Download
1 / 30
310 likes | 908 Views
Darbas – Energija – Jėgų laukas. Energija – tai bendras kiekybinis materijos judėjimo ir sąveikos matas. Kiekybinis materijos judėjimo matas yra apibūdinamas Kinetine energija . Kiekybinis materijos sąveikos matas yra apibūdinamas Potencine energija. Mechaninis Darbas.
E N D
Darbas – Energija – Jėgų laukas Energija – tai bendras kiekybinis materijos judėjimo ir sąveikos matas. Kiekybinis materijos judėjimo matas yra apibūdinamas Kinetine energija. Kiekybinis materijos sąveikos matas yra apibūdinamas Potencine energija.
Mechaninis Darbas Kūnams veikiant vienas kitą jėgomis, tarp jų vyksta energijos mainai. Kad apibūdinti energijos perdavimą kiekybiškai įvedama darbo sąvoka. Mechaninis darbas – apibūdina veikiant jėgai vykstantį energijos perdavimo procesą. Skaitine verte darbas lygus veikiančios jėgos ir kieto kūno poslinkio vektoriaus sandaugai: Jeigu kūną veikia kelios jėgos, tai suminis darbas lygus visų atskirų jėgų atliekamų darbų algebrinei sumai: Mechaninis darbas yra skaliarinis dydis. Pagal jėgos pobūdį mechaninis darbas yra skiriamas: 1. Pastovios jėgos darbas, 2. Kintamos jėgos darbas.
Pastovios jėgos darbas Nekintant laike ir erdvėje jėgai atliekamas darbas yra vadinamas pastovios jėgos darbu. Jėgos kryptis nebūtinai turi sutapti su trajektorijos kryptimi. Šiuo atveju darbas yra lygus jėgos projekcijai trajektorijos ašyje ir nueito kelio sandaugai.
Kintamos jėgos darbas Jėga, atliekanti darbą gali kisti laike ir erdvėje. Šiuo atveju jėga patampa koordinatės ir laiko funkcija: Kintamos jėgos darbui apskaičiuoti nueitą kelią padalijame į elementariuosius kelius ds, kurie atitinka elementarų poslinkio vektoriaus dr dydį. Jo ribose jėga, o taip pat ir darbas nekinta. Elementarusis darbas kelyje ds yra: Elementarusis poslinkis erdvėje išsiskaido į komponentes, todėl: Kad surasti pilną darbą, reikia visus elementarius darbus integruoti išilgai erdvinės kreivės kreiviniu integralu: Kintamos jėgos darbas baigtiniame kelyje skaitine verte lygus kūną veikiančios jėgos projekcijos poslinkio vektoriaus kryptyje kreiviniam integralui.
Kinetinė energija Materialusis taškas juda erdvėje veikiamas atstojamosios jėgos: Taško poslinkis per nykstamai trumpą laiką dt yra: Tuomet atliekamas elementarus darbas: Elementariam pokyčiui: todėl: Atstojamosios jėgos darbas yra lygus tam tikro fizikinio dydžio, susijusio su kūno mase ir greičiu, pokyčiui. Jeigu tas pokytis teigiamas, darbas buvo atliktas padidinant kūno greitį. O jeigu v1 buvo lygus nuliui, darbas buvo atliktas perduodant m masės kūnui, energijos kiekį, kad jis įgytų greitį v2 arba v. Ši kūnui suteikta energija vadinama Kinetine energija ir žymima: Kinetinė energija yra kūno mechaninio judėjimo būsenos funkcija, ir yra lygi darbui, kurį reikia atlikti, kad šį kūną sustabdyti.
Besisukančio kūno kinetinė energija Naudojant kinetinės energijos išraišką materialiam taškui: ,jei , tada: Apie nejudamą ašį besisukančio kietojo kūno kinetinė energija lygi visų jį sudarančių materialiųjų taškų kinetinių energijų sumai: Apie nejudamą ašį besisukančio kietojo kūno kinetinė energija tiesiogiai proporcinga kūno inercijos momento ir kampinio greičio kvadratui.
