Estadígrafos de posición

1. Estadígrafos de posición Pedro Godoy G. Colegio Ingles Saint John

2. Media Aritmética Valor representativo de un conjunto de datos Para datos no agrupados Sean x1, x2 , x3 , x4,…………………………, xn un conjunto de datos no agrupados Donde n es la cantidad de elementos de la muestra

3. Este tipo de medidas nos permiten identificar y ubicar el punto (valor) alrededor del cual se tienden ha reunir los datos (“Punto central”). NOTA: en las poblaciones se denominan parámetros y en las muestras se les denomina estimadores.

4. Propiedades La interpretación de la media como centro (o punto de equilibrio) de los datos se apoya en una propiedad que afirma que la suma de las desviaciones de un conjunto de observaciones a su media es igual a cero; es decir, puede probarse que

5. Ejemplo

6. Propiedad 2 • Si los valores x de un conjunto de datos aumenta o disminuye en un valor fijo entonces su media aritmética cambia en la misma dimensión • Si los valores x de un conjunto de datos aumenta o disminuye en un valor variable entonces su media aritmética cambia en la misma dimensión M(a x)=a M(x)

7. Media aritmética en datos agrupados Cálculo de la media aritmética cuando los datos se repiten. 1º. Se multiplican los datos por sus frecuencias absolutas respectivas, y se suman. 2º. El resultado se divide por el total de datos. Ejemplo. Las notas de un grupo de alumnos fueron: Datos por frecuencias Total de datos

8. psu En el siguiente gráfico, la media aritmética de la muestra es: • 4,075 • 4,100 • 4,125 • 4,150 • 4,175

9. Mediana La mediana, a diferencia de la media no busca el valor central del recorrido de la variable según la cantidad de observaciones, sino que busca determinar el valor que tiene aquella observación que divide la cantidad de observaciones en dos mitades iguales. Por lo tanto es necesario atender a la ordenación de los datos, y debido a ello, este cálculo depende de la posición relativa de los valores obtenidos. Es necesario, antes que nada, ordenar los datos de menor a mayor (o viceversa).

10. La mediana La mediana de un conjunto de datos es un valor que supera al 50% de la muestra y al mismo tiempo es superado por el otro 50 % de la muestra Los pesos, en kilogramos, de 7 jugadores de un equipo de fútbol son: Ejemplo: 72, 65, 71, 56, 59, 63, 72 1º. Ordenamos los datos: 56, 59, 63, 65, 71, 72, 72 2º. El dato que queda en el centro es 65. La mediana vale 65. Caso: Si el número de datos fuese par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales. Para el conjunto 56, 57, 59, 63, 65, 71, 72, 72, la mediana es:

11. Mediana para datos agrupados 1° paso : Obtener la frecuencia acumulada 2° paso : buscar la frec acumulada mas pequeña que supere a la mitad de la muestra 3° paso : Obtener el intervalo mediano Fórmula

12. Psu

13. Años de estudio

14. Datos FrecFac ¿Cuál es la mediana?

15. Moda La moda, es aquel dato, aquel valor de la variable que más se repite; es decir, aquel valor de la variable (que puede no ser un único valor) con una frecuencia mayor.

16. La moda de un conjunto de datos es el dato que más se repite. Ejemplo. Una zapatería ha vendido en una semana los zapatos que se reflejan en la tabla: El número de zapato más vendido, el dato con mayor frecuencia absoluta, es el 41. Lo compran 35 personas La moda es 41.

17. Cálculo de la moda • Si todas las puntuaciones de una distribución tienen la misma frecuencia consideraríamos que no existe moda. • Cuando en las puntuaciones de una distribución vemos que dos de ellas son adyacentes, tienen la misma frecuencia, y además es mayor que el resto de las frecuencias de las demás puntuaciones, consideramos que la moda es el promedio de estas dos puntuaciones. • Ejemplo: 1, 1, 4, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 9, 10 En este caso la moda sería la media entre 6 y 7. Mo = 6,5 • En el caso de encontrarnos con dos puntuaciones que sin ser adyacentes tienen la misma frecuencia y además es mayor que la de otra puntuación cualquiera, entonces nos encontramos con una distribución bimodal. • Ejemplo: 1, 1, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 7 Mo = 3 Mo = 6

18. Cálculo de la moda d1: diferencia entre las frecuencias del intervalo modal y el intervalo anterior. d2: diferencia entre las frecuencias del intervalo modal y el inmediato superior. Li: es el límite inferior real del intervalo modal. I: amplitud del intervalo. Si los datos están agrupados, entonces la moda es el punto medio del intervalo que registra la mayor frecuencia, a lo que llamamos intervalo modal. Con datos agrupados se aplica la siguiente fórmula:

19. Cálculo de la moda • Primero se debe calcular el punto medio del intervalo modal. En este caso el intervalo modal es el 28 – 33 y su punto medio es 30,5. • Calculamos ahora las diferencias de las frecuencias del intervalo modal con el intervalo anterior y posterior: • d1 = 18 – 12 = 6 • d2 = 18 – 17 = 1 • Ahora aplicamos la fórmula: • La siguiente tabla presenta la frecuencia de edades de una muestra agrupada por intervalos. Calculemos la moda de las edades.

20. El histograma de la distribución correspondiente al peso de 100 alumnos de 4° medio es el siguiente: ¿Cuál es la moda?

