Динамика на относителното движение на материална точка

1. Динамика на относителното движение на материална точка Учебни въпроси: Преносна и кориолисова инерционна сила Диференциални уравнения на динамиката наотносителното движение. Частни случаи на относително движение.

2. 1. Преносна и кориолисова инерционна сила 1.1 Постановка на задачата. В предходната лекция разбрахме как се определя движението на една материална точка М на която действат силите F1, F2, ……Fn. Задачата се решаваше с помощта на основното уравнение на динамиката m.a = F [1], където F = ∑ Fi Изрично трябва отново да подчертаем обаче, че във формулировката на нютоновите закони на движението беше казано, че те важат за Коперниковата координатна система и следователно аозначава ускорението на точката спрямо тази координатна система. И така всички резултати, които получихме, важат при предположение, че координатната система S – Oxyz e коперникова или друга система, неизменно свързана с коперниковата и неподвижна спрямо нея. На практика обаче, твърде често се работи със земната или локална координатна система, неизменно свързана със земната или с координатни системи, които се движат спрямо Земята – самолети, кораби и др. И затова естествено възниква въпроса:

3. Постановка на задачата (продължение) Какво ще бъде движението на точка М, ако се наблюдава от една подвижна координатна система S1 – O1x1y1z1? т.е. Поставяме си следната основна задача: Да се изучи движението спрямо подвижната координатна система S1 на една материална точка, на която действат силите F1,F2,……Fn. Движението на S1 спрямо S (коперниковата координатна система) е познато.

4. 1.2 Решение на задачата Нека да използваме теоремата на Кориолис: aa = ar + ap + ac, тогава уравнението [1] добива вида: m.ar + m.ap + m.ac = F1 + F2 +…+ Fn [2]; Прехвърляме събираемите m.ap и m.ac в дясната част и означаваме с Фp и Фc изразите: Фp = - m.apи Фc = - m.ac, Получаваме: m.ar= F1 + F2 +…+ Fn+ Фp + Фc или m.ar= F+ Фp + Фc[3] .Уравнението [3] се нарича основно уравнение на динамиката на релативното движение. Силата F = ∑ Fi е равнодействаща на сумата външни сили; Силата Фp = - m.ap= - m.[a01 + є1 x r2(1)+ ω1 x (ω1 x r2(1)) се нарича преносна инерционна сила. Силата Фc = - m.ac,= - m.2 ω1 x vrel се нарича кориолисова инерционна сила. С въвеждането на двете инерционни сили ние свеждаме задачата до една обикновена динамична задача, т.е. можем да смятаме, че координатната система S1 e неподвижна (фиктивно).

5. 2. Диференциални уравнения на динамиката на относителното движение. Видяхме, че основното уравнение на динамиката на релативното движение [3] се съставя, както в коперникова система с поправката, че към дадените реални сили се прибавят и инерционните сили – преносната и кориолисовата. Този подход можем да наречем “частично прилагане метода на Даламбер” (защо частично?). 2.1 Диференциални уравнения на динамиката на относителното движение в координатна форма. Ако проектираме основното уравнение [3]:m.ar= F+ Ф1 + Ф2 върху осите на подвижната координатна система – S1 (O1x1y1z1), се получава: m.x1 = Fx1 + Фpx + Фcx, m.y1 = Fy1 + Фpy + Фcy, [4] m.z1 = Fz1 + Фpz + Фcz, Уравненията [4] представляват диференциалните уравнения на релативното движение на материална точка в координатна форма. Обикновено тези диференциалните уравнения се решават с помощта на числени методи или други приближени способи.

6. 2.2 Диференциални уравнения на релативното движение в естествена координатна система. В много случаи е целесъобразно проектирането на основното уравнение [3] да се извърши върху естествения триедър на Френе на релативната траектория: m.dvr/dt = Ft + Фpt + Фct m.vr/ρr = Fn + Фpn + Фcn [5] 0 = Fb + Фpb + Фcb Тук t, nи b са тангентата, главната нормала и бинормалата към релативната траектория, а ρr– радиусът на кривината й. Уравненията[5] представляват диференциалните уравнения на релативното движение в естествена координатна система. 2

7. y2 y1 r1 y x2 x1 M2 M1 t t t О2 О1 2 n 2 2 t n z2 z1 O x t n z 3. Частни случаи 3.1. Подвижната координатна система S1 извършва равнинно движение.(є и ωvr). Преносната инерционна сила при равнинно движение ще бъде: Фp= - m.ap, където: ap = aO1 + єxr1 + ωx(ωxr1). Тук: ap=aM1 –ускорението на съответната точка M1 aO1 – ускорението на центъра на подвижната координатна система S1(O1x1y1z1) єxr1 = ap M1O1;ap= є.r1.sin90 = є. r1 = aM1O1; ωx(ωxr1) = (ω.r1).ω – (ω.ω).r1 = 0 – ω.r1 = = - ω.O1M1 = + ω. M1O1 = aM1O1// M1O1. Или: ap = aM1 = aO1+ єxr1- ω.r1= aO1+ aM1O1+ aM1O1 Тогавапреносната сила ще бъде: Фp= - m.ap= = - m.(aO1+ aM1O1+ aM1O1). Кориолисовата силаФc = - m.aс; Фc = 2m. ω. vr (по големина), а по посока Фcvr и противоположна на aс [6] тангециално пренос. ускорение нормално преносно ускорение

