ESCUELA :

1. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS ESCUELA: CienciasdelaComputación Ing. Ricardo Blacio NOMBRES: ABRIL - AGOSTO 2010 FECHA:

2. 3. Funciones y gráficas Sistema de coordenadas rectangulares y Fórmula de la distancia entre dos puntos d(P1,P2)= √(x2−x1)2+(y2−y1)2 P(a,b) b x a El punto medio M de un segmento entre P1yP2 M= x2+x1 , y2+y1 2 2 O

3. Gráfica de ecuaciones • Graficar una ecuación quiere decir representar en un plano coordenado todas los pares ordenados que hacen que la relación se cumpla. • Existen formas de graficar una ecuación marcando el mínimo número de puntos, esto se consigue aplicando ciertas propiedades. • Intersecciones con los ejes. • Simetrías.

4. Intersecciones: Estos valores se los encuentran haciendo x=0 para encontrar la intersección con y, y para encontrar la intersección con x, hacemos y = 0 Simetrías: • Para saber si la gráfica es simétrica con respecto • Al eje x sustituimos y por − y nos lleva a la misma ecuación. • Al eje y sustituimos x por − x nos lleva a la misma ecuación. • Al origen sustituimos simultáneamente x por − x y y por –y nos lleva a la misma ecuación.

5. Trace la gráfica de la ecuación: x = -y2 +3 • Intersección con x hacer y = 0 x = - (0)2 +3 x = 3 • Intersección con y hacer x = 0 0 = - y2 +3 y2 = 3 y =±√3 • Simetrías • Al eje x, sustituimos y por -y Lleva a la misma ecuación, por lo tanto es simétrica con respecto al eje x. x= - (-y)2 +3 x= - y2 +3 • Al eje y, sustituimos x por -x - x= - y2 +3 • Al origen, sustituimos x por –x y y por -y - x= - (-y)2 +3 - x= - y2 +3

6. Intersección con y Intersección con x

7. Circunferencias: La forma de la ecuación de una circunferencia con centro en el punto (h,k) esta dada de la siguiente manera:(x−h)2+(y−k)2=r2 Si la circunferencia tiene su centro en el origen del sistema, la ecuación adopta la siguiente forma: x2 + y2 = r2

8. Encuentre el centro y radio de la circunferencia x2 + y2 -10x +18 = 0 (x2 – 10 x + _ _ )+ y2 = -18 (x2 – 10 x + 25 )+ y2 = -18 +25 (x – 5)2+ y2 = 7 (x – h)2+ (y - k)2 = r2 h=5 y k = 0 Concluimos que la circunferencia tiene centro (5,0) y radio √7

9. Rectas Una recta queda definida si se conocen dos de sus puntos. • Formas de la ecuación de la recta: • General ax + by = c • Punto-pendiente y – y1 = m (x – x1) • Punto y pendiente con intersección con el eje y y = mx + b

10. La pendiente de la recta es: M = (y2-y1) / (x2-x1) • Rectas paralelas y perpendiculares • Dos rectas son paralelas si : m1 = m2; es decir si sus dos pendientes son iguales. • Dos rectas son perpendiculares si: m1m2 = -1; es decir el producto de sus dos pendientes es igual a -1.

11. Definición de función Una función es una relación en la que se agrega la restricción de que, a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo uno de los elementos del rango. Rango Dominio x y

12. Variables: • x se denomina variable independiente. • y se denomina variable dependiente. • Dominio • El dominio de una función es el conjunto numérico que contiene los valores de la variable independiente que hacen que la función dé como resultado un número real. • Rango • El rango, codominio o contradominio de una función es el conjunto numérico que se forma de los resultados de la función al aplicar los valores del dominio.

13. Gráficas de Funciones Toda función que tiene un dominio y un rango de números reales tiene una gráfica

14. Sea I un intervalo del dominio de una función f:f es creciente en I si f(x1) < f(x2) siempre que x1 < x2 en el intervalo I.f es decreciente en I si f(x1) > f(x2) siempre que x1 < x2 en el intervalo I.f es constante en I si f(x1) = f(x2) para toda x1 y x2. Función creciente, decreciente o constante

15. Al reemplazar la variable x por –x: Si f(-x) = f(x) la función es par Si f(-x) = -f(x) la función es imparSi f es par entonces es simétrica al eje vertical y.Si f es impar entonces es simétrica respecto al origen. Paridad de una función

16. Encuentre el dominio y la imagen de f si: Imagen Dominio Dominio: todos los reales excepto cuando x = -3 Creciente : (-∞, -3) Decreciente: (-3, +∞) Imagen: El intervalo abierto (0,+∞)

17. Tipos de Funciones Funciones Lineales Del tipo f(x) = ax + b a ≠ 0 Se llaman así porque su gráfica es una línea recta Funciones Cuadráticas Del tipo f(x) = ax2 + bx + c a ≠0 Su gráfica es una parábola

18. Traza la gráfica de f f(x) = (x - 3)2 - 2 Intersección con x hacer y = 0 0 = (x - 3)2 - 2 x2 - 6x + 9 – 2 = 0 x2 - 6x + 7 = 0

19. Intersección con y hacer x = 0 y = (0 - 3)2 - 2 Intersección con y y = 9 - 2 y = 7 Intersección con x y = x2 - 6x + 7 Centro de la parábola -b/2a -(-6)/2(1) = 3 y = (3)2 – 6(3) + 7 = 0 y = -2 Por lo tanto C(3,-2)

20. Traslación vertical y = f(x) – c ; c unidades hacia abajo. 2 f(x) = (x - 3)2 - 2 Traslación horizontal y = y f(x - c) ; c unidades a la derecha 3 Translaciones verticales de las curvas (c > 0) • Translaciones verticales de las curvas (c > 0) Translaciones horizontales de las curvas (c > 0)

21. Operaciones con funciones Son cuatro las operaciones fundamentales con funciones: suma, resta, multiplicación y división

22. Composición de funciones Se denota con “o” y se da entre dos o más funciones La función resultante será (f o g)(x) = f(g(x)) y en caso de (g o f)(x) = g(f(x))

23. Ing. Ricardo Blacio Docente – UTPL Correo electrónico: rpblacio@utpl.edu.ec