1 / 25

MODUL KULIAH MATEMATIKA/KALKULUS 1

MODUL KULIAH MATEMATIKA/KALKULUS 1. Pokok Bahasan : Kalkulus I. Sistem Bilangan Real Fungsi dan Grafik Fungsi , Fungsi Trigonometri Limit Fungsi , Fungsi Kontinu Turunan Fungsi Penggunaan Turunan , Grafik Fungsi Limit Bentuk Tak Tentu , Penggunaan Turunan UTS

orrin
Download Presentation

MODUL KULIAH MATEMATIKA/KALKULUS 1

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. MODUL KULIAHMATEMATIKA/KALKULUS 1

  2. PokokBahasan : Kalkulus I • SistemBilangan Real • FungsidanGrafikFungsi, FungsiTrigonometri • Limit Fungsi, FungsiKontinu • TurunanFungsi • PenggunaanTurunan, GrafikFungsi • Limit BentukTakTentu, PenggunaanTurunan • UTS • Integral TakTentudan Integral Tentu • Penggunaan Integral Tentu • Fungsi-fungsiTransenden • MetodeIntegrasi, • PenggunaanTabel Integral • UAS

  3. SISTEM BILANGAN REAL Bilangan Kompleks z = a + bi Bilangan Real ( R ) Bilangan Immajiner, i = Bilangan Rasional Bilangan Irrasional • Bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan • Bilangan desimal tidak berulang • Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan (P/Q) • Bilangan yang dapat ditulis sebagai desimal berulang

  4. Garis Bilangan Real • Bilangan real dinyatakan dengan notasi R. • Bilangan-bilangan real dapat dipandang sebagai titik-titk sepanjang sebuah garis bilangan real x < -2 =3,14 e ───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┼──> R –3 –2 –1 0 1 2 3 4 4/5 Bidang Bilangan Kompleks Bilangan komplek, z = a + bi, dalam bentuk geometri bilangan kompleks dinyatakan dalam bentuk bidang kompleks Im(z) b P Ra(z) a

  5. PengertianPertidaksamaan Sifat-sifatSederhana : Penjumlahan/pengurangan. Jika x < y, maka x + a < y + a Misal, jika x < 10, mk x+2<10+2 Perkalian/pembagiandenganbilanganpositip. Untuk, a > 0, Jika x < y, maka ax < ay Misal, jika x < 2, mk 4x < 4(2) Perkalian/pembagiandenanbilangannegatif. Untuk a < 0, Jika x < y, maka ax > ay Misal, jk x < 4, mk -2x > -2(4) Pertidaksamaanadalahhimpunanbilangan yang memenuhisifaturutanbilangantertentu. Pertidaksamaandinyatakandengansalahsatutandadarilambangberikut : >   <. p < q artinya p lebihkecildaripada q p > q artinya p lebihbesardaripada q p  q artinya p lebihkecilatausamadengan q p  q artinya p lebihbesaratausamadengan q

  6. Pertidaksamaandan Interval • Persamaan (x2+ 2x – 8 = 0) solusinyaadalahsebuahtitikdidalamgarisbilangan R (x1 = –4, x2 = 2) • Pertidaksamaan (x2+ 2x – 8 ≤ 0) solusinyaadalahsebuah interval tertutup, interval terbukaataukombinasi, (HP = {x:–4 ≤ x ≤2}) • Interval adalahhimpunandari R yang memenuhisifaturutanbilangantertentu • Interval terdiri interval terbuka, tertutupataukombinasidarikeduanya. Interval disajikandengannotasihimpunan, interval dangarisbilangan Contoh Tentukan HP dari : x3 -2x2 – 11x + 12 ≤ 0 Contoh Tentukan HP dari : dg, x  8, x –4 Solusi : - -0 + + + 0 - - - - 0 + + + ─┼────┼────┼───> R –3 1 4 HP = {x: x ≤ –3 V 1 ≤ x ≤ 4} Solusi : - -0 + + + 0 - - - - 0+ + ++0- - - ─┼────┼────┼────┼──> R –4 –1 4 8 HP = {x: x <–4 V –1 ≤ x ≤ 4 V x ≥ 8}

  7. PertidaksamaanSederhana Solusipertidaksamaanadalahhimpunanbilangan yang memenuhipertidaksamaan. Solusinyadapatdigambarkanpadagarisbilangan. Contoh : Solusidari : x + 4 > 7 Ruaskiridankanandikurangi 4 diperoleh, x + 4 – 4 > 7 – 4 x > 3 Jadisemuanilai x lebihbesardari 3 yang memenuhipertidaksamaan, ---------+----+----+----+--------- x 0 1 2 3 Contoh : Carinilai x yang memenuhipertidaksamaan, 3 + 4x  6x + 7 Tulispertidaksamaanmenjadi, 4x – 6x  7 – 3 –2x  4 2x  –4 x  –2 Jadisemuanilai x lebihkecilatausamadengan –2 yang memenuhipertidaksamaan. Garisbilangannya : ---------+----+----+----+--------- x –3 –2 –1 0

  8. PertidaksamaanKuadratik (1) Pertidaksamaankuadratikadalahpertidaksamaan yang memuatpersamaankuadratik. Tahap-tahapmenentukansolusinyaadalah : Ubahbentukpertidaksamaanmenjadipersamaan Carilahakar-akarpersamaankuadratnya, jikamungkindenganfaktorisasi Selidikilahnilai-nilai yang mungkindenganmenggunakangarisbilangan Tentukansolusinyadarilangkah (3). Contoh : Tentukan HP dari x2 – 4x – 12 < 0 Faktordari, x2 – 4x – 12 = 0 adalah, (x + 2)(x – 6) = 0, danakar-akarnya x=–2, x=6. Perhatikangarisbilangan - - -0 + + + + + + + + (x+2) -----+------------+------ –2 6 - - - - - - - - - - 0 + + + (x–6) -----+------------+------ –2 6 + + 0 - - - - - -0++ + (x+2)(x–6) -----+------------+----- –2 6 HP, –2 < x < 6.

  9. PertidaksamaanKuadratik (2) Contoh : Tentukan HP : 0 < x2 – 4x – 12 < 20 Solusipertidaksamaandiatasadalahirisan HP : 0<x2 –4x–12 dan x2 – 4x – 12 < 20 Solusidari, x2 – 4x – 12 >0, atau (x+2)(x – 6) > 0 adalah x< –2 v x > 6 Solusidari, x2 – 4x – 12 < 20 atau x2 – 4x – 32 < 0, (x + 4)(x – 8) < 0 adalah –4< x < 8 Irisankeduasolusiadalah – 4<x< –2 v 6 < x < 8 Contoh : Tentukan HP dari 2x2 + 3x – 9  0 Faktor, 2x2 + 3x – 9 = 0 adalah, (2x – 3)(x + 3) = 0, danakar-akarnya x=3/2, x=–3. Perhatikangarisbilangan - - -0 + + + + + + + (x+3) -----+-----------+----- –3 3/2 - - - - - - - - - 0 + + (2x–3) -----+----------+------ –3 3/2 + + 0 - - - - - -0++ + (2x+3)(x–3) -----+-----------+----- Jadinilai x yang memenuhipertidaksamaan, x –2 v x  6.

  10. PertidaksamaandanPecahan (1) Contoh : Hitunglah HP dari, Jawab Sifat-sifat : Batas interval pertidaksamaanadalah x1=2, dan x2–3. Perhatikanlahgarisbilanganberikut : - - - - - - - - - 0+ + + (x – 2) -----+-----------+----- –3 2 - - - 0 + + + + + + + (3x+9) -----+----------+------ –3 2 + + 0 - - - - - -0++ + HP -----+-----------+----- –3 2 Jadi HP pertidaksamaan, –3 < x  2 Batas interval, solusinyaadalah p=0, dan q0

  11. PertidaksamaandanPecahan (2) Contoh : Hitunglah HP dari, Jawab Tulislahpertidakamaanmenjadi, Perhatikanlahgarisbilanganberikut, - - - - - - - 0 + + + + + + + (x + 1) -----+-----+-------+------+-- –3 –1 3 6 - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + (x – 6) -----+-----+-------+------+-- –3 –1 3 6 - - - 0 + + + + + + + + + + (x + 3) -----+-----+-------+------+-- –3 –1 3 6 - - - - - - - - - - - 0 + + + + (x – 3) -----+-----+-------+------+-- –3 –1 3 6 + + 0- - - 0 + + 0 - - - 0+ + HP -----+-----+-------+------+-- –3 –1 3 6 Jadi HP : –3 < x –1 v 3 < x  6

  12. Nilai Mutlak Bilangan Nilaimutlaksuatubilangn real x selalubernilaipositip. Nilaimutlakbilangan real x ditulis |x|, didefininisikanoleh : y Y=-x Y=x x 0 ───┼─────┼─────┼─> R –x 0 x Grafik persamaan, y = |x| y Y=x-a Kasus khusus, Y=a-x a x a ───┼─────┼─────┼─> R –(x-a) 0 x-a Grafik persamaan, y = |x – a|

