Twee soorten groei

1. Twee soorten groei 11.1

2. opgave 6 a N = 9,8 · 1,045t b invullen t = 6 N = 9,8 · 1,0456 ≈ 12,8 miljoen. c Los op : 9,8 · 1,045t = 16 voer in y1 = 9,8 · 1,045x en y2 = 16 intersect  x ≈ 11,1. Dus in 2004 + 11 = 2015 is het aantal inwoners voor het eerst meer dan 16 miljoen. d Los op : 9,8 · 1,045t = 2 · 9,8 voer in y3 = 2 · 9,8 intersect met y1 en y3 geeft x ≈ 15,7. Dus in 2004 + 15 = 2019 zal het aantal verdubbeld zijn.

3. Groeifactor en groeipercentage • neemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af, dan heb je met exponentiële groei te maken • v.b. Een bedrag van 250 euro neemt per jaar met 4,5% toe • 100% + 4,5% = 104,5%  : 100  × 1,045 • dan is de groeifactor 1,045 • formule : B = 250 × 1,045t • dus bij een groeifactor van 0,956 • is de procentuele afname 100% - 95,6% = 4,4% • we zeggen dat het groeipercentage - 4,4% is • bij een verandering van p% per tijdseenheid hoort • exponentiële groei met groeifactor g = 1 + p/100 • bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een • verandering van p = ( g – 1 ) × 100% 11.1

4. opgave 12 a De groeifactor per jaar is 1 + = 0,979. P = 94,2 · 0,979t b Los op : 94,2 · 0,979t = 55 voer in y1 = 94,2 · 0,979x en y2 = 55 intersect x ≈ 25,4 Dus in 1986 + 26 = 2012 is de productie voor het eerst minder dan 55 miljard kg. c 2005 : t = 19  N ≈ 62,939 miljard kg. 2000 : t = 14  N ≈ 69,986 miljard kg. De procentuele verandering = Dus een afname van 10,1%.

5. d Bij de plannen van de milieuorganisatie hoort de formule P = 94,2 – 1,4t met t in jaren na 1986 en P in miljarden kg. Voer in y3 = 94,2 – 1,4x intersect x ≈ 35,8 Vanaf het jaar 1986 + 36 = 2022 leiden de plannen van de milieuorganisatie tot een lagere mestproductie. P 94,2 44,0 y1 y3 t O 35,8

6. Groeipercentages omzetten naar een andere tijdseenheid. Bij exponentiële groei met groeifactor g per tijdseenheid, is de groeifactor per n tijdseenheden gelijk aan gn. Bij een groeifactor van 1,5 per uur hoort een groeifactor van 1,524 ≈ 16834,11 per dag en een groeifactor van 1,5¼ ≈ 1,11 per kwartier. 1,11  111%  toename per kwartier is 11%. Het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via groeifactoren. 11.2

7. opgave 36 + 6 x 2,5 g4 dagen = gdag = N = b · gt g ≈ 1,165 voor t = 4  N = 1000 Dus N = 543 · 1,165t. N = b· 1,165t 1000 = b· 1,1654 b ≈ 543 11.2

8. Logaritme en exponent 2x = 8 x = 3 want 23 = 8 2x = 8 ⇔ 2log(8) 23 = 8 ⇔ 2log(8) = 3 2log(32) = 5 want 25 = 32 algemeen: glog(x) = y betekent gy = x x > 0 , g > 0 en g ≠ 1 11.3

9. Rekenregels voor logaritmen Uit gy = x en glog(x) = y volgt gglog(x) = x. glog(a) + glog(b) = glog(ab) glog(a) – glog(b) = glog( ) n·glog(a) = glog(an) glog(a) = 11.3

10. De standaardgrafiek y = glog(x) 0 < g < 1 g > 1 y y x x O O 1 1 stijgend dalend domein < 0,  > bereik ℝ de y-as (x = 0) is asymptoot 11.3

11. Functies f en g met de eigenschap dat hun grafieken elkaars spiegelbeeld zijn in de lijn y = x heten inverse functies De standaardgrafiek y = glog(x) g > 1 0 < g < 1 y y y = x y = x y = 2x 1 y = (½)x 1 x x O O 1 1 y = 2log(x) y = ½log(x) 10.5

12. opgave 49 y b x = -3 a f (x) = g (x) 2log(6x) = 1 + 2log(x + 3) 2log(6x) = 2log(2) + 2log(x + 3) 2log(6x) = 2log(2(x + 3) 2log(6x) = 2log(2x + 6) 6x = 2x + 6 4x = 6 x = 1½ voldoet snijpunt (1½, 2log(9)) f g x O 1½ f (x) ≤ g (x) 0 < x < 1½

13. Opgave 56a