Jėgų laukas • Kūnai gali sąveikauti (veikti vienas kitą jėga) dviem būdais: • Kontaktiniu būdu, • Jėgos lauku. • Toliveikos ir artiveikos sąveikos? • Kūnai neesantys kontakte, bet perduodantys vienas kitam sąveiką, ją perduoda • Baigtiniu greičiu per tarpininką, vadinamą Jėgų lauku. • Jėgų laukas – materijos forma, pasižyminti savybe veikti kūną jėga. • Jėgų laukų tipai (priklausomai nuo fundamentalių 4 sąveikos tipų): • Gravitacijos, • Elektrinis ir magnetinis, • Stiprusis, • Silpnasis. • Jėgos, kuriomis jėgų laukas veikia kūną, vadinamos potencialinėmis jėgomis. • Potencialinės jėgos gali neatlikti darbo, o jų atliktas darbas nepriklauso nuo • trajektorijos.
Potencinė energija Potencialinės jėgos kūną, esantį jėgų lauke, perkeldamos iš taško 1 į tašką 2 erdvėje, atlieka darbą. Jėgų laukas atlikdamas darbą pakeičia kūno energetinę būseną. Kūno padėties erdvėje funkcija, apibūdinanti jo energetinę būseną ir turinti energijos dimensiją, vadinama kūnopotencine energija. Potencialinių jėgų atliktas darbas yra lygus potencinės energijos pokyčiui: Potencinės energijos tikroji vertė lygi potencialių jėgų atliktam darbui perkeliant kūną į tą erdvės padėtį, kur potencialinių jėgų poveikis lygus nuliui. Šis dydis vadinamas potencialu. Paprastai įvertinant kūno potencinę energiją, nulinis lygmuo pasirenkamas laisvai. Pavyzdžiui, sunkio jėgos P veikiamo kūno, nedideliame aukštyje h nuo Žemės paviršiaus potencinė energija išreiškiama:
Tampriai deformuoto kūno potencinė energija Potencinę energiją turi ne tik kūnai esantys jėgų lauke, bet ir tarpusavyje sąveikaujančių tarpatominėmis jėgomis dalelių sistema – tamprusis kūnas. Tamprųjį kūną deformuojant, atsiranda tamprumo jėga, veikianti kūną sudarančių dalelių poslinkiams priešinga kryptimi. Mažoms deformacijoms tamprumo jėgai nusakyti tinka Huko dėsnis: tamprumo jėga F tiesiogiai proporcinga deformacijos didumui: Nedeformuoto kūno potencinė energija yra lygi nuliui: tada deformuoto kūno potencinė energija yra lygi:
Energijos tvermės dėsnis Tarkime i-oji dalelė, veikiama potencialinių jėgų atstojamosios ir nepotencialinių jėgų atstojamosios, pasislenka iš taško 1 į tašką 2. Šios jėgos atlieka darbą: kadangi: Skliaustuose esantys dydžiai yra dalelės pilnutinė energija esanti 1 ir 2 padėtyse. Dalelės pilnutinės mechaninės energijos pokytis yra lygus ją veikiančių nepotencialinių jėgų atliktam darbui. todėl: jeigu: , tai: ir Tai reiškia, kad uždaros sistemos pilnutinė energija nekinta, tik vienos rūšies gali virsti kita. Pavyzdžiui, kūnui krintant iš aukščio h:
Potencialinės jėgos ir potencinės energijos ryšys Tarkime dalelė, veikiama potencialinės jėgos: pasislenka: Potencialinės jėgos atliktas elementarus darbas: yra lygus potencialinės energijos pokyčiui, kurį galima išskaidyti į komponentes: tada: Matome, kad kiekvieną potencialinės jėgos narį atitinka neigiama potencinės energijos kitimo sparta erdvėje (išvestinė):
Potencialinės jėgos ir potencinės energijos ryšys įstatę į gauname: o tai yra: arba: Ši lygtis parodo kiekybinį potencialių jėgų ir potencinės energijos sąryšį erdvėje. Bet kokios skaliarinės funkcijos gradientas yra vektorius, apibūdinantis to šios funkcijos kitimo spartą erdvėje. Teigiamas gradientas nukreiptas šios funkcijos didėjimo kryptimi. Šioje lygtyje gavome neigiamą gradientą, o tai reiškia, kad potencialinė jėga yra lygi potencinės energijos gradientui ir nukreipta didžiausia jos mažėjimo kryptimi.
Centrinių jėgų laukas • Jeigu jėgų laukas: • Bet kokiame lauko taške esančius masės mi (i=1,2,3,…) materialiuosius taškus • laukas veikia atitinkamomis jėgomis Fi, kurių tąsos kertasi viename taške, • Lauko jėgos modulis proporcingas atstumo iki šio taško kvadratui. • Tokį lauką vadiname centrinių jėgų lauku. • Gravitacijos laukas yra centrinių jėgų laukas. • Per gravitacijos lauką persiduoda dviejų kūnų turinčių mases m ir m1 sąveika. • Šios sąveikos jėgos modulis pagal visuotinį traukos dėsnį yra lygus: Visuotinis traukos dėsnis: du taškiniai kūnai traukia vienas kitą jėga, proporcinga jų masių sandaugai ir atvirkščiai proporcinga atstumui tarp jų centrų kvadratu,
Gravitacijos laukas – jo stipris Visuotinės traukos dėsnio vektorinė išraiška: Antro kūno masę nukėlę į kitą pusę gausime dydį, nepriklausantį nuo jo masės: Kurio modulis: Gravitacijos lauko stipris – pagrindinė lauko charakteristika, savo moduliu ir kryptimi lygi jėgai, kuria tas laukas veikia tame taške vienetinės masės kūną. Jeigu erdvėje yra daug kūnų, jų suminis laukas apsirašo pagal laukų superpozicijos principą, t.y. lygus atskirų laukų stiprių sumai. Masės m kūno gravitacinio lauko stipris tiesiogiai proporcingas nuo kūno masei ir atvirkščiai proporcingas atstumo iki jo centro kvadratui. Lauką vadiname vienalyčiu, jeigu lauko stiprumo vektorius vienodas bet kokiame to lauko taške. Lauką vadiname stacionariu, jeigu lauko stiprumo vektorius nekinta laike.
Gravitacijos laukas – jo potencialas Gravitacijos laukas, perkeldamas m masės kūną iš padėties R į padėtį R+h, lygus: Kadangi potencialinių jėgų darbas lygus sistemos potencinės energijos sumažėjimui, gauname: dydis, vadinamas lauko potencialu. Lauko potencialas – energinė lauko charakteristika, apibūdinanti darbą perkeliant vienetinės masės kūną iš nagrinėjamo lauko taško į begalybę. Lauko potencialas su lauko stipriu susijęs tokia pat priklausomybe, kaip ir potencialinė jėga su potencine energija Ekvipotencialinis paviršius?
Specialioji Reliatyvumo teorija - Postulatai • Specialioji reliatyvumo teorija grindžiama dviem stebėjimų ir eksperimentų rezultatus • apibendrinančiais postulatais: • Visi fizikos dėsniai visose inercinėse atskaitos sistemose yra vienodi; • Šviesos greitis vakuume visose inercinėse atskaitos sistemose nepriklauso nuo šviesos • šaltinio ar stebėtojo reliatyvaus judėjimo (krypties ir greičio): visomis kryptimis šviesos • greitis yra vienodas. c=299792456,2 m/s • Apibendrinimas: • Nėra tokio fizikinio eksperimento (atlikto inercinėje atskaitos sistemoje), kuriuo galėtume • nustatyti inercinės atskaitos judėjimą. • 2. Pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą, šviesos greitis nesikeičia.
Specialioji Reliatyvumo teorija – SRT Kad išspręsti šių dviejų postulatų prieštaravimą, reikėjo sukurti tokią teoriją, kuri tenkintų abu postulatus. T.y., kad visose inrecinėse atskaitos sistemose mechanikos ir Elektromagnetizmo dėsniai būtų vienodi. Tokią teoriją sukūrė A. Einšteinas 1905 m. Ji vadinama specialioji reliatyvumo teorija. Ši teorija remiasi ne Galilėjaus, o Lorenco transformacijomis. Lorenco transformacijos tenkina abu postulatus atsižvelgdamos į erdvės ir laiko savybes. Naudojant Lorenco transformacijas, pereinant iš vienos inercinės atskaitos sistemos į kitą, nesikeičia nei mechanikos dėsniai, nei šviesos greitis. Tačiau esant greičiams artimiems c, keičiasi kiti kinematiniai ir dinaminiai parametrai, kurie klasikinėje fizikoje buvo laikomi pastoviais ir nepriklausančiais nuo judėjimo greičio. Esant mažiems, lyginant su c, greičiams Lorenco transformacijos virsta Galilėjaus transformacijomis ir fizikiniai reiškiniai aprašomi pagal klasikinius dėsnius. Todėl Specialioji Reliatyvumo teorija yra bendresnė teorija, tinkanti bet kokiems greičiams, apjungianti mechanikos dėsnius su elektromagnetizmo dėsniais.