8. t n n n t t t n 2 n 2 3.2 Ротационно движение на подвижната координатна система около неподвижна ос. Ако преносното движение е само ротация около неподвижна ос, то ускорението на т.О1- центъра на подвижната координатна система, ще бъде равно на нула, защото тази точка лежи на оста и е неподвижна, т.е. ао1 = 0. Тогава преносната и кориолисовата инерционни сили ще бъдат: Фp= - m.ap= - m.(aM1O1+ aM1O1) = - m. aM1O1- m.aM1O1 = Фp + Фp; Фp= - m. є.r1 ,Фp = - m.ω. r1, където: r1 = O1M1 – радиус на въртене, разстояние от неподвижната ос до “съответната” точка. Фc = - m.aс; Фc = - 2m. ωxvr или по големина: Фc = - 2m. ω.vr.sin(ω^vr). Посоката на кориолисовата сила ще бъде противоположна на кориолисовото ускорение. Когато ротацията е равномерна (прим. като въртенето на Земята), то ъгловото ускорение е равно на нула, а ъгловата скорост е постоанна, т.е. є = 0 и ω= const. Тогава: Фp= - m. є.r1= 0 и Фp= - m.ap= - m. aM1O1. По големина Фp = - m.ω. r1, а по посока ще бъде насочена противоположно на нормалното ускорение – центробежна инерционна сила. Големината и посоката на кориолисовата сила ще се определя, както в общия случай на ротационно преносно движение. t

9. 3.3 Преносното движение е транслация При транслационно движение на подвижната координатна система S1 (O1x1y1z1) преносната ъглова скорост ω= 0, следователно и кориолисовата сила ; Фc = - 2m. ωxvr = 0. Тогава уравнението на релативното движение ще има вида: m.ar= F+ Фp = F - m. aO1 Ако транслационното движение е неравномерно и криволинейно, преносното ускорение aO1, а следователно и преносната инерционна сила Фp могат да се проектират върху осите на естествената координатна система на Френе. Ако преносното движение е равномерна и праволинейна транслация, т.е. ω= 0, aO1= 0, ще имаме освен Фc= 0 и Фp= 0 Тогава:m.ar= F [7] !!! сравнете с: m.a= F [1] – основното уравнение на динамиката. Този резултат е много важен, защото се вижда, че в този частен и специален случай уравнението [7] има същия вид, както нютоновото основно уравнение [1].

10. Принцип на относителността (релативността) в класическата (нютоновата) механика. Следователно може да се каже, че нютоновият закон за движението е в сила не само за Коперниковата координатна система S, но и за всяка друга координатна система S1, която извършва праволинейна и равномерна транслация спрямо S (такива координатни системи се наричат “галилееви”, а някой ги наричат “инерциални”). В този случай релативното движение от динаминачна гледна точка не се отличава с нищо от абсолютното. Това положение, наречено принцип на Галилей-Нютон за относителността в класическата механика, може да се формулира по следния начин: “Механичните явления в неподвижна система и в галилеевите системи протичат съвършено еднакво” Обобщението на този принцип доведе Айнщайн до неговата “обща теория на относителността”. Може да се замислим и да направим извода, че никакви механични опити не могат да докажат дали дадена система се намира в покой или извършва транслационно, равномерно и праволинейно движение.

11. 3.4 Други задачи на релативното движение • При какви условия релативното движение ще бъде праволинейно и равномерно? т.еvrel = const (ar = 0) Заместваме в m.ar= F+ Фp + Фc[3] и получаваме: F+ Фp + Фc = 0, което изразява условието за праволинейно и равномерно релативно движение. • Кога, при какви условия една точка ще се намира в покой (равновесие) спрямо подвижната координатна система. т.е. vrel = 0 и ar = 0. Щом ar = 0, то лявата част на [3] (m.ar)става равна на нула, а щом vrel = 0, то кориолисовата сила ще бъде равна на нула. Тогава уравнението [3] ще добие вида: F+ Фp = 0. И така получихме следното условие за релативно равновесие: За да бъде точката М в релативен покой, трябва сборът от силите F и преносната инерционна сила да бъде равен на нула. • Как да определим елементите на преносното движение, ако релативното движение е познато? (обратна задача) Изхождайки от уравнението на Нютон и теоремата на Кориолис, лесно може да се стигне до уравнението: m.aр= F+ Фr + Фcq[8], което се нарича основно уравнениe на динамиката на преносното движение. Уравнението [8]може да се проектира върху осите на неподвижната координатна система или върху осите на естестествената система.

12. Въпроси ?