4. Beschleunigte Bezugssysteme und starre Körper 4.1. Translation und Rotation, Scheinkräfte

1. z φ Rotation: y Momentane Winkelgeschwindigkeit x fest beschleunigtes, rotierendes System Inertialsystem ( ruhendes Referenzsystem ) m Σ 4. Beschleunigte Bezugssysteme und starre Körper 4.1. Translation und Rotation, Scheinkräfte Translation: Allgemein: Überlagerung

2. beschleunigtes, rotierendes System Translation Rotation Inertialsystem ( ruhendes Referenzsystem )  Dynamik: m Σ Trägheitskräfte („Scheinkräfte”) Kinematik (vgl. Theorie):

3. Anzeige der Waage: Realisierung: m Freier Fall: „Schwerelosigkeit” Waage Rakete: Sturzflug: (falls Masse an Waage fixiert) Beispiel 1:Geradlinig beschleunigte Bewegung

4. m z y Coriolis-Kraft Zentrifugal-kraft x Coriolis-Kraft: v-abhängig Zentrifugalkraft: radial, -abhängig . m Zentrifugal-kraft Beispiel 2:Gleichförmige Rotation

5. Schwerelosigkeit im Orbit F = 0 Beispiel: Raumfahrt Künstliche Schwerkraft „Unten“ = radial ω

6. 1. Sichtweise:  in Erde, nicht rotierend  Kreisbewegung 2. Sichtweise: erdfest, rotierend  feste Position ( Kräftefreiheit ) 3. Sichtweise: im Satellit, nicht rotierend  feste Position ( Kräftefreiheit ) Geostationäre Bahn:Satellit  Erde

7. Gravitationskraft des Mondes Zentrifugalkraft durch Rotation um Schwerpunkt Erde Schwerpunkt: Σ Mond Flutberg Flutberg Beispiel:Geodit (Erdform)  Rotationsellipsoid definiert NN (Normal-Null), RÄquator RPol  20 km Beispiel:Gezeiten

8. Pendelebene (Aufsicht, Nordhalbkugel) : Corioliskraft Beispiel: Foucault-Pendel Berlin:   52,5 TS  30,25 h S  11,9  h Erde  Pendel hängt „schief“ Σ: Erde dreht sich unter Pendel durch

9. Beispiel: Hurricane

10. Homogene Körper  dm dV M O 4.2. Dynamik des starren Körpers 4.2.1. Bewegung des starren Körpers Def.:Starrer Körper System von Massenpunkten fester Relativkoord. • Komponenten der Bewegung: • Translation: Massenpunkte laufen auf kongruenten Bahnen • Rotation: Massenpunkte laufen auf konzentrischen Kreisen

11. Def.:Massenmittelpunkt (MMP) Folgerung:Gesamtimpuls Bewegungsgl.:  Translationsbewegung: Der MMP bewegt sich wie ein Massen- punkt der Masse M unter dem Einfluss der externen Kräfte. Dieser Teil ist also gewöhnliche Punktmechanik. Dieses Kapitel: Rotationsbewegung um den ruhenden MMP

12. . MMP Mg Experimentelle Bestimmung des Massenmittelpunkts: Stabile Lage Experiment: MMP

13. MMP MMP MMP Mg Mg Mg Experiment: Stabilität des schiefen Turms stabil labil instabil

14. Def.:Trägheitsmoment (bezüglich der Drehachse) dm Folgerung: 4.2.2. Rotationsenergie r Drehachse (nicht notwendig um MMP)

15. R Achse z L 0 Vergleich: Vollzylinder: Hohlzylinder: Vollkugel: Hohlkugel: 0,4 : 0,5 : 0,667 : 1 Beispiel: Vollzylinder (  Tafelrechnung)

16. M Δt Energiebilanz (  Tafelrechnung )  ω h Abrollender Faden M Zylinder auf schiefer Ebene Beispiel:„Rollende“ Zylinder

17. Beispiel:Maxwell-Rad M Faden Drehachse 2r m R h M Tafelrechnung 

18. Totale kinetische Energie: Rotation um MMP: Translation von MMP: (Kreisbewegung um Achse) MMP Drehachse (nicht um MMP) Rotation um Drehachse:  Steinerscher Satz: Folgerung:Steinerscher Satz S Es reicht, Drehachsen zu betrachten, die durch den MMP gehen. Die Übersetzung auf parallelverschobene Achsen ist trivial.

19. Masse m Trägheitsmoment (bzgl. Drehachse) Geschwindigkeit  Winkelgeschwindigkeit Kinetische Energie Rotationsenergie 4.2.3. Drehmoment und Drehimpuls( vgl. Theorie) Translation  Rotation

20. Impuls  Drehimpuls Kraft  Drehmoment Bewegungsgleichung  Translation  Rotation

21. Referenzpunkt Bewegungsgleichung der Rotation: Folgerung:Drehimpulserhaltung Wirken keine äußeren Drehmomente auf einen Körper (bzgl. eines Referenzpunktes), bleibt der Drehimpuls (bzgl. des Referenzpunktes) konstant.

