Modellbildung in der Geoökologie (G5, 103) SS 2004

1. Modellbildung in der Geoökologie (G5, 103) SS 2004 • 29.4. Einführung, Modelle, Modellklassen • 6.5. Zustandsmodelle, Rekursion • 13.5. Beispiel Phyllotaxis, Definition von Ökosystemen • 27.5. Definition von Ökosystemen • 3.6. Populations- und Individuenbasierte Modelle (FK) • 17.6. Individuenbasierte Modelle • 24.6. Modelle der Hydrologie, zelluläre Automaten • 1.7. Fallbeispiel Gårdsjön: Parameteridentifikation • 8.7. Modelle zur Gewässerversauerung • 15.7. Flussnetzwerke, Modelle in der Geomorphologie • 22.7. Besprechung der Übungsaufgaben (FK) • 1-2 weitere Termine: Besprechung der Übungsaufgaben (FK)

2. DECODING 4 CAUSALITY INFERENCE Natural System Formal System 1 3 2 ENCODING Newton: Dynamik Simulation Modellierung (nach Robert Rosen) Naturgesetze

3. Zustandsysteme • Kontinuierliche Zustandssysteme (Dynamische Systeme) • z.B. logistisches oder exp. (kont.) Wachstum • Diskrete Zustände (Diskrete dynamische Systeme), z.B.: • z.B. logistisches diskretes Wachstum (Chaos) • Endliche Automaten (Zeit und Zustände sind diskret) • Zelluläre Automaten ( “ ) heute: Einführung einer räumlichen Abhängigkeit der Dynamik

4. Kurze Einführung in dynamische Systeme • Untersucht wird das typische Langzeitverhalten (unabhängig von den Details der Anfangsbedingungen) • Nicht einzelne Trajektorien, sondern topologische Eigenschaften von Trajektorienensembles werden untersucht • Stabilitätsanalyse liefert mögliches Verhalten: - instabil/explodierend ("runaway solutions") - Fixpunkt - periodisches Verhalten - Grenzzyklus - Kompakte Mengen: Attraktoren

5. Zustände eines dynamischen Systems Was ist ein Zustand (eines dynamischen Systems)? Der Zustand eines dynamischen Systems zu einem Zeitpunkt wird durch Angabe einer Menge von Zustandsgrößen als Vektor beschrieben: Die Menge der Zustandsgrößen sind genau die, deren Werte man alle kennen muss, um das Verhalten des Systems in der nahen Zukunft vorhersagen zu können. (?) Zustandsvektoren sind nicht eindeutig. Die Zustandsvektoren spannen den Zustandsraum auf; die Dimension n des Zustandsraums zu finden ist i.a. sehr schwierig. (Ist n z.B. unendlich?)

6. Wdh.:Kontinuierliche dynamische Systeme Def.: Ein dynamisches System ist ein Paar (f , X), wobei f eine n-dimensionale Abbildung, X eine n-dimensionale Menge ist. Es gilt (Bewegungsgleichung) ist der Zustand des Systems, X der Zustandsraum, Hängt nicht explizit von der Zeit ab, heisst das System autonom: durch Vorgabe eines Anfangswertes liegt die Entwicklung fest

7. Diskrete dynamische Systeme, Attraktoren, Einbettung Autonomes dynamisches System im Zustandsraum: Die Menge der asymptotischen Trajektorien ist der Attraktor des Systems (Dimension D) Takens Theorem: Beobachtung einer Zustandsvariablen und Bildung von Einbettungsvektoren liefert eine treue Abbildung des Attraktors, falls

8. Invariante: Phasenraumverhalten des Lotka-Volterra-Systems

9. Beispiel: der Lorenz-Attraktor

10. Quantifizierung von Chaos: der kontinuierliche Fall Man betrachtet -Kugeln um einen Punkt zum Zeitpunkt 0: Die Kugeln verformen sich zu späteren Zeiten zu Ellipsoiden mit Hauptachsen . Dann lassen sich die Lyapunov-Exponenten des Systems so ermitteln: (Zeitmittel) (für ergodische Systeme nicht vom Ort abhängig)

11. Schritte der Modellbildung Wahl eines Ausschnittes der Wirklichkeit, Zielsetzung Belebte Systeme, Ökosysteme Idealisierungen, Abstraktionen, physikalische Annahmen ? Mathematischer Ansatz: diskret, kontinuierlich; Erzeugen oder beschreiben? Zustandssysteme? deterministisch? Automaten? Berechenbar?

12. Zelluläre Automaten • Die Zustände sind Zellen zugeordnet mit einer räumlichen (Nachbarschafts)-Beziehung • Die Verarbeitung der Zustandübergänge erfolgt: • Parallel: gleichzeitig für alle Zellen (für den aktuellen Zustand) • Lokal: als Eingabe wird der aktuelle Zustand der jeweiligen Zelle und die ihrer unmittelbaren Nachbarn verwendet • Homogen: Die Zellen werden alle nach denselben Regeln behandelt (analog zu einem physikalischen Gesetz)

13. Der einfachste Fall: eindimensionale Zelluläre Automaten tn • Binäres Alphabet {0,1} • 3-er Nachbarschaften (Zelle und Nachbarn) werden für die Zustands-Aktualisierung verwendet: • 23 = 8 mögliche Worte • 28 = 256 mögliche Regelsätze • (256 1-d zelluläre Automaten mit binärem Alphabet und 3-er Nachbarschaft)

14. Nummerierung der Regeln tn 111 110 101 100 011 010 001 000 0 1 1 0 0 1 0 0 tn+1

15. Nummerierung der Regelnz.B. die Regel 110 tn 111 110 101 100 011 010 001 000 0 1 1 0 0 1 0 027 26 25 24 23 22 21 20 64 + 32 + 4 = 110 tn+1 Faktor:

16. Zweidimensionale zelluläre Automaten • 1-Bit Regeln (binäres Alphabet) • 9-er Nachbarschaft • 29 =516 Möglichkeiten • 2516 Regelsätze • Totalistische und semi-totalistische Regeln (Summe über Nachbarschaft) • Beispiele: • Vote (nur 210 = 1024 verschiedene Möglichkeiten) • Life

17. Majority: Totalistic Code 1111100000b = 992d Vote:Totalistic Code 1111010000b = 976d NineSum NineSum 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 8 7 9 8 9 NewState NewState 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

18. Vote:Totalistic Code 1111010000b = 976d NineSum 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 EightSum NewState 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 CellState 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 Totalistic Vote Table Semitotalistic Vote Table

19. EightSum CellState 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 Semitotalistic Life Table • Form the EightSum of each cell's eight neighbors. • If a cell is 0 and its EightSum is 3, the cell's new state is 1. • If a cell is 1 and its EightSum is 2 or 3, the new state is 1. • In all other cases the cell's new state is 0.

20. Übungsaufgabe: • Wie lauten die Regeln im zwei-dimensionalen zellulären Automaten „Game of Life“ ? (möglichst knappe Formulierung) • Ändern Sie die Regel (2-3 mal) und beurteilen Sie das Ergebnis • In welcher Hinsicht finden sie diese Simulationen interessant oder uninteressant ? • Zur Lösung: siehe Kommentare zu dieser Folie