PISA 數學素養的評量設計與 台灣學生的表現

1. PISA數學素養的評量設計與台灣學生的表現 國立臺南大學 測驗統計研究所 林素微 swlin0214@mail.nutn.edu.tw

2. PISA • The Programme for International Student Assessment (PISA) is a triennial world-wide test of 15-year-old schoolchildren's scholastic performance, the implementation of which is coordinated by the Organisation for Economic Co-operation and Development (OECD). PISA was first mooted in 1997.

3. What is the OECD? • 具有 30 個會員國，旨在推動民主和市場經濟的國際組織。 • 提供資料的比較、分析和展望 • 以便政府能夠： • - 比較政策經驗 • - 對一般問題尋求解答 • - 識別好的政策 • - 調整政策 • 別稱「富國俱樂部」

4. 廣布全球的國際組織 OECD Member Countries

5. Comparison with TIMSS and PIRLS • Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS) • Progress in International Reading Literacy Study ( PIRLS )

6. PISA之目的與特性 • 目的：評量國際間15歲學生在閱讀、數學與科學領域的素養與表現；並進行持續、定期的國際性比較研究。 • 特性：強調評量學生在各領域面對成人生活的準備程度，而非對學校課程的精熟程度。

7. 閱讀、數學與科學領域評量內涵 • 閱讀 • 評量學生了解與評鑑閱讀文本的實質能力 • 了解學生以閱讀為工具的情形 • 數學 • 評量學生成功解決數學問題的知識或想法 • 了解學生對數學的反思與應用的能力 • 科學 • 評量學生在日常生活運用科學知識的能力 • 了解學生有效表達科學想法的能力

8. PISA的規模 • 第ㄧ次調查2000年有43個國家、第二次調查2003年有41國、第三次調查2006年有56國家、第四次PISA 2009共有67個地區參加 • 每個國家預試施測的參與學生約在800~1,200之間 • 每個國家正式施測的參與學生約在4,500~10,000之間

10. PISA評量週期 • 此評量每三年調查一次，自2000年開始至2015年 • 每一週期針對主要領域進行深度了解 • 2000 (閱讀) 、2003 (數學) 、2006 (科學) 、2009 又回到閱讀

11. 一.PISA對於數學素養之定義 • 每個國家的國民都會碰到無數的有關數量、空間、機率或者其他數學概念的相關課題。例如，媒體（報紙、雜誌、電視、以及網際網路）都充滿了統計圖表或者圖示的資訊，例如氣象、經濟、醫藥和運動。 • 現在國民都會碰到全球暖化與溫室效應、人口成長、浮油與海洋、或者逐漸削減的農村議題的相關資訊。最後但同樣重要的是，國民都必須閱讀各種表格，解讀公車以及火車的時刻表、成功的處理包含金錢的買賣、以及決定賣場中的最佳買法等等。

12. 二.PISA數學素養的理論基礎 • 數學化(mathematising)有五個重要的特徵： 1.數學化的歷程開始於一個真實情境中的問題。 2.解題者嘗試去找出相關的數學，並且依據重要的數學概念重新組織問題。 3.逐漸調整現實(trimming away the reality)，轉化成數學語言 4.進行問題解決 5.針對真實世界探究嚴格數學解法的意涵。

13. M537：心跳 • 為了健康的理由，人們應該控制他們的活動量，例如運動時，才不會超出特定的心跳頻率範圍。 • 數年來，個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式： • 最大心跳速率 = 220 - 年齡 • 最近研究顯示這個公式應略為修正。新的公式如下： • 最大心跳速率 = 208 - ( 0.7 × 年齡 )

16. 算出Nuben和Kado的最短距離

17. Zoe住在Angaz，她想要去Kado和Lapat玩。她一天最多只能走300km，但她可以在途中露營。Zoe住在Angaz，她想要去Kado和Lapat玩。她一天最多只能走300km，但她可以在途中露營。 • Zoe會在Kado和Lapat各住兩晚，所以她就可以在每個城市觀光，請在以下的表格完成Zoe可能的旅遊規劃表。

18. 情境(Situations) 脈絡(CONTEXT) 數學概念(Overarching ideas) 內容(CONTENT) 問題(PROBLEM) 與 解決(SOLUTION) 問題形式 (Problem format) 歷程(Process) 能力群組 (COMPETENCY CLUSTER) 能力(Competencies) 三.數學領域的組織

19. 四.情境和脈絡 • 情境是作業內容中學生世界的部分，它應該和學生有一定的距離。 • 對PISA而言，最接近的情境為的學生的個人生活；接著是學校生活，工作以及休閒；然後日常生活中所會碰到社區及社會；最後是科學情境。針對這四個情境所界定和使用的問題為：個人、教育／職業、公共、以及科學問題。

20. 儲蓄 • 1000元存進銀行中。有兩種選擇。一種是年利率4%，或者是年利率3%，但每年會有額外10元的紅利。 • 存一年的話哪一種選擇較好？ • 存兩年呢？

21. 幣值系統 • 有沒有可能可以建立一個被3和5所整除的幣值系統？ • 這些幣值可能為何？ • 是否可以符合現實的需要

22. 五.數學內容‑四個概念(overarching ideas) • OECD/PISA使用的概念如下： 1.數量 2.空間與形狀 3.改變與關係 4.不確定性 • 這四個數學內容形成的領域廣泛，確保試題可散布於課程之中，但同時可避免太過明確而違反真實情境問題解決的憂慮。

23. 當一個平面切過一個正立方體時，可能產生哪些形狀？當一個平面切過一個正立方體時，可能產生哪些形狀？ • 這些形狀有多少面？多少邊？或者頂點？

24. 這是一個有許多正立方體所堆疊起來的物體。 • 從側面看、和前面看的兩個圖形。 • 有許多正立方體被用來組合成這個物體？

26. 校外教學 • 有個班級要租一輛遊覽車進行校外教學。有三家公司來競標。 • A公司一開始就收費375元，遊覽車每行駛一公里就再加0.5元。B公司一開始就收費250元，遊覽車每行駛一公里就再加0.75元。C公司在車子行走200公里以內都收取350元，超過200公里後每走一公里就再加1.02元。 • 問題1 如果校外教學的距離介於400到600之間，這個班級應該選擇哪一家公司？

28. 細胞繁殖 • 醫生們正在監控細胞的繁殖。他們對於從實驗開始後細胞數量達到60000個的天數特別感到興趣。觀察的結果如下表 何時細胞會達到60000個？

29. 食物鏈 • 下圖呈現的是兩種生物(草履蟲和酵素)的消長情形

30. 食物鏈 • 問題1 其中一種動物(predator)會吃掉另一種(prey)。從圖中，你判斷出哪一種生物是predator，哪一種是prey嗎？ Prey-predator的現象之一可以描述如下：predator的成長速率是prey目前數量的比例。請問這個特質在上圖中可以看出來嗎？

31. 高斯 • Karl Friedrich Gauss(1777-1855)的老師要求全班學生將1到100的所有整數都加起來。假設這位老師的目的是想要讓學生都花一些時間在這些數字的計算上。但是Gauss是一個很優秀的數量推理者，他很快的就找出解題的捷徑，他的理由如下：

32. 高斯 • 你可以把這些數字加兩次，一個由小到大，另一個由大到小： • 1+2+3+……….+98+99+100 • 100+99+98+………+3+2+1 • 將這兩列加起來，一個對一個，可以得出 • 101+101+….+101+101 • 那就會有100個101，所以這樣總合為101×100 • 但這樣的積數是原來答案的兩倍，如果你取一半，答案就是：5050

34. 今天晚上你要舉辦一個聚會，你想要買100罐可樂，一手可樂有六罐，請問你要買幾手？今天晚上你要舉辦一個聚會，你想要買100罐可樂，一手可樂有六罐，請問你要買幾手？ • 一個滑翔者的滑翔比例為1比22，要從120公尺高的懸崖往下滑下，如果飛行員想要停在距離滑翔起點1400公尺處的落點，在沒有風等條件的影響，他是否可能完成目標？ • 學校想要租迷你巴士(有八人座)來進行學校的露營活動，有98名學生需要搭乘，學校需要多少輛迷你巴士？

35. 百分比 • Carl到一家正在打八折的店裡去買一件訂價50元的夾克。在Zedland國家是需要外加5%的稅。店員先將夾克的定價加5%的稅後再打八折。Carl認為不應該如此。他要店員先打八折，然後再算5%的稅。 • 請問這兩種做法有何差異？

36. 平均年齡 • 如果有一個國家40%的人口最少都在60歲以上，有沒有可能這個國家的平均年齡是30歲？

37. 成長中的收入？ • Zedland的人民最近幾十年來的收入是增加還是減少？每一個家庭總收入的中數是下降的：1970年是34200元，1980年是30500元，1990年是31200元。但是每個人的收入卻是增加的：1970年為13500，1980年為13850，1990年是15777元。 • 家庭總收入包含了所有住在相同住址的人的收入總額。解釋為什麼有可能Zedland國家中，家庭總收入下降的同時，個人的收入卻是增加的？

38. 上升的犯罪率 • 下圖是Zedland新聞周刊中的一個統計圖 • 它呈現出每100 000居民中的犯罪量，一開始是五年為間隔，然後間隔改變為一年。

39. 上升的犯罪率 • 問題1 • 根據報導，1960年時，每100 000人中的犯罪量是多少？

40. 上升的犯罪率 • 有一家警報系統的工廠運用了同樣的數據畫出以下的統計圖：

41. 上升的犯罪率 • 問題2 請問設計者是如何畫的？理由為何？

42. 真實世界(Real world) 數學世界(Mathematical world) 數學解法 Mathematical solutions 真實解法 Real solutions 5 5 4 數學問題 Mathematical problem 真實世界問題 Real-world problem 1,2,3 六.數學歷程 • (ㄧ)數學化（mathematisation） • 圖　　數學化的循環

43. (二)能力(the competencies) • 針對mathematisation，PISA提出學生在此種歷程中需運用到數種不同的能力(competencies)： • 思考及推理Thinking and Reasoning • 論證Argumentation • 溝通Communication • 建模Modelling

44. 5.擬題及解題Problem posing and solving 6.表徵Representation, 7.運用符號、形式化及科技的語言及運算Using symbolic, formal and technical language and operations 8.使用輔助工具Use of aids and tools

45. 七.能力群組(competency clusters) 1.複製(reproduction)、 2.連結(connection)、 3.反思(reflection)。

46. (1)複製群組reproduction cluster • 此能力群組基本上包含習過知識的複製。一般而言，他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力 。 • 如事實、一般問題表徵的知識，等值的辨識，熟悉數學物件以及特性的再蒐集，例行程序的比現，標準算則及技術性技巧的應用，在標準的型態中操弄概念完備的符號，以及計算的進行。

47. 解方程式7x-3=13x+15 • 7,12,8,14,15,9的平均數是多少？ • 1000元存進銀行，年利率是4%，一年後全部領回多少錢？

48. M432: 反應時間 • 在一個短跑競賽的事件裡，「反應時間」是指鳴槍後 • 到運動員開始起跑的時間，「最後時間」包含了反應時間 • 和起跑後到終點的跑步時間。