19/11/2009

1. Trigonometria 19/11/2009

2. 2 Trigonometria O significado da palavra trigonometria, vem do grego e resulta da conjunção de três palavras: Tri – três Gonos – ângulo Metrein - medir Trigonometria significa, o estudo das medidas dos triângulos.

3. 3 Trigonometria no triângulo retângulo

4. 4 Algumas aplicações da Trigonometria

5. 5

6. 6

7. hipotenusa cateto cateto cateto cateto hipotenusa 7 Triângulo retângulo Triângulo retângulo é todo triângulo que apresenta um ângulo reto, ou seja, um ângulo de 90°. A hipotenusa é sempre o maior lado do triângulo retângulo; Em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos é sempre 180°; Como num triângulo retângulo um dos ângulos é reto, a soma dos outros dois ângulos agudos (menores que 90º) é sempre 90°; Quando a soma de dois ângulos internos é igual a 90°, dizemos que esses ângulos são complementares.

8. a = 5 b = 3 c = 4 8 Teorema de Pitágoras Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos.

9. 9 Aplicação do Teorema de Pitágoras

10. 10 Teorema de Tales Um feixe de retas paralelas, intersectado por duas transversais, determina, sobre essas transversais segmentos proporcionais. Exemplo de aplicação:

11. 11 Solução:

12. 12 Relações Trigonométricas num triângulo retângulo Seno

13. 13 Exemplo de aplicação:

14. 14 Cosseno

15. 15 Exemplo de aplicação:

16. 16 Tangente

17. 17 Exemplo de aplicação:

18. 2 18 Cálculo de seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis Seno, cosseno e tangente de 30° e 60º

19. 19 Seno, cosseno e tangente de 45°

20. 20 Construção da Tabela Trigonométrica

21. 21 Relações entre seno, cosseno e tangente

22. 22 Trigonometria em um Triângulo Qualquer

23. 23 Observe a situação a seguir: Um fio elétrico será instalado entre um poste P e uma casa, separados por um lago em um terreno plano. Como calcular o comprimento do fio necessário para a instalação? Pela necessidade de solucionar problemas relacionados a triângulos que não são retângulos, se desenvolveram formas de trabalhar com senos e cossenos de ângulos obtusos ( maiores que 90°).

24. 24 Teorema ou Lei dos Senos A lei dos senos pode ser utilizada em qualquer triângulo. No caso de triângulos retângulos, basta considerar sen 90° = 1.

25. 25 Aplicação da Lei dos Senos A Lei dos Senos é geralmente usada, quando são conhecidos 2 ângulos internos e a medida do cateto oposto a um desses ângulos.

26. 26 Teorema ou Lei dos Cossenos A Lei dos Cossenos é geralmente usada, quando são conhecidas as medidas de dois lados e o ângulo formado por eles.

27. 27 Exemplo:

28. 28 Área de um triângulo

29. 29 Existem problemas em que se deseja calcular a área de um triângulo e não são conhecidas as medidas da base e altura. Nesses casos, a área pode ser calculada de duas maneiras diferentes: 1ª maneira: Área de um triângulo em função da medidas de dois lados e do ângulo compreendido entre eles.

30. 30 2ª maneira: Fórmula de Heron

31. 31 Trigonometria no Ciclo Trigonométrico: Conceitos Básicos

32. 32 ARCOS E ÂNGULOS

33. 33 ÂNGULO CENTRAL Todo ângulo central possui um arco correspondente, e reciprocamente, a todo arco corresponde um ângulo central. A medida de um arco é entendida como a medida do seu ângulo central. Para medir um arco, usamos o grau ou o radiano. O comprimento de um arco é a sua medida linear e é expresso em centímetros, metros... IMPORTANTE Os arcos AB e A’B’ têm a mesma “abertura”, ou seja, a mesma medida (mesmo ângulo), mas possuem comprimentos diferentes.

34. Transferidor: usado para medir ângulos. 34 MEDIDA DE ARCOS: O GRAU O grau é definido, dividindo-se uma circunferência em 360 partes iguais. Cada uma dessas partes, corresponde a um arco de um grau (1°).

35. 35 MEDIDA DE ARCOS: O RADIANO Observe o arco AB da circunferência, em que o comprimento é igual a medida do raio: Dizemos que, a medida do arco AB ou do ângulo central BÔA, é igual a 1 radiano (1 rad). Assim, dizemos que um arco AB que possui comprimento igual ao raio da circunferência, mede 1 radiano.

36. 36 Qual é o comprimento de uma circunferência? Qual é a medida em radianos de um arco de 360°?

37. 37 Portanto, temos que: Quantos graus mede um arco de 1 radiano?

38. 38 CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA

39. 40 CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA: Arcos Simétricos

40. 90° 120° = = 60° 135° = = 45° 150° = = 30° 210° = = 330° 225° = = 315° 240° = = 300° 270° 41 SENO, COSSENO E TANGENTE NA CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA Seno Sinal SENO:

41. 90° 120° = = 60° 135° = = 45° 150° = = 30° 210° = = 330° 225° = = 315° 240° = = 300° 270° 42 Sinal COSSENO: Cosseno

42. 90° 120° = = 60° 135° = = 45° 150° = = 30° 210° = = 330° 225° = = 315° 240° = = 300° 270° 43 Sinal TANGENTE: Tangente

43. 90° 120° = = 60° 135° = = 45° 150° = = 30° 210° = = 330° 225° = = 315° 240° = = 300° 270° 44 Seno Tangente Cosseno

44. Secante: o sinal da secante é o mesmo do cosseno Cossecante: o sinal da cossecante é o mesmo do seno Cotangente: o sinal da cotangente é o mesmo da tangente. 45 DEMAIS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS