§3-5 Rayleigh-Ritz 分析法

1. 第 三 章 §3-5 Rayleigh-Ritz分析法 （简称R-R法） R-R法是目前用于缩减自由度的主要方法，这种方法可用于求大型系统广义特征问题部分特征解的近似值。 第5节 Rayleigh—Ritz分析法 适用求广义特征问题 第四章介绍的各种方法基本都与R-R有关。 本节主要介绍用于求最低m阶特征解的R-R法。 一、基本思想、计算公式和步骤 R-R法在理论上的主要依据是，各阶特征值是 Rayleigh商的极值或驻值。

2. 第 三 章 1、基本思想是：选择m个线性无关的RitZ基向量 第5节 Rayleigh—Ritz分析法 它们张成一个m维子空间 而Rayleigh商在子空间 中存在m个极值点。 这m个极值点就是系统前m阶特征值在 子空间中最佳近似值，同时也求得相应的 特征向量近似值。

3. 第 三 章 2、计算公式推导（即R-R法求解过程） ①选择m个线性无关的Ritz基向量 第5节 Rayleigh—Ritz分析法 ——张成 ②设 是 子空间中的任一向量， 则它可以表示为m个Ritz基向量的线性组合， 即

4. 第 三 章 式中： —— Ritz基向量矩阵 第5节 Rayleigh—Ritz分析法 ——Ritz坐标向量。 的Rayleigh商 ③求向量

5. 第 三 章 其中： —[K]在 —[M]在 上投影 上投影 第5节 Rayleigh—Ritz分析法 ④可见，Rayleigh商ρ是Ritz坐标向量 的函数， 因此，求驻值 即：

6. 第 三 章 第5节 Rayleigh—Ritz分析法 可得 * 这是m阶广义特征问题，它的特征解为 （例如可用广义Jacobi法求式*）

7. 第 三 章 这些特征向量 也满足如下正交条件 第5节 Rayleigh—Ritz分析法 ⑤原n阶广义特征问题最低m阶特征解的近似值为

8. 第 三 章 可见近似特征向量 是m个Ritz向量的线性组合。 第5节 Rayleigh—Ritz分析法 ⑥证明近似特征向量 也满足对原矩阵[K]和[M]相互正交。 设 将 代入

9. 第 三 章 得 第5节 Rayleigh—Ritz分析法 即 即

10. 第 三 章 对[M]、[K]正交！ 这说明近似特征向量 当然模也规范化。 第5节 Rayleigh—Ritz分析法 ，所以 但是注意：由于 不一定是精确特征向量。 只能是前m个特征向量的近似值。 由上述R-R法推导过程可见： ，R-R法可使一个大型特征问题变成一个 小型问题。这给仅需求若干最低阶特征解的大多数 工程问题，提供了很大的方便。

11. 第 三 章 3、R-R法的具体计算步骤 ①选择m个线性无关的Ritz基向量： 第5节 Rayleigh—Ritz分析法 ②计算投影矩阵 和

12. 第 三 章 ③求解降阶的广义特征问题 ∵当K、M对称， 第5节 Rayleigh—Ritz分析法 且一个正定时， 也对称、正定！ 例如可用广义Jacobi法求出 ④原系统前m阶特征解的近似值：

13. 第 三 章 二、R-R法的精度分析 R-R法的精度取决于哪些因素呢？ 第5节 Rayleigh—Ritz分析法 从解不难看出：R-R法精度完全取决于 即取决于 的品质。 ——由 张成。 设 为真实前m个特征向量子空间。 若 则R-R精度好！接近精确解！ 下面从两个方面说明R-R法的精度。

14. 第 三 章 1、用R-R法求得的近似特征值，总是大于等于精确值 即 第5节 Rayleigh—Ritz分析法 即：从上界接近精确特征值。 证明： ①由Rayleigh商的特性可知，Rayleigh商的 极小值为 因此，一定存在 ②证明

15. 在 中可以有无穷多个！ 第 三 章 和 是子空间 的两个任意向量。 设向量 第5节 Rayleigh—Ritz分析法 即 设 —第一阶近似特征向量（由R-R法求出） —第一阶精确的特征向量 i）设 满足约束条件 （此约束表示： 中不含有 ！） 为近似第一阶特征向量！

16. 第 三 章 满足此约束条件 的Rayleigh商的极小值为： 第5节 Rayleigh—Ritz分析法 ii）又设 满足约束条件： ！） （此约束表示： 中不含 为精确第一阶特征向量！ 满足约束条件 的Rayleigh商的极小值为： 即 iii）比较两种约束条件可以得出：

17. 第 三 章 向量 所受的约束比向量 严， 因为向量 第5节 Rayleigh—Ritz分析法 不但含有 成份，而且还可能含有其他精确特征 向量成份，因此有 iv）设 是n维空间中的向量，它具有约束条件为 中不含 成份 的Rayleigh商的极小值 则

18. 第 三 章 v）比较 和 所受的约束条件，即 第5节 Rayleigh—Ritz分析法 可见 所受的限制比 严格！ 所以存在 vi）又∵ ③同理可证：

19. 第 三 章 因此：用R-R法求得的近似特征值，总是大于等于 精确值，即 第5节 Rayleigh—Ritz分析法 证毕。 由此特性可得： ） 当[K]正定时，（即 也一定正定（即 ） 同时，该特征性也说明，R-R法所求得的解只能是 前m阶特征解的近似值。从上界接近精确值。

20. 第 三 章 2、R-R法在什么情况下可求的精确的特征解？ 与前 可以证明：当Ritz基向量所张的子空间 第5节 Rayleigh—Ritz分析法 m个特征向量所张的子空间 重合时，R-R法可 求得精确的特征解。 证明：设 与 由于子空间 重合 则m个Ritz基向量可表示为前m个特征向量 的线性组合。

21. 第 三 章 即 第5节 Rayleigh—Ritz分析法 式中 前m个精确特征向量。 将这m个Ritz向量 写成矩阵，即：

22. m个Ritz向量矩阵 第 三 章 即 第5节 Rayleigh—Ritz分析法 将上式代入投影矩阵：

23. 第 三 章 即 第5节 Rayleigh—Ritz分析法 将 代入 、 即m阶的广义特征问题。 即

24. 第 三 章 左 乘得： 令 第5节 Rayleigh—Ritz分析法 或 则有 标准特征问题 立即可解出： 可见: 为前m阶特征值精确值。

25. 第 三 章 而 则 第5节 Rayleigh—Ritz分析法 因为 又 而 即 可见：特征向量也是前m阶精确解。 证毕！

26. 第 三 章 小 结 第5节 Rayleigh—Ritz分析法 ① R-R法的精度不取于每个Ritz基向量接近特征 向量的程度，而取决于基向量所张的子空间 接近 的程度，这样使m个基向量的选择难度大大下降， 从而使R-R为一种具有实用阶值的系统降价方法； 接近 的能力； ② R-R法本身不具有使子空间

27. 第 三 章 ③ 实用中，常常将“R-R法”与“同时反迭代法”结合 即：先用“同时反迭代法”使 第5节 Rayleigh—Ritz分析法 然后再用R-R法求前m阶近似特征解。 第四章中子空间迭代法和Lancyos法等都有效地 利用了这样的配合使用。 思考: (1) 试述R-R法的基本思想; (2) 决定R-R法精度的因素。