1 / 20

YMT 222 SAYISAL ANALİZ (Bölüm 5)

YMT 222 SAYISAL ANALİZ (Bölüm 5). Prof. Dr. Asaf Varol 2012-2013 Bahar Dönemi. Sayısal İntegral. Sayısal İntegral. Sayısal integrasyon analitik olarak çözülemeyen belirli integrallerin kullanımı için birincil anahtardır. Analitik çözüm yapmaz. Sayısal integrasyon formülü:

omar
Download Presentation

YMT 222 SAYISAL ANALİZ (Bölüm 5)

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. YMT 222 SAYISAL ANALİZ (Bölüm 5) Prof. Dr. Asaf Varol 2012-2013 Bahar Dönemi

  2. Sayısal İntegral

  3. Sayısal İntegral • Sayısal integrasyon analitik olarak çözülemeyen belirli integrallerin kullanımı için birincil anahtardır. Analitik çözüm yapmaz. Sayısal integrasyon formülü: • Biz eşit aralıklı noktalarda fonksiyon değerleri kullanan birkaç temel nümerik yaklaşım formülleri araştırıyoruz. Bu metotlarNewton-Cotes formülleriolarak bilinir. Kullanılan integrasyon aralığının sonunda fonksiyon değerlerinin olup olmadığına bağlı olarak İki tip Newton –Cotes formülü vardır. TrapezveSimpsonkuralları “kapalı” formüllerin örnekleridir. Son nokta değerlerini kullanırlar. Midpointkuralı “açık” formüllerin en basit örneğidir ve son noktayı kullanmazlar.

  4. Basit bir yolla yaklaşım yapar. Eğri altındaki alanı düz bir doğru yoluyla eğriye yaklaştırır. Trapez (Yamuk)yaklaşımı düz doğru yoluyla eğri noktalarını aktarır.[a, f(a) ve b, f(b)], son iki nokta veya aralığa dikkat edilmelidir. x0=a, x1=b,veh=b-a, ise Newton-Cotes Kapalı Formülleri Trapez (Yamuk)Kuralı

  5. Örnek • Trapez kuralı kullanılarak e-x^2integralinin hesaplanması • Değeri bilinmeyen integralin tam değeri fonksiyon için çok önemlidir • Trapez kuralı kullanarak bulalım (bu örnek için (b-a)/2=1) • Fonksiyon doğru yaklaşımı ile aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

  6. Matlab Programı

  7. Diyagram

  8. Newton-Cotes Kapalı FormülleriSimpson Kuralı • Simpson kuralı kuadratikpolinom yaklaşımı yoluyla fonksiyonu integre edersek • Yaklaşık integral • Örnek simpson kuralını kullanarak p/4 yaklaşmını bulunuz. • İntegralin kesin değeri

  9. Newton-Cotes Kapalı FormülleriSimpson Kuralı (Devam)

  10. Matlab Programı

  11. Diyagram

  12. Newton-Cotes Kapalı FormülleriMidpoint Kuralı • Trapez ve Simpson kuralları Newton-Cotes kapalı formüllerinin en basit örnekleridir. Kapalı formüller integrasyon aralığının son noktasında fonsiyon değerlendirmede kullanılır. Eğer biz aralıksız noktalarda sadece fonksiyon değerlendirmeyi kullanırsak en basit formülü (Newton-Cotes açık formülleri) Midpoint kuralıdır. Midpoint kuralı: • Örnek:sinx/x integralini Midpoint kullanarak bulun

  13. Midpointkuralı kullanımıyla bulunan alanın gerçek değeri karşılaştırılması sağ tarafta verilmiştir. Bu alan S integrali ve yaklaşımı tarafından midpoint kullanımıyla verilmiştir. Şekil

  14. Matlab Programı

  15. Diyagram

  16. Gaussian Kuadratik • Newton-Cotes formülleri bağımsız değişkenin uzay değerlerinin fonksiyonunun değerlendirilmesi tabanlıdır. Gaussian integral formülleri yüksek dereceden olası polinomlar için doğru formüllerle seçilen doğru noktaların fonksiyonlarını değerlendirir. Gaussian integral formülleri genellikle [-1 1] integrasyon aralığında hızlıdır. • Gaussiankuadratik formülünün genel biçimi • Burada xi noktanın yaklaşık değeridir ve n seçimine bağlı ci katsayısı üstünde kuadratik noktalar x1 ,…, xn ,n dereceden sıfır olmayan Legendrepolinomu katsayı yakınsamasında kullanılır. 2n-1 dereceden polinom için gerçek integrasyon formülüdür.

  17. Gaussian kuadratik • Örneğin iki değerlendirme noktası Gauss-Legendrekuadratikkuralı için 3. dereceden eklenen polinomiçin şu formdadır; • Gauss-Legendrekuadratik kuralı n=3 değerlendirme noktası için 5. dereceden eklenen polinom için sahip olduğu form şu şekildedir; • Gauss kuadratik parametrelerin değerleri xi ve ci için n=2….4 aşağıda tablo verilmiştir.

  18. Örnek • e-x^2 [-1 1] üstünde Gaussiankullanarak;

  19. Bölüm 5 Sonu

  20. Referanslar Celik, Ismail, B., “IntroductoryNumericalMethodsforEngineering Applications”, Ararat Books & Publishing, LCC., Morgantown, 2001 Fausett, Laurene, V. “Numerical Methods, Algorithms and Applications”, Prentice Hall, 2003 by Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ 07458 Rao, Singiresu, S., “Applied Numerical Methods for Engineers and Scientists, 2002 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458 Mathews, John, H.; Fink, Kurtis, D., “Numerical Methods Using MATLAB” Fourth Edition, 2004 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458 Varol, A., “SayisalAnaliz (Numerical Analysis), in Turkish, Course notes, Firat University, 2001

More Related