28. Medidas de Posición: Cuartiles • Si un conjunto de datos se ordena de acuerdo con su magnitud, el valor central que divide al conjunto en dos partes iguales es la mediana. • Extendiendo esta idea, es posible considerar los valores que dividen al conjunto en cuatro partes iguales. • Estos valores, denotados por Q1, Q2 y Q3, se denominan como primero, segundo y tercer cuartiles, respectivamente, donde Q2 es la mediana.

29. Medidas de Posición: Cuartiles • Dada la definición, Q1 deja el 25% de los datos debajo de él y 75% por encima, Q2 el 50% por abajo y por encima de él y Q3 deja el 75% de los datos debajo de él y el 25% arriba.

30. Medidas de Posición: Cuartiles Cálculo de cuartiles en datos no agrupados: • Primero de ordena los datos, luego se aplica la siguiente fórmula para encontrar los datos que corresponden a los cuartiles: • Cuando no se obtiene números enteros, el resultado se aproxima • A continuación se le asigna a los cuartiles el valor de los datos correspondientes.

31. Medidas de Posición: Cuartiles • Ejemplo: • Calcular los 3 cuartiles de: • 1, 6, 79, 104, 224, 247, 253, 282, 418, 446, 578, 621, 704, 751, 796, 844, 930 • Primero se deben contar: N=17 • Luego se calculan los cuartiles:

32. Medidas de Posición: Cuartiles

33. Medidas de Posición: Cuartiles • La fórmula para calcular los cuartiles en datos agrupados es:

34. Medidas de Posición: Cuartiles

35. Medidas de Posición: Cuartiles • Los resultados son:

36. Medidas de Posición: Quintiles • Al igual que con los cuartiles, los quintiles son los datos que dividen la muestra en cinco partes iguales, agrupándolas en los porcentajes 20, 40, 60 y 80. • Se denominan Q1, Q2, Q3 y Q4.

37. Medidas de Posición: Quintiles Cálculo de quintiles en datos no agrupados: • Primero de ordena los datos, luego se aplica la siguiente fórmula para encontrar los datos que corresponden a los quintiles: • Cuando no se obtiene números enteros, el resultado se aproxima • A continuación se le asigna a los quintiles el valor de los datos correspondientes.

38. Medidas de Posición: Quintiles • Nótese que: • Quintil 1=1/5=0,2 • Quintil 2=2/5=0,4 • Quintil 3=3/5=0,6 • Quintil 4=4/5=0,8 • Por lo que para obtener la observación de cada quintil, hay que multiplicar N por el tanto por uno que corresponda.

39. Medidas de Posición: Quintiles • Dados los siguientes datos, calcular Quintil 1, Quintil 2, Quintil 3 y Quintil 4. • 39, 90, 99, 107, 155, 186, 234, 262, 275, 310, 336, 368, 395, 405, 424, 479, 496, 541, 546, 571, 673, 713, 716, 738, 753, 784, 793, 816, 840, 969, 976, 986, 998

40. Medidas de Posición: Quintiles • En este caso, debemos multiplicar 33 por 0.2, 0.4, 0.6 y 0.8. El resultado que obtenemos es: • Quintil 1: 6.6 → X7 • Quintil 2: 13.2 → X14 • Quintil 3: 19.8 → X20 • Quintil 4: 26.4 → X27

41. Medidas de Posición: Quintiles • Y esos valores son

42. Medidas de Posición: Quintiles • La fórmula para calcular los quintiles en datos agrupados es:

43. Medidas de Posición: Quintiles N =23578

44. Medidas de Posición: Quintiles • El resultado es:

45. Medidas de Posición: Deciles • Al igual que en los casos anteriores, los valores que dividen los datos en 10 partes iguales son llamados decíles, los cuales se denotan por D1, D2, …, D9. • En donde cada decil representa al 10%, 20%, …, 90% de los datos, respectivamente.

46. Medidas de Posición: Deciles Cálculo de deciles en datos no agrupados: • Primero de ordena los datos, luego se aplica la siguiente fórmula para encontrar los datos que corresponden a los deciles: • Cuando no se obtiene números enteros, el resultado se aproxima • A continuación se le asigna a los deciles el valor de los datos correspondientes.

47. Medidas de Posición: Deciles • Al igual que en ,os casos anteriores, se puede deducir que los factores por los que se debe multiplicar N son: • D1 =1/10=0,1 • D2 =2/10 0,2 • D3 =3/10=0,3 • D4 =4/10=0,4 • D5 =5/10=0,5 … • D9 =9/10=0,9

48. Medidas de Posición: Deciles • La fórmula para calcular los deciles en datos agrupados es:

49. Medidas de Posición: Percentiles • Como en los casos anteriores, los valores que dividen los datos en 100 partes iguales se conocen como percentiles y se indican como P1, P2, …, P99. • Representando cada uno de ellos al 1%, el 2% y el 99% de los datos, respectivamente.

50. Medidas de Posición: Percentiles Cálculo de deciles en datos no agrupados: • Primero de ordena los datos, luego se aplica la siguiente fórmula para encontrar los datos que corresponden a los percentiles: • Cuando no se obtiene números enteros, el resultado se aproxima • A continuación se le asigna a los percentiles el valor de los datos correspondientes.