1 / 24

Soundness Amplification

Soundness Amplification. disclaimer. נדבר היום על הסתברויות ומשחקים אקראיים, אבל אין במצגת היום אלגוריתמים אקראיים. הטלת מטבע. "בר-מוח" טוען שהוא יכול לחזות את תוצאת הטלת המטבע. אחרי הטלה אחת, יש לו סיכוי של 1/2 להצליח.

oro
Download Presentation

Soundness Amplification

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Soundness Amplification

  2. disclaimer נדבר היום על הסתברויות ומשחקים אקראיים,אבל אין במצגת היום אלגוריתמים אקראיים.

  3. הטלת מטבע "בר-מוח" טוען שהוא יכול לחזות את תוצאת הטלת המטבע. אחרי הטלה אחת, יש לו סיכוי של 1/2 להצליח. כדי להבדיל בין קוסם אמיתי שמצליח תמיד לחזות את הטלת המטבע לבין דרדס שחצן נבצע l הטלות. הסיכוי של "בר-מוח" להצליח בכולן הוא (1/2)l (אקספוננציאלי* קטן...) אמרתי לך שיצא עץ!

  4. קוביה "בר-מוח" טוען שהוא יכול לחזות איזה מספר לא יצא בקוביה אחרי הטלה אחת, יש לו סיכוי של 5/6 להצליח. כדי להבדיל בין קוסם אמיתי שמצליח תמיד לבין דרדס שחצן נבצע l הטלות. הסיכוי של "בר-מוח" להצליח בכולן הוא (5/6)l (שוב - אקספוננציאלי* קטן...) מתחילים עם soundness "חלש" סמוך עלי – לא יצא 6!

  5. MaxCut נתון שבגרף G קיים חתך בגודל מקסימלי m. משפט: 16/17-קירוב ל-MaxCut הוא NP-קשה. לכן זה יהיה "מרשים" אם רפיקי מצא חתך עם יותר מ-(16/17)m קשתות אבל רפיקי לא מסכים לגלות לנו את החתך שהוא מצא... (תירוצים?)

  6. MaxCut רפיקי רוצה להוכיח לנו שהוא מצא חתך בגודל (כמעט)m בגרף בלי לגלות לנו את החתך: רפיקי קובע חתך בגרף מכסה את הגרף G

  7. MaxCut רפיקי רוצה להוכיח לנו שהוא מצא חתך בגודל (כמעט)m בגרף בלי לגלות לנו את החתך: רפיקי קובע חתך בגרף מכסה את הגרף אנחנו בוחרים קשת וחושפיםאת 2 הצמתים מה הסיכוי של רפיקי לנצח בלילמצוא חתך מקסימלי? כדי להבדיל בין חתך באמת גדול לסתם חתך אקראי אנחנו צריכיםלחזור עלהמשחק הרבה פעמים... כל קוף יכול לנצח בהסתברות לפחות 1/2... G

  8. MaxCut חוזרים על המשחק l פעמים: מה הסיכוי של רפיקי לנצח ב-0.99mמהמשחקים, בלי למצוא חתך יותר גדול מ-(16/17)m? צ'רנוף: Pr[# wins > m*l] = Pr[# wins > 17/16 * (16/17)m*l] ≤ Pr[# wins > 17/16 * E(# wins)] < CE(# wins) < Cl/2 G

  9. Sequential Amplification אולי אפשרלעשות משהויותר יעיל? שאלה תשובה שאלה תשובה שאלה תשובה

  10. Parallel Amplification היינו רוצים: למשל: הרבה שאלות הרבה תשובות איך היית צובע את u1,u3,u8? (0,1,0)

  11. משחק הטלפתיה אני שולח לאליס ובוב x ו-y אקראיים כך ש- Pr(xy = 11) = Pr(xy = 01) = Pr(xy = 10) = 1/3 לאליס ובוב אסור לדבר ביניהם אליס ובוב "מנצחים" אמ"ם:x*a ≠ y*b x a y b

  12. משחק הטלפתיה Pr(xy = 11) = Pr(xy = 01) = Pr(xy = 10) = 1/3 אליס ובוב "מנצחים" <-> x*a ≠ y*b טענה: Pr(Alice & Bob win) = 2/3 "הוכחה" x a y b

  13. משחק הטלפתיה מה קורה אם אנחנו משחקים את המשחק פעמיים? Pr(A & B win twice) = (2/3)2= 4/9 מה קורה אם משחקים משחק אחד כפול? x1, x2 a1, a2 y1, y2 b1, b2

  14. טלפתיה - דוגמא נגדית? מה קורה אם משחקים משחק אחד כפול? טענה: אם אליס ובוב משחקים(a1, a2) = (x2, x1) ו-(b1, b2) = (y2, y1),אזי יש הסתברות של 2/3 לנצח במשחק כפול "הוכחה" אליס ובוב מנצחים במשחק "הראשון" אמ"ם הם מנצחים במשחק "השני"

  15. טלפתיה - דוגמא נגדית? משחק הטלפתיה הוא דוגמא לבעיות שיכולות לקרות כשעושים amplification ל-CSGE לכן, נדבר רק על amplification ל-CSGV וגם את זה נעשה בזהירות... :-)

  16. Amplification for CSGV הגדרה פורמלית עבור CSGV: הרבה שאלות הרבה תשובות V = צמתים Σ = צבעים E = קשתות Φ = אילוצים Vl = -יות של צמתיםl Σl = -יות של צבעיםl El = {(u,v) : ∃ i,j s.t. ui = vj or … (ui,vj) ∈ E} Φl(u,v) = {(a,b): ∀ i,j s.t. ui=vj→ ai=bj and … (ui,vj) ∈ E → (ai,bj) ∈Φ(ui,vj)} צביעה קונסיסטנטית מקיימת אילוצים מקוריים

  17. Amplification for CSGV דוגמא: הרבה שאלות הרבה תשובות 1,1 1,2 1,3 1 2 2,1 2,2 2,3 3 3,1 3,2 3,3

  18. Amplification for CSGV דוגמא: הרבה שאלות הרבה תשובות 1,1 1,2 1,3 1 2 2,2 2,3 3 3,3

  19. Amplification for CSGV דוגמא: הרבה שאלות הרבה תשובות 1,1 1,2 1,3 1 2 2,2 2,3 3 3,3

  20. דוגמא: Amplification for CSGV הרבה שאלות הרבה תשובות 1,1 1,2 1,3 1 2 2,2 2,3 3 3,3

  21. gap-kCSGV[δ,1] ≤P gap-klCSGV[δl,1] טענה: gap-kCSGV[δ,1] ≤P gap-klCSGV[δl,1] הוכחה: שלמות:אם צביעה A: V→Σ צובעת את כל הצמתים בלי להפר אף אילוץ, אז אפשר להרחיב אותה ל- Al(v) = (A(v1),A(v2),…A(vl)) הצביעה Al צובעת את כל הצמתים ב-Vl בלי להפר אף אילוץ

  22. gap-kCSGV[δ,1] ≤P gap-klCSGV[δl,1] טענה: gap-kCSGV[δ,1] ≤P gap-klCSGV[δl,1] הוכחה: נאותות: בהנתן צביעה Al: Vl-→Σl מ-δlצמתים נגדיר צביעה A(vi) = (Al(v))i ז"א שננסה לצבוע כל צמת ב-V בצבע שמתאים לו ע"י Al בגלל האילוץ מהסוג הראשון לא יכול להיות שאותו צומת ב-v צבוע ביותר מצבע אחד ע"י Al בגלל האילוץ מהסוג השני מובטח שכל הצבעים שצבועים מקיימים את האילוצים ב-Φ "ננסה" – כי לא כל הצמתים צבועים ע"י Al

  23. gap-kCSGV[δ,1] ≤P gap-klCSGV[δl,1] סה"כ לא יכול להיות שהצלחנו לצבוע פחות מ- δ צמתים ב-V: 1,1 1,2 1,3 1 2 2,1 2,2 2,3 3 3,1 3,2 3,3

  24. gap-kCSGV[δ,1] ≤P gap-klCSGV[δl,1] סה"כ לא יכול להיות שהצלחנו לצבוע פחות מ- δ צמתים ב-V: 1,1 1,2 1,3 1 2 2,1 2,2 2,3 3 3,1 3,2 3,3

More Related