  13. PertidaksamaandanNilaiMutlak (1) Contoh : Hitunglah HP dari, |2x – 5| < 9 Jawab Menurutdefinisi, |2x – 5| < 9  –9 < 2x – 5 < 9  –9+5 < 2x < 9+5  –4 < 2x < 14 Jadi, HP : –2 < x < 7 Contoh : Hitunglah HP dari, |2x + 3| > 11 Jawab Menurutdefinisi, |2x + 3|>11  2x+3< –11 v 2x+3>11  2x<–11–3 v 2x >11–3  2x < –14 v 2x >8 Jadi, HP : x < –7 v x >4 Nilai mutlak bilangan x, ditulis |x| didefinisikan, • Dari definisidiatasnilaimutlakbilanganselalubernilaipositif. • Pertidaksamaandengannilaimutlak yang penting : • | x | < a  –a < x < a • | x | > a  x<–a V x> a • Sifat (1) berlaku pula untuk (), sifat (2) berlaku pula untuk ()

  14. PertidaksamaandanNilaiMutlak (2) Demikian pula dari, x2 – 4x – 25 < 20  x2 – 4x – 45 <0  (x + 5)(x – 9) < 0 Solusinya adalah : + + 0 - - - - - - 0 + + + HP (2) -----+------------+------- –5 9 Jadi HP (2) : –5 < x < 9 Jadi solusi pertidaksamaan adalah : HP -----+------+------+-------+--- –5 –1 5 9 Solusi : –5 < x < 1 v 5 < x < 9 Contoh : Hitung HP dari, |x2 – 4x – 25|< 20 Jawab Menurutdefinisi, |x2– 4x–25|<20 –20<x2– 4x – 25<20 Jadi, HP merupakanirisandari, (1) –20 <x2– 4x – 25 dan (2) x2 – 4x – 25 < 20 Mengingat, –20 <x2 – 4x – 25  x2 – 4x – 5 > 0  (x + 1)(x – 5) > 0 Solusinyaadalah : + + 0 - - - - - - 0 + + + HP (1) -----+------------+------- –1 5 Jadi HP (1) : x < –1 v x > 5

  15. PertidaksamaandanNilaiMutlak (3) Demikian pula dari, x2 – 5x – 21 > 15  x2 – 5x – 36 >0  (x + 4)(x – 9) > 0 Solusinyaadalah : + + 0 - - - - - - 0 + + + HP (2) -----+------------+------- –4 9 Jadi HP (2) : x < –4 v x > 9 Jadisolusipertidaksamaanadalah : HP -----+-------+---------+-------+--- –4 –1 6 9 Solusi : x < –4 v –1< x < 6 v x > 9 Contoh : Hitung HP dari, |x2 – 5x – 21|> 15 Jawab Menurut definisi, |x2 – 5x – 21|> 15 x2–5x – 21<–15 atau x2– 5x – 21>15 Jadi, HP merupakan gabungan HP, (1) x2– 5x – 21 < –15 atau (2) x2 – 5x – 21 > 15 Mengingat, x2 – 5x – 21< –15  x2 – 5x – 6 < 0  (x + 1)(x – 6) <0 + + 0 - - - - - - 0 + + + HP (1) -----+------------+------- –1 6 Jadi HP (1) : –1 < x < 6

  16. Pertidaksamaan Nilai Mutlak Bentuk grafik Y=x2 + 2x – 16 Contoh Tentukan HP dari : 8 |x2 + 2x – 16| ≤ 8 x –8 ≤ x2 + 2x – 16 x2 + 2x – 16 ≤ 8 2 4 –6 – 4 –8 + 0 - - - - 0 ++ ─┼────┼─> R –4 2 + 0 - - - - 0 ++ ─┼────┼─> R –6 4 Grafik persamaan kuadrat, Solusi : ─┼────┼────┼────┼──> R –6 –4 2 4 HP = {x: –6≤ x ≤–4 V 2 ≤ x ≤ 4} Contoh Tentukan HP dari : |x2 – 6x – 16| ≥ 8

  17. Soal-soallatihan • Carilahsolusipertidaksamaanberikutini : • –13 < 3x – 7 < x+17 • x2 – 10x + 24 < 0 • 10 < x2 – 4x + 5 < 17 • 8 < 2x2 – 5x + 5 < 30 • –1< 3x2 – 4x – 5 < 10 |2x + 5| < 17 |3x – 4| > 14 |x2 – 5x – 32|  18 |x2 + 4x – 22| > 10

