Tema: Característica e Mantissa

1. Instituto Federal da Bahia Campus Jequié Tema: Característica e Mantissa Por Valdex Santos 2013

2. Característica e Mantissa • O logaritmo de um número é constituído de duas partes: uma antes da vírgula e outra depois da vírgula. A primeira chama-se característica e a segunda chama-se mantissa. • Veja isso no exemplo: log 24 = 1 , 3802 Característica=1 Mantissa=0,3802 • Os logaritmos decimais de dois números que diferem entre si somente pela posição da vírgula, têm em comum a mesma mantissa.

3. Característica • A característica situa o número dado entre duas potências consecutivas de 10. • Logaritmos de números entre 1 e 10 possuem característica 0; • Logaritmos de números entre 10 e 100 possuem característica 1; • Logaritmos de números entre 100 e 1000 possuem característica 2, e assim por diante.

4. Mantissa • Veja agora a propriedade da mantissa nos exemplos a seguir: log 2,4 = 0,3802 log 24 = 1,3802 log 240 = 2,3802 log 2400 = 3,3802 • O que você notou? • A mantissa é a mesma, somente a característica variou. Quando multiplicamos um número por 10, 100, 1000 etc., a mantissa dos logaritmos não muda. Só a característica varia.

5. Tábua ou tabela de logaritmos/mantissas A) Para números de 1 a 99, a mantissa está na primeira coluna. • Nesse caso, para os números entre 1 e 9 a característica será 0 e para números entre 10 e 100 a característica será 1. Exemplo: log 7 = 0,8451 log 70= 1,8451

6. Tábua ou tabela de logaritmos/mantissas B) Para números entre 100 e 1000 procure a mantissa da seguinte forma: localize os dois primeiros algarismos na coluna da esquerda e o último algarismo na linha que está acima da tabela. Na interseção está a mantissa; assim, a característica será 2. • Veja como localizamos o logaritmo de 267: log 267 = 2,4265

7. Pratique! • 1- Encontre na tabela: a) log 143 b) log 688 c) log 32,4 • 2-Calcule: • 3- a) Qual é o número cujo logaritmo é 2,6180? b) Qual é o número cujo logaritmo é 1,6180? c) Qual é o número cujo logaritmo é 0,6180?

8. Aplicação • Se o logaritmo de dois é, aproximadamente 0,301, então determine o número de algarismos de 250.

9. Se o logaritmo de dois é, aproximadamente 0,301, então determine o número de algarismos de 250 • É evidente que você não vai resolver a potência 250, tendo em vista que vai demorar muito e provavelmente no decorrer das multiplicações, algum erro pode acontecer.   • O problema é simples de ser resolvido desde que se conheça uma propriedade dos logaritmos decimais.  • Quando se calcula o logaritmo de um número, encontramos um número real composto por uma parte inteira e uma parte decimal.  A parte inteira é chamada de Característica e a parte decimal é chamada de Mantissa. 

10. Veja: log10 2 = 0,301  tem Característica 0 e mantissa 0,301 • A MANTISSA TEM COMO PROPRIEDADE, NÃO SE ALTERAR, QUANDO MULTIPLICAMOS O LOGARITMANDO POR UMA POTÊNCIA DE 10(conforme vimos anteriormente). • Veja o exemplo: log10 (2 . 10n) = log10 2  +  log10 10n  =  0,301  +  n  =  n,301   • Perceba que somamos a característica do log de 2 com n (0 + n) e a mantissa é a mesma (0,301).

11. log10 2000 = log10 (2 . 103) = log10 2 + log10 103 = 0,301 + 3 = 3,301 que tem característica 3 e mantissa 0,301. • Veja outro exemplo: log10 1230 = log10 (123 . 10) = log10 123 + log10 10 = log10 123 + 1 • Para obter o valor final é necessário conhecer o log 123 que é fornecido pelo problema, pela tabela dos logaritmos ou por uma calculadora científica.  Tratando-se de uma prova de concurso, fica obvio que esse valor será fornecido pelo problema.

12. O problema que propus não usa a propriedade da mantissa e sim a propriedade da característica: A QUANTIDADE DE ALGARISMOS DO LOGARITMANDO É IGUAL A CARACTERÍSTICA MAIS 1 • Veja o primeiro exemplo: : log10 2 = 0,301  tem Característica 0 e mantissa 0,301 Como a característica é 0, então o logaritmando (no exemplo é o 2), tem (0 + 1) algarismos.  O que podemos verificar: o dois tem 1 algarismo. • Vamos ver outro exemplo:  log10 (2420) = 3,383.   O logaritmando (2420) possui quatro algarismos que pode ser verificado, pois a característica é 3.  Com isso, 3 + 1 é o número de algarismos do logaritmando 2420.

13. Dessa maneira podemos resolver o problema: Como log10 2 = 0,301, então: log10 (250) = 50 . log10 2 = 50 . 0,301=15,05 log10 (250) = 15,05  que tem característica 15, logo o número de algarismos de 250 é  a característica mais 1, ou seja, 16 algarismos.