Specialioji Reliatyvumo teorija – Lorenco transformacijos Paprasčiausio pavidalo Lorenco transformacijos išreiškiamos, kai nejudančios S ir judančios S’ atskaitos sistemų ašys yra lygiagrečios ir sistema S’ juda išilgai vienos ašies Ox pastoviu greičiu v0. Jeigu abiejose atskaitos sistemose laiko atskaitos pradžią pasirenkame tuo momentu, kai abiejų koordinačių sistemos pradžios O ir O’ sutampa, tai Lorenco transformacijos užrašomos: Atvirkštinės transformacijos:
Specialioji Reliatyvumo teorija – Lorenco transformacijos Lorenco transformacijose, tenkinančios SRT postulatus, transformuojamos ne tik nagrinėjamo įvykio koordinatės, bet ir vyksmo laikas. Laiko transformacijoje yra erdvinės koordinatės ir greitis. Todėl laikas yra reliatyvus ir neatskiriamas nuo erdvės. Kiekvienai inercinei atskaitos sistemai (IAS) yra savas laikas – visuose tos pačios IAS taškuose fizikiniai procesai vyksta vienoda sparta. Tie patys procesai, aprašomi iš judančios IAS, atitiks skirtingą laiką, priklausantį nuo koordinatės ir greičio.
Specialioji Reliatyvumo teorija – Vienalaikiškumo reliatyvumas Du įvykiai vykstantys skirtinguose pasirinktos koordinačių sistemos taškuose vadinami vienalaikiais, jeigu jie įvyksta tą patį laiko momentą, pagal tos atskaitos sistemos laikrodį. Nejudančios atskaitos sistemos S taškuose x1 ir x2, tuo pačiu metu (t1=t2=t0) įvyksta du tarpusavyje nesusiję įvykiai. Šių įvykių laiką judančioje sistemoje S’ apskaičiuojame pasinaudoję laiko transformacijomis. Ir , o skirtumas: Jeigu du įvykiai, kurie atskaitos sistemoje S vyksta tuo pačiu metu ir tame pačiame taške (x1=x2),atskaitos sistemoje S’ jie yra taip pat vienalaikiai (t’1-t’2=0) Tačiau įvykiai, vykstantys skirtinguose erdvės taškuose, sistemoje S’ jau yra nevienalaikiai.
Specialioji Reliatyvumo teorija – Reliatyvistinis sutrumpėjimas Sakykime judančios sistemos S’ atžvilgiu nejudantis strypas orientuotas išilgai O’x’ ašies. Šioje atskaitos sistemoje strypo galų koordinatės laikui bėgant nekinta, o savasis ilgis yra: Nejudančios sistemos S atžvilgiu strypas juda pastoviu greičiu v0 Tuo pačiu metu nejudančioje sistemoje (t1=t2=t0) išmatavę ilgį: , tačiau atliekant Lorenco transformacijas iš nejudančios strypo atžvilgiu į judančią sistemą: Jų skirtumas: įstatę l ir l0: Stebėtojui, kurio atžvilgiu kūnas juda, kūno tiesiniai matmenys yra trumpesni, negu matmenys nustatyti to stebėtojo, kurio atžvilgiu kūnas nejuda. Kūnui judant v0=0.87c, jo matmuo judėjimo kryptimi sumažėja perpus.
Specialioji Reliatyvumo teorija – Laikotarpio pokytis Pasirinkime judančioje sistemoje S’ nejudantį tašką A. Sakykime, kad šiame taške vienas po kito laiko momentais t’1 ir t’2 įvyksta du įvykiai. Laiko tarpas tarp įvykių šioje sistemoje bus: Nejudančioje sistemoje S šie įvykiai įvyksta skirtinguose erdvės taškuose atitinkamais laiko momentais t1 ir t2. Laiko tarpas tarp įvykių šioje atskaitos sistemoje: Tame pačiame erdvės taške nejudančios sistemos atžvilgiu laikai bus: ir , o jų skirtumas bus laiko tarpas tarp įvykių arba:
Specialioji Reliatyvumo teorija – Laikotarpio pokytis Laiko tarpas yra reliatyvus ir priklauso nuo judančios atskaitos sistemos judėjimo greičio nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu. Judančioje atskaitos sistemoje laiko tekmė vyksta lėčiau nejudančios sistemos atžvilgiu, t.y. judantis laikrodis eina lėčiau negu nejudantis. Jeigu judėjimo greitis yra v<<c abiejose sistemose laiko tarpas tarp įvykių yra vienodas, t.y. turime klasikinės mechanikos atvejį.