  18. Soal-SoalLatihan : Soal 16.Carilahhimpunanpenyelesaianpertidaksamaanberikutini Soal17. Diberikan, • Tentukannilai x agar f(x) = 0 • Nilai x agar f(x) tidakada (penyebutsamadengan 0) • interval f(x) > 0 dan f(x) < 0

  19. Sistem Koordinat Kartesiusdan GrafikGarisLurus (1) Grafik : gambar mempresentasikan informasi hubungan satu variabel dengan variabel yang lain. Grafik dg sistem koordinat kartesius. Grafik yang paling sederhana adalah garis lurus, dima persamaannya : y=mx + c m disebut dengan gradien. Persamaan garis yang melalui dua buah titik P(x0,y0) dan Q(x1,y1) adalah :

  20. GrafikGarisLurus (2) Contoh : Persamaan garis lurus yang melalui titik P(1,5) dan Q(2,8) seperti terlihat pada gambar berikut : Garis Sejajar. Garis sejajar adalah garis lurus yang memiliki gradien yang sama Q(2,8) P(1,5)

  21. GrafikGarisLurus (3) Contoh : Garis berpotongan. Carilah titik potong dua garis, 3x+y = –1, dan –x+2y=5. Dan buat pula sketsa grafiknya. Jawab Titik potong diperoleh dengan cara eliminasi atau substitusi. 3x+y = –1 x 1 3x + y =–1 –x+2y=5 x 3 –3x +6y=15 ---------------- (+) 7y=14 Untuk, y=2, maka x=2(2) – 5 =–1 Jadi titik potong kedua garis adalah (–1,2) Sketsa grafik kedua garis –x+2y=5 Titik potong (–1,2) 3x+y = –1,

  22. Grafik Garis Lurus (4) Contoh : Garis tegak lurus. Carilah garis yang tegak lurus garis, 3x + y = 9, dan melalui titik (1,6) Jawab Dua garis saling tegak lurus, maka m1m2=–1. Dari, garis 3x+y=9, maka diperoleh, m1= –3, dengan demikian, dan persamaan garisnya adalah, Sketsa grafiknya adalah : 3x + y = 9 (1,6) x – 3y = –17 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

  23. Grafik Parabola (1) • Grafikpersamaankuadrat yang berbentuk, y=ax2+bx+c disebutdengan parabola • Sifat-sifatgrafik parabola. • Kecekungan. • (a) a > cekungterbukakeatas • (b) a < cekungterbukakebawah. • Sumbusimetri. • Garis, • adalahsumbusimetri parabola • Titikpotongdengansumbuy. • Grafikmemotongsumbudititik (0,c) • 4. TitikpotongdenganSumbu x • Kasus D > 0. • Grafik parabola memotpngsumbudiduatempat, yaitu : • (b) Kasus D = 0 • Grafik parabola menyinggungsumbu x dititik, • Kasus D < 0 • Grafik parabola tidakmemotongsumbu x

  24. Grafik Parabola (2) • Contoh : • Buatlahsketsagrafik parabola, • y=4x2 + 4x – 15 • Jawab • Untuk x=0, y=–15, sehinggatitikpotongdengansumbu y adalah (0,–15) • Titikpotongdengansumbu x. Untuk y=0, diperolehpersamaankuadrat, • 4x2 + 4x – 15 =0, • (2x + 5)(2x – 3) = 0 • dimanaakar-akarnyaadalah : • x1=–2,5 dan x2=1,5 • Jadititikpotongdengansumbu x di (–2,5,0) dan (1,5,0) • Langkah-langkahmembuatsketsagrafikadalah : • Bilamanamungkintentukanlah pula titikpotongnyadengansumbukoordinat. • Tentukanlahkoordinat-koordinatbeberapatitik yang memenuhipersamaan. • Buatlah diagram pencartitik-titikdibidang • Hubungkantitik-titiktersebutsehinggamembentuksuatukurva yang mulus

  25. Grafik Parabola (3) • (c) Sumbusimetri, • Untuk x=1 – 0,5, y=1 – 16. Puncak parabola di (–0,5,–16) • Diagram pencaruntukbeberapanilaidiberikantabelberikut, • x –3 –2 –1 0 1 2 • ------------------------------------ • y 9 –7 –15 –15 –7 9 • (e) Sketsagrafiklihatgambarsamping a=4> 0 Titik potong Sumbu simetri

More Related