22. Steinerscher Satz R R R0 M, J Teller (Tafelrechnung) Dreh-achse φ Rückstell-feder t Periode T Beispiel: Drehschwingungen φ

23. T2 R2 α

24. Experiment:Rolle mit Faden Kein Drehmoment

25. Trägheitstensor und • Trägheitstensor  Körpereigenschaft, unabhängig von Drehachse • symmetrisch: • positiv definit: 4.2.4. Trägheitstensor( vgl. Theorie) in Komponenten mit

26. S  präzediert um  es wirkt „Unwucht” Beispiel:Rotation des H2-Moleküls H H Feste Drehachse

27. Spezialfall: Drehung um Symmetrieachse S Beispiel:Körper mit Rotationssymmetrie  Töpferei Schwerpunkt liegt auf Symmetrieachse

28. Folgerung: Folgerung: Zusammenhang von J bzgl. Drehachse mit Tensor :

29. Definition:Trägheitsellipsoid  alle mit P Tafelrechnung  steht senkrecht auf Trägheitsellipsoid  i.a. gilt z y x

30. z y Hauptträgheitsmomente (HTM) x   große Halbachse   mittlere Halbachse   kleine Halbachse Folgerung: falls Hauptachsen des Trägheitsellipsoiden: Drehung ( x , y , z )  (  ,  ,  ) sodass ζ ξ η Hauptachsen ξ, η, ζ stehen senkrecht auf Oberfläche

31. ζ η ξ N η ζ ξ O O NO2 - Molekül Buch η ζ ξ ξ a η a ζ ξ ξ Kugel Würfel η η ζ ζ Definition: Asymmetrische Kreisel:Jζ Jη Jξ Jζ Symmetrische Kreisel:2 HTMe gleich, z.B. Rotationskörper Prolate Kreisel: Jζ< Jη Jξ Oblate Kreisel: Jζ Jη Jξ Sphärische Kreisel:Jζ Jη JξTrägheitsellipsoid  Kugel

32. Wegen folgt: (samt Entartung bei Symmetrie) Stabilität freier Achsen:( vgl. Theorie) große Halbachse   stabil gegen kleineStörung mittlere Halbachse   instabil kleine Halbachse   stabil Definition:Freie Achsen Mögliche Drehachsen ohne äußere Drehmomente

33. 4.3. Der Kreisel Bisher: feste bzw. freie Drehachse Kreisel: fester Punkt, bewegliche Drehachse • Beispiele: • kräftefreie Körper  fester Massenmittelpunkt (MMP) • gestützter Kreisel Unterstützung in S  kräftefreier Kreisel Schwerpunkt S Unterstützung jenseits S Gravitation Drehmoment  Präzedierender Kreisel

34. Symmetrieachse = Figurenachse= Hauptachse Drehachse (körperfest) (im raumfesten System) S körperfestes, rotierendes Hauptachsensystem Jx Jy 4.3.1. Kräftefreier symmetrischer Kreisel z y Nutation x

35. liegt auf Schnittkurve • Ellipsoid rotiert im raumfesten System um raum- und körperfeste Kugel: • rotiert im körperfesten System um Schnittkurve körperfester Ellipsoid: Nutation von Figurenachse und Drehachse: Lx , Ly , Lz: körperfeste Komponenten Lz Ly Lx

36. Rastpolkegel, Öffnungswinkel βα (Ort der momentanen Drehachse) z α α Lz  Jz· ωz β β Nutationskegel Öffnungswinkel α Gangpolkegel, Öffnungswinkel β (rollt auf Rastpolkegel ab) Nutation im raumfesten (nicht rotierenden System): Figurenachse z 

37. 4.3.2. Präzession des symmetrischen Kreisels Betrachte Figurenachse  keine Nutation  Tafelrechnung  i) Präzession des Gyroskops: Faden m Laufachse S

38. α ωP α (  const. ) S α Tafelrechnung  ii) Kinderkreisel

39. Drehmoment durch Erddrehung  Erddrehung ωE Ost West iii) Kreiselkompass  Nord – Süd – Ausrichtung

40. Sonnenanziehung  Zentrifugalkraft Sonnenanziehung  Zentrifugalkraft 23,5° S1 zur Sonne Ekliptik (Ebene der Erdumlaufbahn um die Sonne) S2 Zusätzlich: Rotationsachse  Figurenachse  Nutation iv) Erdpräzession Erde (Rotationsellipsoid)