Specialioji Reliatyvumo teorija – Reliatyvistinė greičių sudėtis Nejudančioje atskaitos sistemoje S materialiojo taško greičio v projekcijos ašyse yra: Judančioje atskaitos sistemoje S’, greičio v’ projekcijos: Iš Lorenco transformacijų, pakeitę x ir x’ į dx ir dx’ gauname: Padaliję visus koordinačių diferencialus iš laiko diferencialo.
Specialioji Reliatyvumo teorija – Reliatyvistinė greičių sudėtis Gauname greičio projekcijų sudėties reliatyvistines formules: Taip pat ir atvirkštinės greičio projekcijų sudėties formules: Kadangi atskaitos sistema juda išilgai Ox ašies kryptimi, projekcija vx lygi greičio moduliui, O projekcijos vy ir vz lygios nuliui. Taip pat ir atvirkštinėms greičio sudėties formulėms:
Specialioji Reliatyvumo teorija – Reliatyvistinė greičių sudėtis Todėl gauname vienos krypties greičių sudėties išraišką: Vadinamą reliatyvistiniu greičio projekcijų sudėties dėsniu: Pagal šį dėsnį galima įsitikint, kad šviesos greitis abiejose sistemose yra vienodas. Tarkime, kad atskaitos sistema S’ juda atžvilgiu S greičiu v0=c. Sistemoje S’ šviesos greitis vakuume v’=с. Tada šviesos greitis nejudančioje sistemoje bus: Todėl, Lorenco transformacijos, iš kurių išvesta reliatyvistinio greičių sudėties dėsnio formulė. tenkina antrąjį SRT postulatą. Jeigu greičiai v0, v ir v’ maži, lyginant su c, reliatyvistinės greičių sudėties formulės virsta klasikinėmis.
Specialioji Reliatyvumo teorija – Reliatyvistinė dinamika Pagal SRT pirmąjį postulatą, visi fizikos dėsniai visose inercinėse atskaitos sistemose yra vienodi. Mechanikoje šis postulatas gali būti patenkintas tik naudojant Lorenco transformacijas. Mechanikos dėsniai, tenkinantys šią salygą ir aprašantys kūnų judėjimą ir jį sukėlusias priežastis vadinami reliatyvistines mechanikos dėsniais. Fizikos šaka, tirianti kūnų judėjimą esant greičiams artimiems c, vadinama reliatyvistine mechanika. Reliatyvistinėje dinamikoje įrodoma, kad II Niutono dėsnis vienodas visose inercinėse atskaitos sistemose tik tuomet, kai impusas išreiškiamas: dydį: vadiname reliatyvistine mase. - dydį, kai v=0, vadiname mase.
Specialioji Reliatyvumo teorija – Reliatyvistinė dinamika Reliatyvistinės masės išraiška rodo, kad reliatyvistinė masė yra didesnė už rimties masę ir priklauso nuo judančio kūno greičio nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu. Kūno greičiui artėjant į c, reliatyvistinė masė artėja link begalybės. Naudojantis reliatyvistine impulso išraiška II Niutono dėsnis užrašomas:
Specialioji Reliatyvumo teorija – Masės ir energijos sąryšis SRT įrodė universalųjį kūno reliatyvistinės masės ir pilnitinės energijos sąryšio dėsnį: Ši lygtis sieja energiją su reliatyvistine mase ir teigia, kad masė ir energija viena be kitos neegzistuoja ir visada proporcingos viena kitai. Iš šios lygties seka, kad nejudančio kūno ar dalelės energija lygi: Ši energija vadinama rimties energija.
Specialioji Reliatyvumo teorija – Reliatyvistinė Kinetinė energija Atėmę iš kūno pilnutinės energijos rimties energiją, gauname reliatyvistinę kinetinę energiją: Kai kūno greitis žymiai mažesnis už c, gauname klasikinę kinetinės energijos išraišką:
