log2 (x – 6) + 9 . log2 (x + 4) + 5  – log2 (x – 6) + 9 Il faut que x + 4 > 0 et que x – 6 > 0 donc que x > - 4 et que x > 6 log2 (x + 4) + log2 (x – 6)  9 – 5 log2 [ (x + 4) •(x – 6) ]  4 (x + 4) •(x – 6)  24 x2 – 2x – 24  16 x2 – 2x – 40  0 x2 7,40 x1 – 5,40 À rejeter x  [ 7,40 , + Réponse :

  34. Exemple #2 : Résoudre (1/2)x + 3≤ 52x – 1 . log (1/2)x + 3≤log 52x – 1 . (x + 3) • log (1/2) ≤ (2x – 1) • log 5 (x + 3) • (- 0,3) ≤ (2x – 1) • (0,7) - 0,3x – 0,9 ≤ 1,4x – 0,7 - 0,2 ≤ 1,7x - 0,12 ≤ x x  [ - 0,12 , + Réponse :

  35. Résolutions d’une situation à l’aide des LOG Mathématiques SN- La fonction LOGARITHMIQUE - Exemple : Une bactérie double toutes les 5 heures. S’il y avait 500 répliques de cette bactérie au départ, après combien de temps y en aura-t-il plus de 100 000 ? N(t) = 500 (2)t/5 100 000 = 500 (2)t/5 200 = (2)t/5 = log2 200 = 7,64 Après 38,2 heures. Réponse : t = 38,2

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