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Aula 15: Tipos Especiais de Relações

Aula 15: Tipos Especiais de Relações. (Propriedades de uma endorrelação). Alguns resultados:. Proposição : Seja R uma relação em A, R é transitiva se, e somente se, R;R R Prova: (Fazer no quadro) Proposição : Seja R uma relação em A, R é simétrica se, e somente se, R -1 R

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Aula 15: Tipos Especiais de Relações

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Presentation Transcript

  1. Aula 15: Tipos Especiais de Relações (Propriedades de uma endorrelação)

  2. Alguns resultados: • Proposição: Seja R uma relação em A, R é transitiva se, e somente se, R;R R Prova: (Fazer no quadro) • Proposição: Seja R uma relação em A, R é simétrica se, e somente se, R-1 R Prova: Exercício!

  3. Matriz e grafo de relações reflexivas e irreflexivas. Matriz: Reflexiva: a diagonal da matriz contém somente o valor 1 (verdadeiro). Irreflexiva: a diagonal da matriz contém somente o valor 0 (falso). Exemplo: A={0 1, 2} Reflexivas

  4. Matriz e grafo de relações reflexivas e irreflexivas. Exemplo: Relações irreflexivas A={0,1,2} Grafo: Refexiva: qualquer nodo tem arco com origem e destino nele mesmo. Irreflexiva: qualquer nodo NÃO tem um arco com origem e destino nele mesmo. Grafo de R:A→A (A={0,1,2}) R={(0,1),(1,2),(2,1)} Grafo de ϕ:A→A (A={0,1,2})

  5. Matriz e grafo de relações reflexivas e irreflexivas. Reflexivas

  6. Matriz e grafo de relações simétricas e antissimétricas Matriz: Simétrica: a metade acima da diagonal da matriz é a imagem espelhada da metade abaixo Antissimétrica: Para qualquer célula verdadeira (valor 1) em uma das metades da matriz (em relação a diagonal) a corrspondente célula na outra metade é falsa Exemplo: A={0 1, 2} S={(0,0),(1,1),(1,2)} é antissimétrica AxA é Simétrica Observe que =:A→A, é simétrica e antissimétrica

  7. Matriz e grafo de relações simétricas e antissimétricas Grafo: Simétrica: entre dois nodos quaisquer OU NÃO EXISTE seta, ou EXISTEM DUAS setas, uma em cada sentido Aintissimétrica: entre dois nodos quaisquer EXISTE NO MÁXIMO UMA SETA (pode não existir nenhuma seta) Grafo de =:A→A, A={0,1,2} Grafo de AxA, A={0,1,2}

  8. Matriz e grafo de uma relação transitiva • Matriz: o entendimento e visualização de uma endorrelação transitiva sobre um conjunto finito) como matriz não é especialmente vantajoso. • Grafo: para qualquer sequência de arcos que saindo de um elemento a chegam a um elemento z existe um arco ligando a e z diretamente. Seja B={a,b,c,d}. Escreva a relação T:B→B descrita pelo grafo acima

  9. Matriz e grafo de uma relação transitiva • Para mais exemplos de grafos de relações transitivas, seja A={0,1,2} reveja os grafos de AxA,=:A→A e faça os grafos de • ≤:A→A • <:A →A

  10. Exercícios

  11. Exrecícios • Lista 11 (2012.2)

  12. Referências • Paulo B. Menezes, Matemática Discreta para Computação e Informática. 2a. edição , Sagra Luzzatto / Instituto de Informática da UFRGS, Porto Alegre, 2006. • WOLUPECK, Anderson. Autômatos e Linguagem: Relações especiais http://www.las.pucpr.br/anderson//arquivos/Aut%C3%B4matos%20e%20Linguagens/menu_automatos.htm. Acesso em: 20 maio 2013.

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